Séminaire de théorie des nombres de l'IMJ-PRG

For $n>1$, consider an absolutely irreducible polynomial $F(Y,X_1,...,X_n)$ that is a polynomial in $Y^m$ and monic in $Y$. Let $N(F,B)$ be the number of integral vectors $x$ of height at most $B$ such that there is an integral solution to $F(Y,x)=0$. For $m>1$ unconditionally, and $m=1$ under GRH, we show that $N(F,B) \ll_{\epsilon} log(||F||) ^c B^{n-1+1/(n+1)+\epsilon}$ under a non-degeneracy condition that encapsulates that $F(Y,X_1,...,X_n)$ is truly a polynomial in $n+1$ variables. A strength of this result is that it requires no smoothness assumptions for $F(Y,X_1,...,X_n)$ nor constraints on the degrees of $F$ in $X_1,...,X_n$. A key ingredient in this work is a formulation of the Katz-Laumon stratification theorems for exponential sums that is uniform in families. This talk is based on joint work with Dante Bonolis, Emmanuel Kowalski, and Lillian B. Pierce.

We will present the definition of Hyodo-Kato stacks, which intuitively are de Rham stacks of relative Fargues--Fontaine curves. After explaining their basic properties, we will present a new proof of the $p$-adic monodromy theorem, which avoids any deeper analysis of $p$-adic differential equations. This talk is based on joint work with Bosco/Le Bras/Rodriguez-Camargo/Scholze.

We prove a classification of analytic $p$-divisible groups over perfectoid spaces $S$ over $\mathbb{Q}_p$ in terms of Hodge--Tate triples on $S$, generalizing a theorem of Fargues. From this, we construct an analytic Dieudonné theory with values in mixed characteristic Shtukas over the Fargues--Fontaine disc. We use our results to realize the local Shimura varieties of EL and PEL type of Scholze--Weinstein as moduli spaces of analytic $p$-divisible groups, and we reinterpret the Hodge--Tate period map of Scholze in terms of $p$-topological torsion subgroups of abelian varieties.

Iwasawa theory of CM elliptic curves is well developed for primes $p$ split in the CM field (good ordinary case), and has applications to the BSD conjecture. In contrast, for $p$ inert (good supersingular) or ramified (bad additive), new phenomena occur and the theory is still fragmentary. For the anticyclotomic deformation at an inert prime, the last few years has seen progress due to the work of Kobayashi-Ota- , following Rubin's pioneering work in the mid 80's. In this talk, we report on a similar progress for ramified primes (joint with S. Kobayashi, K. Nakamura and K. Ota).

The theory of complex multiplication implies that the values of modular functions at CM points belong to abelian extensions of imaginary quadratic fields. In this talk, we propose a conjectural extension of this phenomenon to the setting of totally real fields. Generalizing the work of Darmon, Pozzi, and Vonk, we construct rigid cocycles for $\textrm{SL}(n)$, which play the role of modular functions, and define their values at points associated with totally real fields. The construction of these cocycles originates from a topological source: the Eisenstein class of a torus bundle. This is ongoing joint work with Peter Xu.

The Catalan constant is the alternating sum of the reciprocals of the squares of odd positive integers ($1-1/9+1/25-\cdots$). In this talk, we will describe a geometric construction of a 2-dimensional mixed motive over the field of rational numbers that has the Catalan constant as a period. We will use this motive to obtain a supply of linear forms in 1 and the Catalan constant. We will also see how the coefficients of 1 and the Catalan constant in these linear forms can explicitly be calculated. The talk is based on a joint work with Kumar Murty and Yusuke Nemoto.

In this talk I will discuss the equidistribution of reductions of Galois orbits of CM points on Shimura curves over totally real number fields. The first part will be devoted to a geometric description of the curves and of their moduli interpretation, with particular focus on the Cerednik-Drinfeld uniformization, which is a novel ingredient in this equidistribution setting. Subsequently, I will explain how to connect the geometric data to automorphic theta series and eventually deduce the desired equidistribution exploiting subconvexity bounds on their Fourier coefficients. Lastly, I will mention an application to an integral version of the Andre'-Oort conjecture.

A very efficient way of constructing the $\ell$-adic realisation functor on categories of motives is proving a rigidity theorem: according to Suslin-Voevodsky, Ayoub, Cisinski-Déglise and Bachmann (in increasing generality), given a prime number $\ell$, the $\ell$-adic realisation functor is just the $\ell$-completion functor on étale motivic sheaves. This construction is sufficient in most situations, but has some flaws, as for example it is not compatible with tensoring with the rational numbers, making the construction of a $\mathbb{Q}_{\ell}$-adic realisation functor unnatural. We will define categories of proétale motives, give their basic properties, and explain how to prove a similar rigidity statement for a suitably solidified version of the categories, in a way that fixes the above flaw. A consequence of this rigidity theorem is that $\ell$-adic solid sheaves à la Fargues-Scholze, whose definition can be modified to work over schemes, afford the 6 operations, and a realisation functor from motives, as they agree with solid $\ell$-adic proétale motives. This is joint work with Raphaël Ruimy and Sebastian Wolf.

Nous étendons aux courbes de genre arbitraire le théorème de rationalité de Cantor, lui-même une extension de théorèmes de Borel, Pólya, Dwork, Bertrandias et Robinson. Il s'agit donc d'établir un critère pour qu'une famille de germes de fonctions formelles en divers points d'une courbe algébrique définie sur un corps de nombres provienne d'une même fonction rationnelle sur cette courbe. Ce critère utilise la valeur d'un jeu (à la von Neumann) construit à l'aide des potentiels complexe et non-archimédiens associés aux domaines de méromorphie complexe et non-archimédiens des germes considérés. La démonstration reprend le schéma éprouvé pour le cas d'un seul point, un théorème démontré avec J.-B. Bost. Elle s'effectue ainsi en deux étapes. La première est un critère d'algébricité, démontré par une méthode d'approximation diophantienne qui utilise une innovation proposée dans la thèse de M. Herblot. La seconde repose sur le théorème de l'indice de Hodge en théorie d'Arakelov.

Soit $b\geq 2$ un nombre entier. Pour tout nombre entier naturel $n$, nous appelons $\textit{miroir}$ de $n$ en base $b$ le nombre obtenu en renversant l'ordre des chiffres de $n$. L'existence d'une infinité de nombres premiers dont le miroir est également premier est un problème ouvert. Dans cet exposé, nous présenterons un travail en collaboration avec Cécile Dartyge et Joël Rivat, dans lequel nous montrons qu'il existe une infinité de nombres premiers dont le miroir est presque premier. Plus précisément, nous montrons qu'il existe $\Omega_b\in \mathbb{N}$ explicite et $c_b>0$ tels que, pour au moins $c_b b^{\lambda} \lambda^{-2}$ nombres premiers $p \in [b^{\lambda-1},b^{\lambda}[$, le miroir de $p$ a au plus $\Omega_b$ facteurs premiers. Notre preuve repose sur des méthodes de crible et sur l'obtention d'un résultat dans l'esprit du théorème de Bombieri-Vinogradov concernant la répartition dans les progressions arithmétiques du miroir des nombres premiers.

Soient $p$ et $\ell$ des nombres premiers $\geq 5$ tels que $\ell$ divise $p-1$. Mazur a défini un certain quotient de la Jacobienne modulaire $J_0(p)$ appelée le $\ell$-quotient d'Eisenstein. Dans un travail précédent joint avec Jun Wang, nous avons prouvé une formule de congruence en l'idéal d'Eisenstein pour la valeur critique de la fonction $L$ du $\ell$-quotient d'Eisenstein tordue par un caractère de Dirichlet pair $\chi$ tel que $\chi(p)=1$. Notre preuve repose sur une conjecture de Sharifi reliant les symboles modulaires et la $K$-théorie cyclotomique. Si le caractère est quadratique, en s'inspirant de travaux précédents d'Ono et d'autres utilisant la théorie des formes modulaires de poids demi-entier, nous appliquons notre formule de congruence pour prouver que, si $p=2\ell+1$ (i.e. $\frac{p-1}{2}$ est un nombre premier de Sophie Germain), alors il y a une infinité de corps quadratiques réels dans lesquels $p$ est décomposé et tels que ni leur nombre de classe n'est divisible par $\ell$, ni leur unité fondamentale n'est une puissance $\ell$-ème modulo un idéal premier au-dessus de $p$. Ceci est un travail en cours avec Christian Maire.

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