Séminaire de théorie des nombres de l'IMJ-PRG

Étant donné une extension galoisienne de corps de nombres L/K, le théorème de Chebotarev affirme l’équirépartition des éléments de Frobenius, relatifs aux idéaux premiers non ramifiés, dans les classes de conjugaison de Gal(L/K). On présentera une étude portant sur les variations du terme d’erreur dans le théorème de Chebotarev, lorsque L/K parcourt certaines familles d’extensions. On donnera une formule de transfert pour les fonctions classiques de décompte des nombres (ou idéaux) premiers permettant de ramener la situation à celle d’une extension des rationnels. On exposera enfin quelques conséquences à des problèmes de “type Linnik” sur la norme minimale des idéaux premiers dans un ensemble de Frobenius donné. L’exposé porte sur un travail commun avec D. Fiorilli.

Let $C$ be a curve defined over a number field $k$. We say a closed point $x$ on $C$ of degree $d$ is isolated if it does not belong to an infinite family of degree d points parametrized by the projective line or a positive rank abelian subvariety of the curve's Jacobian. There are only finitely many isolated points on $C$ of any degree, and this collection can be difficult to identify explicitly, especially as the genus of $C$ (and thus the possible degree of an isolated point) grows. Motivated by the well-known problem of classifying torsion subgroups of elliptic curves over number fields, we will restrict to the case where $C$ is the modular curve $X_1(N)$. Prior joint work with Ejder, Liu, Odumodu, and Viray showed that there are only finitely many elliptic curves with rational $j$-invariant which give rise to an isolated point of any degree on any modular curve of the form $X_1(N)$, assuming Serre's Uniformity Conjecture. In this talk, I will discuss a recent unconditional version of this result for isolated points of odd degree, which is joint work with David Gill, Jeremy Rouse, and Lori Watson.

Commençons par un problème purement géométrique que je ne sais pas résoudre : étant donné une surface (lisse, projective) peut-on borner le régulateur de Néron-Severi (si $C_1,..., C_r$ sont des courbes sur la surface formant une base du groupe de Néron-Severi, il s'agit de la valeur absolue du déterminant des nombres d'intersection de $C_i$ et $C_j$) en terme par exemple du genre géométrique de la surface ? Lorsque la courbe est définie sur un corps fini de cardinal $q$, le problème devient plus arithmétique et en utilisant fonctions zêta et autres outils arithmétique on peut montrer, sous quelques conditions, que le régulateur est borné par $q$ à la puissance le genre géométrique multiplié par $1+\epsilon$. En fait, une des conditions est la finitude du groupe de Brauer et on obtient alors la même majoration pour le produit du cardinal du groupe de Brauer par le régulateur. Cela donne (la moitié d')un analogue du théorème de Brauer-Siegel.

Kato a prouvé une flopée de beaux résultats concernant l'arithmétique des formes modulaires grâce à un système d'Euler et une loi de réciprocité explicite reliant ce système d'Euler aux valeurs spéciales des fonctions L de formes modulaires. Nous donnerons une factorisation de ce système d'Euler (un avatar algébrique de la méthode de Rankin) via la cohomologie complétée de la tour des courbes modulaires (travail en commun avec Shanwen Wang).

Soit $k$ un corps de type fini sur $\mathbb{F}_p$ et soit $A$ une variété abélienne sans facteurs d'isogénie isotriviaux. Soit $k^{perf}$ la clôture parfait de $k$. Motivé par ses applications à la conjecture de Mordell-Lang, on étudie le groupe $A(k^{perf})$. Si tous les facteurs simples de $A$ ont $p$-rang$>0$, on montre que tous les éléments infiniment $p$-divisibles de $A(k^{perf})$ sont de torsion et on donne des conditions qui garantissent sa génération finie. La démonstration est basée sur l'étude des certains groupes $p$-divisibles associés à certains $1$-motifs et sur leur incarnation cristalline et surconvergente.

J'expliquerai comment construire des éléments dans le groupe de $K$-théorie $K_4$ des courbes modulaires à l'aide du complexe polylogarithmique de poids 3 de Goncharov. La construction est uniforme en le niveau, et fait intervenir l'équation aux $S$-unités sur la courbe modulaire, où $S$ est l'ensemble des pointes. Des calculs numériques en Pari/GP permettent de conjecturer que les éléments obtenus sont proportionnels aux éléments définis par Beilinson en utilisant le symbole d'Eisenstein.

Sur les corps de nombres, on sait décrire le défaut du principe de Hasse, de l'approximation faible et de l'approximation forte pour les groupes linéaires connexes et certains de leurs espaces homogènes. Dans un travail en commun avec David Harari, nous nous intéressons aux problèmes analogues sur des corps globaux de caractéristique positive. Un ingrédient important est un théorème de dualité en cohomologie fppf, dû à Artin, Mazur et Milne, dont nous donnons une preuve complète.

Consider the hypergeometric series $F (t) := F (1/2, 1/2, 1|t)$. For any positive integer $m$ we define $F_m(t)$ as the truncation at $t^m$, i.e we drop all terms in $F(t)$ of degree $\ge m$. Let $p$ be an odd prime and $z_0$ a $p$-adic integer$\not= 0,1$. Then Dwork found that if $F_p(z_0)$ is a unit in $\mathbb{Z}_p$, the quotient $F_{p^s} (z_0)/F_{p^{s-1}} (z_0)$ converges $p$-adically to $(−1)(p−1)/2$ times the zero of the $\zeta$-function of the elliptic curve \[ y^2 \equiv x(x-1)(x-z_0) \bmod p \] with $p$-adic valuation $1$. There exist many far reaching generalizations. In two recent papers, Dwork-crystals I,II (arXiv:1903.11155, arXiv:1907.10390) Masha Vlasenko and I have developed an elementary framework which explains many of these phenomena. In this lectures I would like to present some of the ideas.

We will present recent developments in the theory of overconvergent F-isocrystals, the p-adic analogue of ell-adic lisse sheaves. For the most part of the talk we will focus on the parabolicity conjecture, a conjecture proposed by Crew in '92 on the algebraic monodromy groups of overconvergent F-isocrystals. Besides the proof, we will explore the main consequences of this conjecture.

Un polynôme irréductible à coefficients entiers peut-il prendre une infinité de valeurs qui soient des nombres premier ? Cette question ouverte est généralisée dans la fameuse hypothèse de Schinzel : soit $P_1,\ldots,P_s$ des polynômes irréductibles dans $\mathbb{Z}[x]$, sous une hypothèse naturelle, existe-t-il une infinité de $n \in \mathbb{Z}$ tels que $P_1(n), \ldots, P_s(n)$ soient simultanément des nombres premiers ? Si cette hypothèse était vraie, elle prouverait plusieurs vieilles conjectures tells que le problème des nombres premiers jumeaux. Nous allons examiner deux variantes : (a) une version relative de l'hypothèse de Schinzel : y a-t-il une infinité de $n$ tels que $P_1(n), \ldots, P_s(n)$ soient premiers entre eux ? (b) une version de l'hypothèse de Schinzel où l'anneau $\mathbb{Z}$ est remplacé par l'anneau $R = \mathbb{Z}[t]$. Nous terminerons par le lien entre ces deux variantes. Is s'agit d'un travail en commun avec Pierre Dèbes, Salah Najib et Joachim König.

La conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer est un problème central de la théorie des courbes elliptiques. À ce jour, les progrès reposent sur la construction de certains points rationnels appelés points de Heegner. Une généralisation de cette construction existe, employant des cycles algébriques et donnant lieu à des points rationnels dits de Chow-Heegner. Nous présenterons un travail en commun avec Massimo Bertolini, Henri Darmon et Kartik Prasanna, qui porte sur les cycles de Heegner généralisés et qui implique des conséquences pour les points de Chow-Heegner associés. Si le temps le permet, nous discuterons aussi d'un travail en progrès sur les cycles diagonaux de certains triple produits de courbes modulaires et leurs points de Chow-Heegner.

Soit $X\to S$ un morphisme de $\mathbb{F}_p$-schémas. Quels sont les fibr\'es vectoriels $E\to X$, les courbes $C\to X$ (ou autres types d'objets) qui sont Frobenius-divisés, c'est-à-dire qui sont des tir\'es-en-arri\`ere par le Frobenius itéré $F^i_{X/S}$ pour tout $i$ ? Cette question est liée à l'étude de la perfection de l'espace de modules des objets et de la coperfection de la base $X$. Nous rappellerons les définitions de ces notions puis expliquerons divers résultats les concernant. Le résultat principal est que si $X\to S$ est plat, de présentation finie et séparable alors sa coperfection comme schéma (resp. comme 1-champ) est le schéma des composantes connexes $\pi_0(X/S)$ (resp. le «~pro-groupoïde étale fondamental $\Pi_1(X/S)$~» que nous définissons). Il s'agit d'un travail en commun avec Yuliang Huang et Giulio Orecchia (https://arxiv.org/abs/1906.05072).

Soient $k$ un corps de nombres et $U$ une $k$-variété lisse intègre. Soit $X \to U$ un schéma abélien. On s'intéresse à l'ensemble $U(k)_{+} \subset U(k)$ des points rationnels $m \in U(k)$ tels que le rang de Mordell-Weil de la variété abélienne fibre $X_{m}$ soit strictement plus grand que celui de la fibre générique sur le corps des fonctions rationnelles $k(U)$. On établit : si la $k$-variété $X$ est $k$-unirationnelle, alors $U(k)_{+} $ est dense dans $U(k)$ pour la topologie de Zariski. On donne des variantes, et on compare avec divers résultats dans la littérature classique et moderne.

Studying cohomology of a variety with an action of a finite group is a classical and well-researched topic. However, most of the results consider only the tame ramification case or concern the image of cohomology in the K-theory. During this talk we will focus on the case of a curve over a field of characteristic $p$ with an action of a finite $p$-group. We will try to describe the equivariant behaviour of the Hodge-de Rham exact sequence of the curve. Our previous research suggests that terms of this sequence decompose as sums of certain `local' and `global' parts. We show that this is true under some mild assumptions.

Soit $k$ un corps, et soit $X$ une variété projective lisse de dimension $d$ sur le corps des fonctions $K$ d'une $k$-variété lisse $B$. Pour tout $i\ge 0$ je définirai un sous-groupe $CH^i(X)^{(0)}$ du $i$-ème groupe de Chow $CH^i(X)$ et un ``accouplement de hauteurs'' \[CH^i(X)^{(0)}\times CH^{d+1-i}(X)^{(0)}\to CH^1(B)\] dans la catégorie $\mathbf{Ab}\otimes \mathbf{Q}$ des groupes abéliens à isogénie près. Si $B$ est une courbe projective lisse, en composant avec le degré on obtient un accouplement à valeurs dans $\frac{1}{N}\mathbf{Z}\subset \mathbf{Q}$ pour $N$ convenable, qui est proche de celui construit par Beilinson via la cohomologie $l$-adique. Le groupe $CH^i(X)^{(0)}$ est contenu dans le sous-groupe des cycles numériquement équivalents à $0$; on a égalité pour $i=1,d$, et je conjecture qu'elle est vraie en général. J'étudierai aussi cet accouplement plus en détail pour $i=1$ (en supposant $k$ parfait).

Nous proposons l'exercice suivant, inspiré d'une question de Rössler et Szamuely: soit $S$ une variété (= schéma lisse, séparé, de type fini et géométriquement connexe) sur un corps $k$. On note $\eta$ son point générique. Soit également $A,B_1,...,B_r\rightarrow S$ des schémas abéliens. On suppose que pour tout point fermé $s$ de $S$, $B_{i_s,\overline{s}}$ est un facteur d'isogénie de $A_{\overline{s}}$ pour un certain $1\leq i_s\leq r$. Cela implique-t-il que $B_{i_s,\overline{\eta}}$ est un facteur d'isogénie de $A_{\overline{\eta}}$ pour un certain $1\leq i \leq r$? Indication: discuter en fonction de la nature de $k$ et deviner où se cache le fantôme. Il s'agit d'un travail en commun avec Akio Tamagawa.

Bourgain (2015) a estimé le nombre de nombres premiers avec une proportion $c>0$ de chiffres préassignés en base $2$ (c'est une constante absolue non précisée). Nous présenterons une généralisation de ce résultat à toute base $g \ge 2$ et nous donnerons des valeurs explicites pour la proportion $c$ en fonction de $g$. Notre preuve, qui développe, précise et prolonge la stratégie de Bourgain, est fondée sur la méthode du cercle et combine des techniques d'analyse harmonique avec des résultats sur les zéros des fonctions $L$ de Dirichlet, notamment une région sans zéro très fine due à Iwaniec.

L’uniformisation à la Schottky est la déscription d'une courbe analytique propre comme quotient d’un ouvert dense de la droite projective par l'action d'un groupe de Schottky. Toute surface de Riemann admet cette uniformization, aussi bien que certaines courbes p-adiques, appelées courbes de Mumford. Dans cet exposé, je vais présenter une construction d'une courbe de Mumford universelle : un espace analytique qui encode dans un même objet l'uniformisation archimédienne et celle non-archimédienne. Ce résultat s'appuie sur l'existence de certaines espaces de modules de groupes de Schottky, construits par le biais de la théorie des espaces de Berkovich sur l'anneau des entiers d'un corps de nombres, développée par Poineau. Après avoir introduit la théorie de Berkovich, je vais décrire ces courbes de Mumford universelles et expliquer comment on peut les utiliser pour étudier des objets de nature arithmétique, tels que la courbe de Tate et ses géneralisations en genre supérieur. Il s'agit d'un travail en commun avec Jérôme Poineau.

Thue a montré en 1918 qu'il y a un nombre fini de solutions entières aux équations $F(x,y)=m$ et inégalités $|F(x,y)| \le m$, où $F(x,y)$ est une forme binaire à coefficients entiers, degré $\ge 3$, irréductible sur les rationnels, et $m$ est un nombre naturel. Depuis, il y a eu de nombreux travaux qui bornent supérieurement le nombre de solutions. On discutera les principaux résultats et on donnera de nouvelles bornes qui montrent une conjecture de Mueller et Schmidt (1988) pour presque toutes les formes. On discutera aussi un résultat récent de Akhtari et Bhargava qui montre qu'il existe une proportion positive d'équations de Thue qui contredisent le principe entier de Hasse. On donnera une version plus forte de leur résultat en affinant leur construction.

In the talk, I will present an equidistribution result for families of (non-degenerate) subvarieties in a (general) family of abelian varieties. This extends a result of DeMarco and Mavraki for curves in fibered products of elliptic surfaces. Using this result, one can deduce a uniform version of the classical Bogomolov conjecture for curves embedded in their Jacobians, namely that the number of torsion points lying on them is uniformly bounded in the genus of the curve. This has been previously only known in a few select cases by work of David--Philippon and DeMarco--Krieger--Ye. Finally, one can obtain a rather uniform version of the Mordell-Lang conjecture as well by complementing a result of Dimitrov--Gao--Habegger: The number of rational points on a smooth algebraic curve defined over a number field can be bounded solely in terms of its genus and the Mordell-Weil rank of its Jacobian. Again, this was previously known only under additional assumptions (Stoll, Katz--Rabinoff--Zureick-Brown).

I will report on my long term efford to make the computation of the semistable reduction of curves over $p$-adic fields effective and practical. I will focus on some particular cases, and on the use of methods from nonarchimedian analytic geometry to achieve this goal.

We construct for each proper algebraic space an Albanese map to a para-abelian variety, which is unique up to unique isomorphism. This holds unconditionally, in the absence of rational points or ample sheaves, and also for reducible or non-reduced spaces. It also works in families, at least over dense open sets of the base. In fact, the treatment of the relative setting is crucial, even to understand the situation over ground fields. This also ensures that Albanese maps are equivariant with respect to actions of group schemes. Our approach depends on the notion of families of para-abelian varieties, where each geometric fiber admits the structure of an abelian variety, and representability of tau-parts in relative Picard groups, together with structure results on algebraic groups. This is joint work with Bruno Laurent.

I will report on recent joint work with Fabrizio Barroero in which we proved that the Zilber-Pink conjecture for a complex abelian variety $A$ can be deduced from the same statement for its trace, i.e., the largest abelian subvariety of $A$ that can be defined over the algebraic numbers. This gives some unconditional results, e.g., the conjecture for curves in complex abelian varieties (over the algebraic numbers, this is due to Habegger and Pila) and the conjecture for arbitrary subvarieties of powers of elliptic curves that have transcendental $j$-invariant. While working on this project we realised that many definitions, statements, and proofs were formal in nature and we came up with a categorical setting that contains most known examples and in which (weakly) special subvarieties can be defined and a Zilber-Pink statement can be formulated. We obtain some conditional as well as some unconditional results.

Let E be an elliptic curve over the rationals and p an odd prime such that E admits a rational p-isogeny satisfying some assumptions. In a joint work with F. Castella, J. Lee and C. Skinner, we study the anticyclotomic Iwasawa theory for E/K for some suitable quadratic imaginary field K. I will give a general introduction to Iwasawa theory and talk about how our results, combined with complex and p-adic Gross-Zagier formulae, allow us to prove a p-converse to the theorem of Gross--Zagier and Kolyvagin and some cases of the p-part of the Birch--Swinnerton-Dyer formula for elliptic curves as above. In particular, for p=3, we obtain improvements on the best known results towards Goldfeld’s conjecture on quadratic twists for elliptic curves with a rational 3-isogeny.

Soit $A$ une variété abélienne définie sur un corps de nombres $K$, avec $A(K)$ Zariski-dense dans $A$. Le but de cet exposé est de montrer que pour tout revêtement irréductible et ramifié $\pi : X \to A$ l'ensemble $A(K) \setminus \pi(X(K))$ est encore Zariski-dense dans $A$ (et même qu'il contient une classe latérale de $A(K)$ sous un sous-groupe d'indice fini). Ce résultat est motivé par la conjecture de Lang sur les points rationnels des variétés de type général et confirme une conjecture de Corvaja et Zannier sur la ``propriété d'Hilbert faible" dans le cas des variétés abéliennes. Il s'agit d'un travail en commun avec P. Corvaja, J. Demeio, A. Javanpeykar et U. Zannier.