Séminaire de théorie des nombres de l'IMJ-PRG

D’après Faltings une courbe projective lisse de genre au moins 2 définie sur un corps de nombres K n’a qu’un nombre fini de points K-rationnels. Les courbes elliptiques peuvent avoir une infinité de tels points, ainsi que la droite projective ; par contre, elles en ont "beaucoup moins" que la droite projective. Dans un travail en commun avec Y. Brunebarbe, basé sur un résultat récent de Ellenberg-Lawrence-Venkatesh, nous démontrons un résultat analogue en dimension supérieure : les variétés projectives avec groupe fondamental gros (au sens de Kollár-Campana) ont “beaucoup moins" de points que les variétés de Fano.

L’arithmétique des courbes elliptiques à multiplication complexe a attiré de nombreux mathématiciens. Parmi ces courbes, Gross a introduit des courbes elliptiques aux propriétés particulièrement agréables. Pour une famille de tordues de ces courbes elliptiques, on montrera la non-annulation des valeurs centrales des fonctions $L$. La démonstration utilise la théorie d'Iwasawa dans le cas $p=2$. Travail joint avec Yong-Xiong Li.

Kahn-Saito-Yamazaki generalized the theory of Voevodsky’s $\mathbb{A}^1$-homotopy invariant sheaf to the theory of reciprocity sheaves, in order to capture non-$\mathbb{A}^1$-homotopy invariant phenomena, including wild ramifications. The category of reciprocity sheaves includes many important class of sheaves in arithmetic geometry, e.g., all commutative algebraic groups, the sheaf of Kähler differentials, the ring of (big) Witt vectors, etc. In this talk, I will explain that reciprocity sheaves admit filtration indexed by $\mathbb{Q}$-divisors, which is analogous to the upper ramification filtration of the Galois groups. In particular, we will formulate a (conjectural) sheaf-theoretic analogue of the Hasse-Arf theorem in number theory, and prove it in certain cases. As an application, I will give a motivic presentation of the algebraic structures of the big Witt rings, including Frobenius. This talk is based on a joint work with Junnosuke Koizumi.

Soit C une courbe de genre g > 2 plongée dans sa Jacobienne J. Le cycle de Ceresa C-[-1]*C est un cycle algébrique homologiquement trivial de dimension 1 dans J. Pour C hyperelliptique ce cycle est trivial modulo équivalence algébrique, alors que pour C générale il est non-trivial d’après Ceresa. Récemment, le premier exemple d’une courbe non-hyperelliptique pour laquelle le cycle de Ceresa est de torsion modulo équivalence algébrique a été obtenu par Beauville et Schoen. Inspirés de leur travail, nous obtenons deux nouveaux exemples de courbes non-hyperelliptiques pour lesquelles l’image du cycle de Ceresa par l’application d’Abel-Jacobi complexe est de torsion. Nos exemples, ainsi que celui de Beauville et Schoen, sont des quotients cycliques de courbes de Fermat. Dans chacun des trois cas, nous calculons l’ordre d’annulation centrale de la fonction L du motif concerné. Pour notre exemple de genre 3, la valeur centrale est non-nulle et le cycle est de torsion modulo équivalence algébrique, en accord avec la conjecture de Beilinson-Bloch. Ceci est un travail en commun avec Ari Shnidman.

Je présenterai un théorème « p-converse » à rang 0 et 1 pour les courbes elliptiques sur les rationnels à multiplication complexe (CM) dans le cas où le nombre premier p est ramifié dans le corps CM. Ce théorème a des applications à deux problèmes classiques d’arithmétique : il vérifie la conjecture de Sylvester de 1879 sur les nombres premiers exprimables comme une somme de deux cubes rationnels et établit la conjecture de Goldfeld pour la famille de nombres congruents. La démonstration repose sur la formulation et la preuve d’une nouvelle conjecture principale d’Iwasawa, qui à leur tour utilisent de nouvelles méthodes issues des interactions entre les objets théoriques d’Iwasawa et la théorie de Hodge p-adique relative sur les courbes de Shimura à niveau infini.

Des valeurs zêta intéressantes apparaissent en arithmétique des corps de fonctions comme valeurs spéciales de fonctions L de A-motifs d’Anderson. Mon rêve serait d’avoir l’analogue d’une conjecture de Beilinson dans ce cadre, liant ces valeurs spéciales au déterminant d’un régulateur. Dans cet exposé, j’exposerai mes premiers pas dans ce programme : après un rappel général sur les A-motifs et leur théorie, j’expliquerai comment définir une « cohomologie A-motivique ». On définira ensuite un régulateur, et je conclurai sur quelques calculs récents obtenus avec A. Maurischat.

After a review of the known results, we will report on a work with Kohnen and Soundararajan about lower bound of Fourier coefficients of half integral weight cusp forms at fundamental discriminants. If time permits, we will also discuss a recent work on non-Archimedean analogue of a question of Atkin and Serre.

I introduced the block decomposition on multiple zeta values in order to understand and generalise some (conjectural) families of relations. It was extended to a filtration on motivic multiple zeta values by Francis Brown and further extended by Adam Keilthy, who showed it gives a route to understanding the structure of the motivic Lie algebra.  I will discuss a recent project with Keilthy where we are able to understand the structure in block degree 2 by evaluating $\zeta(2, ..., 2, 4, 2, ..., 2)$ in terms of double zeta values, and where we showed how the famous period polynomial relations for double zeta values arise in an explicit way from the so-called block relations introduced in Keilthy’s thesis.

Soient $k$ un corps algébriquement clos de caractéristique $p\geq 0$ et $V$ une représentation $k$-rationnelle fidèle d’un $l$-groupe $G$. Le problème de Noether demande si $V/G$ est (stablement) rationnelle. Si $l$ est égal à $p$, alors Kuniyoshi a prouvé que cela est vrai, tandis que, si $l$ est différent de $p$, Saltman a construit des $l$-groupes pour lesquels $V/G$ n’est pas stablement rationnel. Donc, la géométrie de $V/G$ dépend fortement de la caractéristique du corps. Nous montrons que pour tous les groupes $G$ construits par Peyre, on ne peut pas interpoler entre le problème de Noether en caractéristique 0 et $p$. Plus précisément, nous montrons qu’il n’existe pas un anneau de valuation complet $R$ de caractéristique mixte $(0,p)$ et un $R$-schéma propre lisse $X\rightarrow Spec(R)$ dont la fibre spéciale et la fibre générique sont toutes deux stablement birationnelles à $V/G$. La preuve combine la théorie de Hodge $p$-adique intégrale de Bhatt-Morrow-Scholze, avec l’étude de l’opérateur de Cartier sur les formes différentielles en caractéristique positive. Il s’agit d’un travail en cours avec Domenico Valloni.

I will discuss several results on local systems on curves which are "of geometric origin", i.e. the local system arises in the (Betti) cohomology of a family of varieties over the curve. For example, I’ll discuss the result that only finitely many genus two curves admit rank two local systems of geometric origin, and similarly for several other topological type of curves (i.e. genus and number of punctures); this is very much in contrast with the situation in positive characteristic, where every curve over the algebraic closure of a finite field admits infinitely many such local systems. On the other hand, I’ll talk about an analogous result in positive characteristic where we additionally bound the field generated by the traces of Frobenius elements. Time permitting, I will discuss what results are known or can be hoped for concerning trace fields of local systems on curves over finite fields.

Let $k$ be an algebraically closed field of characteristic $p > 0$, and let $G$ be a finite $p$-group. The results of Harbater, Katz and Gabber associate to every action of $G$ on $k[[t]]$ a $G$-cover of the projective line ramified only over $\infty$. During this talk we will present a new way of computing cohomologies of HKG-covers. We apply this result to the classical problem of determining the equivariant structure of cohomologies of a curve with an action of a $p$-group. As an example, we compute the de Rham cohomology of Klein four covers.

In Diophantine approximation, it is a classical problem to determine the size of the sets related to $\psi$ approximable set for a given non-increasing function $\psi$. The exact $\psi$ approximable set is the set of numbers that are $\psi$ approximable and not approximable to a better order than $\psi$. Bugeaud determined the Hausdorff dimension of the exact $\psi$ approximable set answering a question posed by Beresnevich, Dickinson, and Velani. In this talk, I will present the results on this exact approximation problem in general metric measure spaces satisfying certain conditions. This is joint work with Anish Ghosh and Debanjan Nandi.

Romyar Sharifi a défini une application explicite de l’homologie de la courbe modulaire $X_1(N)$ vers le second groupe de $K$-théorie $K_2(\mathbf{Q}(\zeta_N))$, où $\zeta_N$ est une racine primitive $N$ième de l’unité. Sharifi a conjecturé que cette application est annihilée par un certain ideal d’Eisenstein. Cette conjecture a été essentiellement prouvée par Sharifi et Venkatesh en utilisant un complexe calculant des groupes de cohomologie motivique pour le carré du tore. En suivant les idées de Sharifi et Venkatesh, nous généralisons la construction de Sharifi en remplaçant $X_1(N)$ par une $3$-variété de Bianchi associée à un corps quadratique imaginaire $K$ de nombre de classe $1$. Nous donnerons la formulation explicite dans le cas $K=\mathbf{Q}(i)$. Nous obtenons également des résultats partiels pour la propriété d’Eisenstein. Cela est un travail en cours avec Romyar Sharifi, Sheng-Chi Shih et Jun Wang.

I will give a definition of a certain category of "log quasicoherent" sheaves on a logarithmic variety which uses Falting’s "almost mathematics" and which has the property that in characteristic zero, log differential forms and log polyvector fields are the Hochshild homology (appropriately understood) and Hochschild cohomology, respectively, of this category. This implies a certain "noncommutative Hodge theory" associated to a log variety in mixed characteristic. I will also explain (if there is time left over) a relationship of the proof of the main results to mirror symmetry.

Following a conjecture of Le Bras, I will explain the construction of a cohomology theory for rigid-analytic varieties over C\_p (without properness nor smoothness assumptions), taking values in the category of filtered quasi-coherent complexes over the Fargues-Fontaine curve, which interpolates between other known rational p-adic cohomology theories for rigid-analytic varieties: namely, the rational p-adic pro-étale cohomology, the Hyodo-Kato cohomology defined by Colmez-Niziol, and the infinitesimal cohomology over the positive de Rham period ring. If time permits, I will also report on an expected integral variant of such cohomology theory.

Dans l’optique de mieux comprendre les cycles algébriques en caractéristique positive, notamment leur position dans la cohomologie l-adique ou cristalline, nous avons défini des nombres p-adiques associés à toute variété projective lisse sur Q avec bonne reduction en p. Nous les appelons des périodes p-adiques d’André et conjecturons qu’elles prédisent la relevabilité en caractéristique zéro des cycles algébriques modulo p. Dans cet exposé j’expliquerai la définition de ces périodes et je donnerai quelques exemples (plusieurs valeurs spéciales de fonctions p-adiques apparaîtront). Puis, je donnerai le cadre tannakien qui nous permet de donner des bornes supérieures fines pour le degré de transcendence de ces périodes. Ceci complète un programme initié par Yves André. Je commencerai par les motivations géométriques, puis je rappellerai le cadre tannakien classique des périodes complexes, ensuite je parcourrai les approches précédentes pour une théorie tannakienne de périodes p-adique (Fontaine, André, Furusho,Brown,…) et enfin j’expliquerai notre construction. Ceci est un travail en commun avec Dragos Fratila.

We use the theory of logarithmic motives to construct an integral $p$-adic cohomology theory for smooth varieties over a field $k$ of characteristic $p$, that factors through the category of Voevodsky (effective) motives. If $k$ satisfies resolutions of singularities, we will show that it is indeed a "good" integral $p$-adic cohomology and it agrees to a similar one constructed by Ertl, Shiho and Sprang: we will then deduce many interesting motivic properties.

On propose une description conjecturale des valeurs spéciales au signe près des fonctions zêta des schémas arithmétiques, en termes de deux complexes parfaits de groupes abéliens. Le premier de ces complexes est la cohomologie Weil-étale à support compact. Le deuxième est défini à partir de l’homologie de Hochschild topologique, et peut être vu comme la cohomologie de de Rham relativement au spectre des sphères. On prouve une formule analogue pour les valeurs spéciales d’un certain produit de facteurs Gamma, avec un facteur correcteur donné par le conducteur de Bloch. C’est un travail en commun avec Matthias Flach.

On connaît très mal les sommes de trois cubes d’entiers positifs. Il y a une cinquantaine d’années, on pensait généralement que leur densité est nulle (c.-à-d. leur nombre jusqu’à X est o(X)), sans avoir d’argument heuristique permettant de soutenir cette conjecture, pas plus que sa négation. Le but de l’exposé est de présenter un modèle probabiliste pour les cubes et ses conséquences sur les sommes de trois cubes, en testant sa “qualité” au regard de résultats numériques : densité expérimentale des sommes de trois cubes, représentation des factorielles en somme de trois cubes (cf. la suite A267414 de l’OEIS), amas de sommes de trois cubes… Aucune connaissance particulière en probabilités n’est requise. Il s’agit d’un travail en commun avec F. Hennecart (Saint Étienne) et B. Landreau (Angers).

I will talk about my joint works with Artem Prikhodko (mainly, https://arxiv.org/abs/2105.05319 and https://arxiv.org/abs/2211.17227) where we established some versions of p-adic Hodge theory in the setting of smooth Artin stacks. The scope of applicability of our results depends on the context: e.g. we show that one has integral p-adic Hodge theory for quotient stacks [X/G] with X smooth and proper and G reductive, but also that much more generally rational p-adic Hodge theory works for any Artin stack with smooth "Hodge-proper" integral model (where instead of usual properness we just ask the Hodge-cohomology to be finitely generated). The d-truncated version of the latter result (for d-Hodge-proper or, more generally, even d-de Rham proper stacks) also leads to a truncated version of p-adic Hodge theory, where the comparisons are established only up to a certain degree. This turns out to have non-trivial applications even in the schematic context: namely one can deduce cristallinity of etale cohomology groups in a certain range in the presence of a Cohen-Macauley integral model of a smooth proper scheme over p-adic field.

Dans l’esprit de la conjecture de Tate, nous nous intéresserons à l’image du groupe de Galois dans la cohomologie d’une variété algébrique X définie sur un corps de type fini (la conjecture de Tate prédit que les invariants de ce groupe sont alors engendrés par les classes algébriques). Nous montrerons que l'enveloppe algébrique de ce groupe a, en toute généralité, une propriété bien particulière: elle est « observable ». Nous exposerons quelques éléments de la théorie assez peu connue de l’observabilité, et en tirerons quelques conséquences, sur : i) la semi-simplicité des représentations l-adiques issues des motifs purs, ii) un analogue p-adique de la conjecture des périodes de Grothendieck.

En complément de travaux de Schmidt, Thurnheer et Bugeaud-Kristensen, nous établissons une version du théorème de Dirichlet sur les formes linéaires dans laquelle on demande que les vecteurs des coefficients des formes linéaires fassent un angle aigu borné avec un sous-espace fixé non nul $V$ de $\mathbb{R}^n$. En supposant que les points de $\mathbb{R}^n$ que nous cherchons à approcher aient des coordonnées linéairement indépendantes sur $\mathbb{Q}$, nous obtenons une borne supérieure optimale sur leurs exponents d'approximation qui, par surprise, ne dépend que de la dimension de $V$. Cette borne se déduit d'un résultat de Thurnheer, tandis que son optimalité découle d'une nouvelle construction en géométrie paramétrique des nombres avec des contraintes angulaires. Le but de l'exposé est de présenter ces résultats et l'outil de géométrie paramétrique des nombres. Travail conjoint avec Jérémy Champagne (U. de Waterloo).

Determining the shape of the reductions of two-dimensional crystalline representations is an old problem going back to Deligne, and Fontaine and Edixhoven. In particular, this reduction can be both irreducible and reducible. A conjecture I made about 5 years ago - the zig-zag conjecture - says that for exceptional weights with respect to half-integral slopes, the reduction varies through an alternating sequence of irreducible and reducible representations depending on the relative sizes of two auxiliary parameters. In this talk we give a survey of work done on the reduction problem, concentrating on our recent proof of the zig-zag conjecture.

Au début des années 1990, Manin lança un vaste programme visant à la compréhension du comportement asymptotique des points rationnels sur les variétés. Dans ces dix dernières années, ce thème a connu une diversification importante qui concerne plusieurs aspects: - Les invariants utilisés pour mesurer la complexité des points avec l'introduction de hauteurs multiples ou de pentes (travaux de T. Browning, T. Horesh, W. Sawin et F. Wilsch entre autres); - L'analogue motivique qui concerne la géométrie d'espaces de modules de morphismes (travaux de M. Bilu, T. Browning et L. Faisant notamment); - L'extension au cadre champêtre qui permet de considérer les conjectures de Malle comme un avatar du programme de Manin (travaux de R. Darda et T. Yasuda). Un point frappant est que les concepts fondamentaux introduits par Manin, comme les sous-espaces accumulateurs, restent pertinents pour la compréhension dans ces nouvelles approches, en permettant d'expliquer par exemple les contre-exemples à la conjecture de Malle. L'objectif de cet exposé est de présenter un survol de ces développements en les motivant d'abord sur des exemples simples.

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