Séminaire de théorie des nombres de l'IMJ-PRG

Les trois dernières décennies ont vu le développement de méthodes et algorithmes p-adiques, notamment : -la factorisation de polynômes rationnels par lemme de Hensel; -les algorithmes de comptage de points de Kedlaya et Lauder, reposant sur des résultats avancés de géométrie arithmétique; -le calcul d'isogénies entre courbes elliptiques. Dans toutes ces méthodes et algorithmes, on passe par des calculs sur les nombres p-adiques, et le problème de la gestion de la précision y est crucial. Avec Xavier Caruso et David Roe, nous avons développé une méthode, dite de précision différentielle, pour étudier et gérer la précision p-adique. Dans cet exposé, nous nous intéresserons à l'application de cette méthode pour l'étude du calculs d'isogénies entre courbe elliptique via la résolution de certaines équations différentielles p-adiques à variables séparables (travail en commun avec Pierre Lairez).

La cohomologie l-adique a été construite pour fournir une cohomologie étale à coefficients dans un corps de caractéristique 0 afin, notamment, de donner via la formule des traces une interprétation cohomologique des fonctions L. Au lieu des coefficients l-adiques on peut considérer les coefficients dans les ultraproduits de corps finis. J'énoncerai le théorème fondamental de Weil II pour les courbes dans ce contexte et expliquerai brièvement quelles sont les difficultés à résoudre pour adapter la preuve de Deligne. Je donnerai également des applications aux modèles entiers (et à leur reduction modulo l'uniformisante) dans les systèmes E-rationnels compatibles de faisceaux l-adiques. Je montrerai en particulier que pour l suffisamment grand ces modèles sont uniques à isomorphisme près et que, lorsque la base est projective lisse, leur cohomologie est sans torsion. Ces résultats généralisent d'une part mes travaux avec Hui et Tamagawa sur les images directes supérieures de $\mathbb Z_\ell$ par un morphisme propre et lisse et, d'autre part, le théorème de Gabber sur la torsion dans la $\mathbb Z_\ell$-cohomologie d'une variété projective lisse.

The geometric Bogomolov conjecture asserts the following: Consider a smooth projective curve over a function field of genus more than one embedded into its Jacobian; if the curve is non-isotrivial, then it has only finitely many points of small canonical height. Recently, we have shown that this conjecture holds in full generality. In the proof, we use some partial results on a more general conjecture, called the geometric Bogomolov conjecture for abelian varieties. In this talk, reviewing the recent progress concerning this more general conjecture, we explain how the conjecture for curves is proved.

In 1980, Gross conjectured a formula for the expected leading term at $s=0$ of the Deligne--Ribet $p$-adic $L$-function associated to a totally even character $\psi$ of a totally real field $F$. The conjecture states that after scaling by $L(\psi \omega^{-1}, 0)$, this value is equal to a $p$-adic regulator of units in the abelian extension of $F$ cut out by $\psi \omega^{-1}$. In this talk we describe a proof of Gross's conjecture. This is joint work with Mahesh Kakde and Kevin Ventullo. If time permits, we will briefly describe joint work with Michael Spiess on a refinement of Gross's conjecture that gives a formula for the characteristic polynomial of the regulator matrix. This refined conjecture is still open.