septembre 2023
25 septembre (Jussieu) | James Arthur
(University of Toronto)
On the universal groups of harmonic analysis and arithmetic geometry affiche]
[This pair of lectures follows the one hour talk that was
recorded last week at the Luminy conference in honour of
Jean-Pierre Labesse. I hope to be able to expand here on the
various topics that were introduced there, and to say more about
some of their consequences. At the heart of the theory is how
fundamental relations between harmonic analysis (automorphic
forms) and arithmetic geometry (motives) can be made explicit in a
conjectural construction of the automorphic and motivic Galois
groups. We shall introduce these groups, and describe some of
their basic properties. We shall then describe how they might
extend to two broader theories, those of mixed motives and
exponential motives. The groups also seem to have implications for
the beyond endoscopic comparison of trace formulas, an undeveloped
theory that might serve as a foundation for the future proofs,
even though not much can be said at present. |
octobre 2023
02 octobre (PRG) | Pierre Charollois
(IMJ-PRG)
Sur le rêve de jeunesse d'Eisenstein pour les corps cubiques complexes affiche]
[Dans un article méconnu de 1844, G. Eisenstein suggère une
piste pour étendre la théorie des fonctions elliptiques au cas de
"réseaux de rang 3". Il indique également que la nouvelle classe
de produits infinis méromorphes qu'il considère possède de riches
applications arithmétiques. Je présenterai des résultats de
nature expérimentale et théorique qui donnent à penser qu'il avait
effectivement mis à jour un analogue pour les corps cubiques
complexes de la théorie CM des unités elliptiques.
Il s'agit d'un travail en commun avec Nicolas Bergeron et Luis
Garcia. |
09 octobre (Jussieu) | Yuichiro Hoshi
(Kyoto University)
On the geometricity of adelic Galois sections of hyperbolic curves affiche]
[A Galois section of a hyperbolic curve over a field is
defined to be a continuous section of the natural continuous
surjective outer homomorphism from the etale fundamental group of
the given curve to the absolute Galois group of the basefield.
Grothendieck's section conjecture states that, for a given
hyperbolic curve over a number field, an arbitrary Galois section
of the curve is geometric, i.e., the image of an arbitrary Galois
section of the curve is contained in a decomposition subgroup
associated to a closed point of the curve. After a brief state of
the background, this talk will report on recent and future
developments concerning this conjecture. In particular, I will
explain a proof of the geometricity of an adelic Galois section of
a "sufficiently small" hyperbolic curve over a number field. This
talk is based on a joint work with Shinichi Mochizuki.
|
16 octobre (PRG) | Valentin Hernandez
(Orsay)
Formes automorphes non-classiques et géométrie locale affiche]
[Les formes automorphes $p$-adiques sont désormais un outil
essentiel en théorie des nombres, et de nombreux résultats
consistent à montrer que certaines formes automorphes $p$-adiques
qui ont un comportement similaire à celui d'une forme classique le
sont aussi. Dans cet exposé j'expliquerai un exemple pour le
groupe $U(3)$ où cela n'est pas le cas. Il s'agit en fait d'une
conséquence de la structure de la cohomologie complétée pour ce
groupe et de la géométrie d'un espace de déformation local pour
des formes automorphes très critiques. Si le temps le permet,
j'essaierai de relier cet espace à la variété de Steinberg et de
faire le lien avec une construction de Bezrukavnikov. Il s'agit
d'un travail en commun avec Eugen Hellmann et Benjamin
Schraen. |
23 octobre (Jussieu) | David Urbanik
(IHES)
Arithmetic Deformation of Line Bundles affiche]
[We introduce a new method to study mixed characteristic
deformations of line bundles. In particular, given a sufficiently
large family of smooth projective varieties defined over a ring of
integers, we produce an explicit proper closed locus in the base
outside of which all line bundles defined on positive
characteristic fibres lift to a line bundle on a characteristic
zero fibre. Joint work with Ziquan Yang. |
30 octobre | relâche (vacances de Toussaint) |
novembre 2023
06 novembre (Jussieu) | Tadashi Ochiai
(Tokyo Institute of Technology)
Les fonctions $L$ d’Artin $p$-adiques sur un corps CM affiche]
[Soit $K$ un corps de nombres CM de degré $2d$ sur le corps
des rationnels.
En 1978, Katz a construit les fonctions $L$ $p$-adiques de $d +
1$-variables associées aux caractères de Hecke algébriques sur
$K$.
Sous certaines conditions techniques, on construit les fonctions
$L$ d’Artin $p$-adiques sur un corps CM pour les représentations
d'Artin du groupe de Galois absolu de $K$, qui généralisent les
fonctions $L$ $p$-adiques de Katz.
On démontre aussi la conjecture principale d'Iwasawa pour notre
fonction $L$ $p$-adique (i.e. Conjecture Principale d'Iwasawa pour
les représentations d'Artin) qui insiste sur l'égalité de l'idéal
de la fonction $L$ $p$-adique et de l'idéal caractéristique du
groupe de Selmer. Notre travail est un analogue pour les corps CM
du travail de Greenberg qui a construit les fonctions $L$ d’Artin
$p$-adiques sur un corps totalement réel.
C'est un travail commun avec Takashi Hara (Tsuda
University) |
13 novembre (PRG) | Long Liu
(IMJ-PRG)
Chow trace of 1-motives and the Lang-Néron groups affiche]
[We show that in the case of primary field extensions, the
extension of scalars of Deligne 1-motives admits a left adjoint,
called Chow image, and a right adjoint, called Chow trace. This
generalises W.-L. Chow’s results on abelian varieties. Then we
study the Chow trace in the framework of Voevodsky’s triangulated
category of motives. With respect to the 1-motivic t-structure on
the category of Voevodsky’s homological 1-motives, the zero-th
direct image of an abelian variety is given by the Chow trace, and
the first direct image is the 0-motive defined by the (geometric)
Lang-Néron group. |
20 novembre (Jussieu) | (Annulé) Elisa Lorenzo García
(Université de Neuchâtel)
(Annulé) Bornes inférieures pour le nombre maximal de points rationnels des courbes sur les corps finis affiche]
[Pour un genre $g>0$ donné, nous donnons des bornes
inférieures pour le nombre maximal de points rationnels d'une
courbe projective lisse absolument irréductible de genre $g$ sur
le corps fini $\mathbb{F}_q$.
D'abord, on donne une construction explicite qui produit des
courbes de genre $g$ sur $\mathbb{F}_q$ avec au moins
$1+q+4\sqrt{q}-32$ points.
Puis en utilisant les sommes de puissances des traces de Frobenius
des courbes hyperelliptiques, on obtient une borne inférieure de
la forme $1+q+1.71\sqrt{q}$ valable pour $g>2$ et $q>9$ impair.
Enfin, et comme conséquence de la théorie de Katz-Sarnak, on
obtient pour tout $g>0$ donné, tout $\epsilon>0$ et tout $q$
suffisamment grand, l'existence d'une courbe de genre $g$ sur
$\mathbb{F}_q$ avec au moins $1+q+(2g−\epsilon)\sqrt{q}$ points
rationnels. En plus, on ira au-delà de cette théorie pour essayer
d'expliquer les asymétries observées dans la distribution du
nombre de points et qui ne sont pas détectées par Katz-Sarnak.
Celui-ci est un travail conjoint avec J. Bergström, E. Howe et
C. Ritzenthaler. |
27 novembre |
relâche.
Séminaire de Théorie des Nombres Paris Londres les 28 et
29/11.
Orateurs : Mladen Dimitrov, Olivier Fouquet, Matteo Tamiozzo, Luis Garcia, Holly Green, Michael Harris. |
décembre 2023
04 décembre (Jussieu) | relâche |
11 décembre (PRG) | Lucile Devin
(Université du Littoral Côte d’Opale)
Biais de Tchebychev exceptionnels (pour les polynômes irréductibles) affiche]
[Tchebychev a observé que lorsque l'on énumère les nombres
premiers par ordre croissant, on a souvent l'impression d'en
croiser plus qui soient congrus à 3 qu'à 1 modulo 4. Cette
observation est maintenant bien comprise et expliquée, notamment
par les travaux de Rubinstein et Sarnak. Dans cet exposé, nous
étudierons un analogue dans l'anneau des polynômes à coefficients
dans un corps fini. Dans ce cadre, Cha a aussi établi l'existence
d'un biais dans la répartition de type Tchebychev sous une
hypothèse d'indépendance linéaire des zéros de fonctions
L. Cependant, quelques comportements exceptionnels ont été
observés dans le cas où cette hypothèse n'est pas satisfaite. Nous
présenterons notamment des cas de "biais complet" et de "biais
inversé", et nous expliquerons pourquoi il y a une proportion
petite (tendant vers 0 lorsque la taille du corps est grande) de
tels comportements. Les résultats présentés sont principalement
issus d'un travail joint avec Alexandre Bailleul, Daniel Keliher
et Wanlin Li. |
18 décembre (Jussieu) | relâche |
25 décembre | relâche (vacances de Noël) |
janvier 2024
01 janvier | relâche (vacances de Noël) |
08 janvier (PRG) | |
15 janvier (Jussieu) | |
22 janvier (PRG) | |
29 janvier (Jussieu) |
février 2024
05 février (PRG) | Wataru Kai
(Tohoku University)
Linear patterns of prime elements in number fields affiche]
[I will discuss my recent result
that gives a sufficient condition for a set of finitely many
polynomials of degree 1 with coefficients in a number ring to attain
simultaneous prime values. This extends a 2012 theorem of
Green-Tao-Ziegler from the case of $\mathbb{Z}$ to the general case.
Time permitting, I will mention how this can be applied to produce
(modestly) new families of varieties over number fields which
satisfy the Hasse principle for rational points by using the
so-called fibration methods. |
12 février | relâche (vacances d’hiver) |
19 février | relâche (vacances d’hiver) |
26 février (Jussieu) |
mars 2024
04 mars (PRG) | |
11 mars (Jussieu) | |
18 mars (PRG) | |
25 mars (Jussieu) |