Séminaire de théorie des nombres de l'IMJ-PRG

This pair of lectures follows the one hour talk that was recorded last week at the Luminy conference in honour of Jean-Pierre Labesse. I hope to be able to expand here on the various topics that were introduced there, and to say more about some of their consequences. At the heart of the theory is how fundamental relations between harmonic analysis (automorphic forms) and arithmetic geometry (motives) can be made explicit in a conjectural construction of the automorphic and motivic Galois groups. We shall introduce these groups, and describe some of their basic properties. We shall then describe how they might extend to two broader theories, those of mixed motives and exponential motives. The groups also seem to have implications for the beyond endoscopic comparison of trace formulas, an undeveloped theory that might serve as a foundation for the future proofs, even though not much can be said at present.

Dans un article méconnu de 1844, G. Eisenstein suggère une piste pour étendre la théorie des fonctions elliptiques au cas de "réseaux de rang 3". Il indique également que la nouvelle classe de produits infinis méromorphes qu'il considère possède de riches applications arithmétiques. Je présenterai des résultats de nature expérimentale et théorique qui donnent à penser qu'il avait effectivement mis à jour un analogue pour les corps cubiques complexes de la théorie CM des unités elliptiques. Il s'agit d'un travail en commun avec Nicolas Bergeron et Luis Garcia.

A Galois section of a hyperbolic curve over a field is defined to be a continuous section of the natural continuous surjective outer homomorphism from the etale fundamental group of the given curve to the absolute Galois group of the basefield. Grothendieck's section conjecture states that, for a given hyperbolic curve over a number field, an arbitrary Galois section of the curve is geometric, i.e., the image of an arbitrary Galois section of the curve is contained in a decomposition subgroup associated to a closed point of the curve. After a brief state of the background, this talk will report on recent and future developments concerning this conjecture. In particular, I will explain a proof of the geometricity of an adelic Galois section of a "sufficiently small" hyperbolic curve over a number field. This talk is based on a joint work with Shinichi Mochizuki.

Les formes automorphes $p$-adiques sont désormais un outil essentiel en théorie des nombres, et de nombreux résultats consistent à montrer que certaines formes automorphes $p$-adiques qui ont un comportement similaire à celui d'une forme classique le sont aussi. Dans cet exposé j'expliquerai un exemple pour le groupe $U(3)$ où cela n'est pas le cas. Il s'agit en fait d'une conséquence de la structure de la cohomologie complétée pour ce groupe et de la géométrie d'un espace de déformation local pour des formes automorphes très critiques. Si le temps le permet, j'essaierai de relier cet espace à la variété de Steinberg et de faire le lien avec une construction de Bezrukavnikov. Il s'agit d'un travail en commun avec Eugen Hellmann et Benjamin Schraen.

We introduce a new method to study mixed characteristic deformations of line bundles. In particular, given a sufficiently large family of smooth projective varieties defined over a ring of integers, we produce an explicit proper closed locus in the base outside of which all line bundles defined on positive characteristic fibres lift to a line bundle on a characteristic zero fibre. Joint work with Ziquan Yang.

Soit $K$ un corps de nombres CM de degré $2d$ sur le corps des rationnels. En 1978, Katz a construit les fonctions $L$ $p$-adiques de $d + 1$-variables associées aux caractères de Hecke algébriques sur $K$. Sous certaines conditions techniques, on construit les fonctions $L$ d’Artin $p$-adiques sur un corps CM pour les représentations d'Artin du groupe de Galois absolu de $K$, qui généralisent les fonctions $L$ $p$-adiques de Katz. On démontre aussi la conjecture principale d'Iwasawa pour notre fonction $L$ $p$-adique (i.e. Conjecture Principale d'Iwasawa pour les représentations d'Artin) qui insiste sur l'égalité de l'idéal de la fonction $L$ $p$-adique et de l'idéal caractéristique du groupe de Selmer. Notre travail est un analogue pour les corps CM du travail de Greenberg qui a construit les fonctions $L$ d’Artin $p$-adiques sur un corps totalement réel. C'est un travail commun avec Takashi Hara (Tsuda University)

We show that in the case of primary field extensions, the extension of scalars of Deligne 1-motives admits a left adjoint, called Chow image, and a right adjoint, called Chow trace. This generalises W.-L. Chow’s results on abelian varieties. Then we study the Chow trace in the framework of Voevodsky’s triangulated category of motives. With respect to the 1-motivic t-structure on the category of Voevodsky’s homological 1-motives, the zero-th direct image of an abelian variety is given by the Chow trace, and the first direct image is the 0-motive defined by the (geometric) Lang-Néron group.

Pour un genre $g>0$ donné, nous donnons des bornes inférieures pour le nombre maximal de points rationnels d'une courbe projective lisse absolument irréductible de genre $g$ sur le corps fini $\mathbb{F}_q$. D'abord, on donne une construction explicite qui produit des courbes de genre $g$ sur $\mathbb{F}_q$ avec au moins $1+q+4\sqrt{q}-32$ points. Puis en utilisant les sommes de puissances des traces de Frobenius des courbes hyperelliptiques, on obtient une borne inférieure de la forme $1+q+1.71\sqrt{q}$ valable pour $g>2$ et $q>9$ impair. Enfin, et comme conséquence de la théorie de Katz-Sarnak, on obtient pour tout $g>0$ donné, tout $\epsilon>0$ et tout $q$ suffisamment grand, l'existence d'une courbe de genre $g$ sur $\mathbb{F}_q$ avec au moins $1+q+(2g−\epsilon)\sqrt{q}$ points rationnels. En plus, on ira au-delà de cette théorie pour essayer d'expliquer les asymétries observées dans la distribution du nombre de points et qui ne sont pas détectées par Katz-Sarnak. Celui-ci est un travail conjoint avec J. Bergström, E. Howe et C. Ritzenthaler.

Tchebychev a observé que lorsque l'on énumère les nombres premiers par ordre croissant, on a souvent l'impression d'en croiser plus qui soient congrus à 3 qu'à 1 modulo 4. Cette observation est maintenant bien comprise et expliquée, notamment par les travaux de Rubinstein et Sarnak. Dans cet exposé, nous étudierons un analogue dans l'anneau des polynômes à coefficients dans un corps fini. Dans ce cadre, Cha a aussi établi l'existence d'un biais dans la répartition de type Tchebychev sous une hypothèse d'indépendance linéaire des zéros de fonctions L. Cependant, quelques comportements exceptionnels ont été observés dans le cas où cette hypothèse n'est pas satisfaite. Nous présenterons notamment des cas de "biais complet" et de "biais inversé", et nous expliquerons pourquoi il y a une proportion petite (tendant vers 0 lorsque la taille du corps est grande) de tels comportements. Les résultats présentés sont principalement issus d'un travail joint avec Alexandre Bailleul, Daniel Keliher et Wanlin Li.

I will discuss my recent result that gives a sufficient condition for a set of finitely many polynomials of degree 1 with coefficients in a number ring to attain simultaneous prime values. This extends a 2012 theorem of Green-Tao-Ziegler from the case of $\mathbb{Z}$ to the general case. Time permitting, I will mention how this can be applied to produce (modestly) new families of varieties over number fields which satisfy the Hasse principle for rational points by using the so-called fibration methods.