Séminaire de théorie des nombres de l'IMJ-PRG

D’après Faltings une courbe projective lisse de genre au moins 2 définie sur un corps de nombres K n’a qu’un nombre fini de points K-rationnels. Les courbes elliptiques peuvent avoir une infinité de tels points, ainsi que la droite projective ; par contre, elles en ont "beaucoup moins" que la droite projective. Dans un travail en commun avec Y. Brunebarbe, basé sur un résultat récent de Ellenberg-Lawrence-Venkatesh, nous démontrons un résultat analogue en dimension supérieure : les variétés projectives avec groupe fondamental gros (au sens de Kollár-Campana) ont “beaucoup moins" de points que les variétés de Fano.

L'arithmétique des courbes elliptiques à multiplication complexe a attiré de nombreux mathématiciens. Parmi ces courbes, Gross a introduit des courbes elliptiques aux propriétés particulièrement agréables. Pour une famille de tordues de ces courbes elliptiques, on montrera la non-annulation des valeurs centrales des fonctions $L$. La démonstration utilise la théorie d'Iwasawa dans le cas $p=2$. Travail joint avec Yong-Xiong Li.

The theory of motives with modulus was introduced by Kahn-Miyazaki-Saito-Yamazaki as a generalisation of Voevodsky's theory of motives. This generalisation aims to get a motivic picture of non-$\mathbb{A}^1$-homotopy invariant phenomena, which cannot be captured by Voevodsky's theory. In this talk, I will briefly review the basics of the theory, and explain the construction of Hodge realisation of motives with modulus, based on the ongoing joint works with Shane Kelly. If time permits, I will try to explain my recent joint work with Junnosuke Koizumi on the relationship between motives with modulus and big Witt vectors.

Soit C une courbe de genre g > 2 plongée dans sa Jacobienne J. Le cycle de Ceresa C-[-1]*C est un cycle algébrique homologiquement trivial de dimension 1 dans J. Pour C hyperelliptique ce cycle est trivial modulo équivalence algébrique, alors que pour C générale il est non-trivial d'après Ceresa. Récemment, le premier exemple d'une courbe non-hyperelliptique pour laquelle le cycle de Ceresa est de torsion modulo équivalence algébrique a été obtenu par Beauville et Schoen. Inspirés de leur travail, nous obtenons deux nouveaux exemples de courbes non-hyperelliptiques pour lesquelles l'image du cycle de Ceresa par l'application d'Abel-Jacobi complexe est de torsion. Nos exemples, ainsi que celui de Beauville et Schoen, sont des quotients cycliques de courbes de Fermat. Dans chacun des trois cas, nous calculons l'ordre d'annulation centrale de la fonction L du motif concerné. Pour notre exemple de genre 3, la valeur centrale est non-nulle et le cycle est de torsion modulo équivalence algébrique, en accord avec la conjecture de Beilinson-Bloch. Ceci est un travail en commun avec Ari Shnidman.

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