Séminaire de théorie des nombres de l'IMJ-PRG

For an absolutely unramified extension $K/\mathbb{Q}_p$ with perfect residue field, by the works of Fontaine, Colmez, Wach and Berger, it is well known that the category of Wach modules over a certain integral period ring is equivalent to the category of lattices inside crystalline representations of $G_K$ (the absolute Galois group of $K$). Moreover, by the recent works of Bhatt and Scholze, we also know that lattices inside crystalline representations of $G_K$ are equivalent to the category of prismatic $F$-crystals on the absolute prismatic site of $O_K$, the ring of integers of $K$. The goal of this talk is to present a direct construction of the categorical equivalence between Wach modules and prismatic $F$-crystals over the absolute prismatic site of $O_K$. If time permits, we will also mention a natural generalisation of these results to the case of a "small" base ring.

Let $p$ and $\ell$ be primes such that $p > 3$ and $p \mid \ell-1$ and $k$ be an even integer. Using deformation theory of Galois representations, we will give a necessary and sufficient condition for the $Z_p$-rank of the completion of the Hecke algebra acting on the space of cuspidal modular forms of weight $k$ and level $\Gamma_0(\ell)$ at the maximal Eisenstein ideal containing $p$ to be greater than $1$ in terms of vanishing of the cup products of certain global Galois cohomology classes.

The universal Weil cohomology (obtained in a recent work jointly with B. Kahn) is taking values in an abelian tensor category which is rigid but its algebra $E$ of endomorphisms of the unit is not a field, a priori. The standard hypothesis is that this absolutely flat algebra $E$ is a domain hence a field: this hypothesis is a consequence of Grothendieck’s standard conjectures but could be that it is not equivalent to the conjectures, eventually. In zero characteristic, André’s theory of motivated cycles can be recovered via the universal Weil cohomology; moreover, if $E$ is a field then $E$ is the field of rational numbers and André’s category is then universal for all Weil cohomologies. In positive characteristics, if André’s category is abelian then a similar picture holds true but $E$ could be a transcendental extension of the rational numbers. In general, the algebra $E$ could be considered as an abstract algebra of periods or universal coefficients for Weil cohomologies.

I will present a new theory of motivic cohomology for general (qcqs) schemes, which generalises the construction of Elmanto-Morrow over a field. It is related to non-connective algebraic $K$-theory via an Atiyah-Hirzebruch spectral sequence. In particular, it is non-$A^1$-invariant in general, but it recovers classical motivic cohomology on smooth schemes over a field (by the work of Elmanto-Morrow) or over a Dedekind domain (by recent work in progress with Arnab Kundu). I will also discuss how one can import results from $p$-adic Hodge theory to study this theory of motivic cohomology.

Ramanujan s'est intéressé aux entiers $d$ positifs représentés par la forme quadratique ternaire $q(x,y,z)=x^2+y^2+10z^2​$. Des conditions de congruences explicites fournissent des conditions nécessaires, et la question est de savoir si elles sont suffisantes. La formule de masse de Siegel montre que les entiers localement représentés (ou ``admissibles") par $q$ sont globalement représentés soit par $q$ soit par l'autre forme dans son genre $q'(x,y,z)=2x^2+2y^2+3z^2-2xz$. En 1990, Duke et Schulze-Pillot ont montré que les $d$ admissibles suffisamment grands, sans facteurs carrés, sont en fait représentés par $q$ (et par $q'$ aussi, le nombre de représentations pour chaque forme suivant une loi quasi-uniforme). Ce résultat s'étend à toute forme quadratique ternaire définie à coefficients entiers, ainsi apportant une réponse positive (si toutefois ineffective) au 11ème problème de Hilbert. Dans leur article à l'ICM de 2006, Michel et Venkatesh ont conjecturé que si on se donne deux formes $q_1$ et $q_2$ de genre distinct, alors les entiers admissibles (sans facteurs carrés, suffisamment grands) pour les deux sont globalement simultanément représentés par $q_1$ et $q_2$ (ainsi que par chaque paire $(q_1',q_2')$ dans le produit des deux genres, en proportion quasi-uniforme). D'un point de vue ergodique -- il y a une action par un groupe de classes sur les solutions -- il s'agit d'un joining, au sens de Furstenberg, de deux problèmes distincts considérés par Duke et Schulze-Pillot. Il y a quelques années, dans un travail en commun avec V. Blomer, nous avons pu affirmer cette conjecture sous condition de supposer l'hypothèse de Riemann généralisée (GRH). Dans cet exposé nous présenterons une nouvelle méthode pour aborder la conjecture de Michel--Venkatesh, développée en collaboration avec V. Blomer et M. Radziwiłł, qui remplace GRH par une condition plus faible, d'une abondance de petits nombres premiers décomposés. Un ingrédient essentiel dans la preuve est un équivalent pour un moment mollifié d'une famille de fonctions $L$ obtenu précédemment avec Blomer et Khayutin.

Dans cet exposé nous étudierons la taille du groupe de Tate-Shafarevich de certaines surfaces abéliennes sur le corps de fonctions $\mathbb{F}_q(t)$. Hindry et Pacheco ont montré que, pour les variétés abéliennes sur des corps de fonctions, la taille du Sha (dès qu'elle est finie) est majorée par la hauteur exponentielle. Nous montrerons qu'en dimension 2 leur borne est optimale. Pour cela, on construira une suite de Jacobiennes vérifiant la conjecture de BSD, puis nous calculerons explicitement leur fonction L à l'aide de sommes de caractères. Grâce à des méthodes analytiques, nous estimerons la taille de la valeur spéciale, pour retrouver finalement la borne souhaitée sur le cardinal de leur groupe de Sha.

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Dans son papier fondateur de 1961, Wirsing étudie comment on peut approcher un nombre réel transcendant $\xi$ donné par des nombres algébriques $\alpha$ de degré au plus $n$, en terme de leur hauteur naïve $H(\alpha)$. Il montre que l'exposant $\omega_n^*(\xi)$ mesurant cette qualité d'approximation est au moins égal à $(n + 1)/2$. Il remarque aussi que rien ne suggère que cette estimation soit optimale, et qu'on pourrait même avoir toujours $\omega_n^*(\xi) \geq n$ (cette inégalité étant une égalité presque partout au sens de la mesure de Lebesgue). Depuis ses travaux, toutes les améliorations de la borne inférieure de Wirsing étaient de la forme $n/2 + O(1)$, jusqu'à ce que Badziahin et Schleischitz prouvent en 2021 que $\omega_n^*(\xi) \geq an$ pour tout $n \geq 4$, où $a = 1/\sqrt{3} \approx 0.577$. Dans la première partie de cet exposé, nous nous attarderons sur cet historique et les idées derrière la preuve originelle de Wirsing. Dans un second temps, nous présenterons une nouvelle approche permettant d'obtenir la borne $\omega_n^*(\xi) \geq an$, où $a = 1/(2 − \log 2) \approx 0.765$.

Je parlerai de deux problèmes. Le premier est le nombre de $\ell$-uplets de résidus quadratiques consécutifs modulo $p$, le second, le nombre de quadruplets tels que toutes les différences soient des résidus quadratiques. Le premier est connu depuis le 19ème siècle, le deuxième est lié au calcul du nombre de cliques dans un graphe de Cayley. Notre approche est géometrique. Pour les résidus quadratiques consécutifs, on se ramène à un problème de géométrie et de calcul du nombre de points sur les courbes de genre 0, 1, 5, 17, ... Pour les différences, on se ramène au calcul du nombre de points sur une surface K3. Pour les courbes en question nous démontrons que leur jacobienne est le produit de jacobiennes elliptiques et hyperelliptiques. Pour la K3 nous démontrons qu'elle est de type Kummer, ce qui démontre le dernier résultat non publié de Lydia Goncharova.

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