Sur le groupe fondamental des courbes algébriques en caractéristique positive
(Un exposé de Mohamed Saidi au séminaire de
théorie des nombres de Chevaleret le 20 juin 2005)
Résumé :
La structure du groupe fondamental étale des courbes algébriques propres
en caractéristique 0 est bien connue grâce au théorème d'existence de
Riemman.
En caractéristique positive, à part le quotient premier à $p$ et le pro-$p$
quotient on ne connait la structure du groupe fondamental étale tout
entier pour aucun exemple de courbe de genre $g>1$. En fait il semble très
difficile d'exhiber pour un nombre premier donné $p$ des groupes fini d'ordre
divisible par $p$ qui ne sont pas des $p$-groupes et
qui sont des groupes de Galois de revêtement étales en caractéristique $p$.
Les travaux de Tamagawa sur la conjecture anabélienne de Grothendieck
pour
les courbes affines sur les corps finis suggère en fait l'existence de
phénomènes anabéliens pour les courbes propres. Plus precisément on
s'intéresse à la question suivante:
dans quelle mesure le groupe fundamental d'une courbe propre
en caractéristique positive détermine la géométrie de la
courbe:
par exemple son type d'isomorphisme?
Dans cet exposé je vais parler des travaux de Tamagawa, Raynaud, Pop, et
moi-même sur l'homomorphisme de spécialisation entre groupes fondamentaux de
courbes propres en caractéristique $p>0$ et qui sont liés à la question
ci-dessus.