Jacobiennes et classes d'isogénie des surfaces abéliennes
sur les corps finis
(Un exposé de Christophe Ritzenthaler au séminaire de
théorie des nombres de Chevaleret le 9 janvier 2006)
Résumé :
Nous donnons une reponse définitive a la question : quels
sont les polynômes qui sont des polynômes caractéristiques du
Frobenius pour les courbes de genre 2 sur les corps finis ?
L'exposé présentera tout d'abord l'historique du problème puis
abordera les différentes méthodes mises en oeuvre pour traiter les
cas résiduels :
- dans le cas 'non-simple', on utilise des résultats de Kani pour
caractériser quand deux courbes elliptiques peuvent être recollées
afin de donner la jacobienne d'une courbe de genre 2.
- dans le cas 'simple supersingulier', on utilise des résultats de
Ibukiyama-Katsura-Oort sur la description des surfaces abéliennes
supersingulières et de leurs polarisations ainsi que des résultats de
Ibukiyama sur les groupes d'automorphismes de certaines formes
hermitiennes quaternioniques. On se sert alors d'arguments de
descente pour aboutir au resultat. Ceci sera illustré sur un exemple.
(Travail en commun avec E. Howe et E. Nart).