Frédéric Hélein
Séminaire de géométrie et physique mathématique
organisé par Serguei Barannikov, Daniel Bennequin, Christian Brouder,
Frédéric Hélein et Volodya Roubtsov
Attention : changement de salle et de jour !
Le séminaire a lieu dorénavant le vendredi après-midi
en salle 1016
Bâtiment Sophie Germain, Paris 13ème
(voir
le plan d'accès)
Année 2015-2016
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Vendredi premier juillet 2016, 14 h
salle 1016 :
Jean-Marie Lescure
Université Blaise Pascal, Clermont-Ferrand
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Distributions et Groupoïdes de Lie
Résumé : Dans cet exposé, je présenterai des travaux en collaboration avec Dominique Manchon (Clermont-Fd) et Stéphane Vassout (IMJ).
Pour commencer, je ferai quelques rappels sur les groupoïdes de Lie. Ensuite, une classe naturelle d'opérateurs compatibles avec le produit de convolution sera introduite (\(G\)-opérateurs), afin de motiver l'étude des distributions dans ce contexte.
Des conditions suffisantes naturelles pour la convolabilité de deux distributions seront données, et on verra que la compréhension du front d'onde de la convolée fait intervenir un ingrédient essentiel, le groupoïde symplectique cotangent de Coste-Dazord-Weinstein.
Ensuite, on spécialisera l'étude aux distributions lagrangiennes. Une condition suffisante très simple garantit qu'une telle distribution donne un G-opérateur, qui sera appelé G-OFI. J'exposerai alors brièvement le calcul des G-OFI, en mettant en avant le calcul correspondant des lagrangiennes dans le groupoïde symplectique cotangent. Dans le même esprit, des résultats de \(C^*\)-continuité seront donnés pour les G-OFI, et le lien sera fait avec les familles d'opérateurs dans les fibres et dans les orbites.
Finalement, j'aborderai l'équation d'évolution \((D_t +P)u=0\) où \(P\) est un \(G\)-opérateur pseudodifférentiel elliptique positif d'ordre 1 et montrerai que sa solution fondamentale \(\hbox{exp}(itP)\) est un \((R \times G)\)-OFI dont la lagrangienne associée est construite à partir du symbole principal de \(P\).
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Prochaines séances :
Séances précédentes :
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Vendredi 10 juin 2016, de 10 h 30 à 17 h 30
Institut Henri Poincaré Amphi Hermite
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Journée spéciale co-organisée
avec Pierre Cartier, Yvette Kosmann-Schwarzbach
et Camille Laurent-Gengoux
(voir aussi Séminaire de Géométrie et Quantification)
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10 h 30 - 12h
Frédéric Hélein
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Cristallisation de connexions et de fibrés liquides
Résumé : Je présenterai des formulations variationnelles nouvelles de théories de jauge
dans lesquelles l'espace de configuration est un ensemble de champs définis sur
l'espace total du fibré principal en jeu, donc dépendant à la fois des variables d'espace-temps
et de variables paramétrisant le groupe de structure.
Pour une théorie de Yang-Mills, cela revient à partir de connexions d'Ehresmann non
équivariantes. Pour une théorie de gravitation (un travail en collaboration avec Dimitri Vey),
cela revient à partir de formes à valeurs dans une algèbre de Lie définies sur une variété vierge,
au sens où aucune structure n'y est définie a priori.
Les équations d'Euler-Lagrange font apparaître des contraintes qui forcent l'apparition
d'une fibration spontanée pour la gravitation et d'une connexion équivariante dans tous
les cas. Un mécanisme supplémentaire fait que, si le groupe de structure est
compact, les champs de jauge ainsi obtenus sont solutions des équations de Yang-Mills ou d'Einstein.
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14 h - 15 h 30
Michel Dubois-Violette
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Géométrie quantique exceptionnelle et physique des particules
Résumé : Basée sur une interprétation de la symétrie quark-lepton en terme de l'unimodularité du groupe de couleurs \(SU(3)\) et sur l'existence de 3 générations, nous développons une analyse suggérant que l'« espace quantique fini » correspondant à l'algèbre de Jordan exceptionnelle (l'algèbre euclidienne d'Albert) joue un rôle dans la description des espaces internes en théorie des particules.
Plus généralement, nous suggérons que le remplacement de l'algèbre des fonctions réelles sur l'espace-temps par l'algèbre des fonctions réelles sur l'espace-temps à valeurs dans une algèbre de Jordan euclidienne de dimension finie est potentiellement intéressante en physique des particules. Cela nous conduit à étudier la théorie des modules de Jordan et à développer le calcul différentiel sur les algèbre de Jordan. Nous formulons la définition correspondante des connexions sur les modules de Jordan.
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16 h - 17 h 30
Mathieu Stiénon
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Théorème de Kontsevich--Duflo pour les paires de Lie
Résumé : Le théorème de Kontsevich--Duflo affirme que, pour toute variété complexe \(X\),
l'application de Hochschild--Kostant--Rosenberg tordue par la racine carrée de la classe de Todd
du fibré tangent à \(X\) est un isomorphisme d'algèbres associatives de la cohomologie de faisceau
\(H^{\bullet}(X,\wedge T_X)\) sur la cohomologie de Hochschild \(H^{\bullet}(X)\).
Nous montrerons que le théorème de Kontsevich--Duflo s'étend au delà du cadre restreint des variétés complexes
à une très large gamme de situations géométriques descriptibles en termes d'algébroïdes de Lie
et incluant feuilletages et actions d'un groupe de Lie sur une variété.
Une paire de Lie \((L,A)\) est la donnée d'un sous-algébroïde \(A\) d'un algébroïde de Lie \(L\).
à toute paire de Lie sont associées deux algèbres de Gerstenhaber
qui jouent un rôle semblable aux espaces de champs de polyvecteurs et d'opérateurs polydifférentiels.
L'application de Hochschild--Kostant--Rosenberg tordue par la racine carrée de la classe de Todd
de la paire de Lie réalise un isomorphisme entre ces deux algèbres de Gerstenhaber.
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Vendredi 3 juin 2016, 14 h
Attention ! nouvel horaire (avancé)
salle 1016 :
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Conférence annulée
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Vendredi 27 mai 2016, 14 h
Attention ! nouvel horaire (avancé)
salle 1016 :
Pavol Ševera
Université de Genève
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Poisson-Lie T-duality and Courant algebroids
Résumé : Poisson-Lie T-duality is a non-Abelian generalization of T-duality, and also a non-Abelian form of Noether theorem for 2-dimensional variational problems. I will speak about the geometry behind this T-duality, given by Courant algebroids and principal bundles with vanishing first Pontryagin class, and its relation with Chern-Simons theory.
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Vendredi 20 mai 2016, 14 h
Attention ! nouvel horaire (avancé)
salle 1016 :
Patrick Iglesias
LATP Marseille
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Toutes les demi-droites se valent elles ?
Résumé : Je montrerai comment la difféologie discrimine les diverses demi-droites, c'est-à-dire : les quotients des espace euclidiens de diverses dimensions par leur groupe orthogonal, ou bien leur limite inductive, ou encore la demi-droite plongée. Cette exemple illustre la capacité de la difféologie à encoder avec précision le type de singularité des quotients, même lorsque cette singularité est isolée.
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Vendredi 15 avril 2016, 14 h
Attention ! nouvel horaire (avancé)
salle 1016 :
Maksim Maydanskiy
Université d'Uppsala
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Symplectic and Kähler geometry and exponential families of distributions
Résumé :
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Vendredi 1er avril 2016, 14 h
salle 1016 :
Frédéric Hélein
IMJ-PRG,
Université Paris Diderot
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Cristallisation de fibrés liquides et gravitation
Résumé : je présenterai une formulation variationnelle nouvelle d'une théorie de la gravitation.
Les champs sont des formes définies sur une variété de dimension 10 et l'action présente des similarités avec
celle formulée par Einstein en 1925 (et communément appelée "action de Palatini"). Les points critiques de
cette action définissent localement une fibration sur une variété de dimension 4 dotée d'une métrique
et de la connexion de Levi-Civita. Cette variété est solution des équations d'Einstein-Cartan homogènes
dans le cas riemannien et non homogènes dans le cas lorentzien. Il s'agit d'un travail en collaboration avec
Dimitri Vey (cf. arXiv:1508.07765).
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Vendredi 25 mars 2016, 14 h 30, salle 1016 :
Daniel Bennequin
IMJ-PRG,
Université Paris Diderot
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Une explication géométrique
des particules connues
Résumé : voir l'article sur arXiv.
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Vendredi 18 mars 2016, 14 h 30, salle 1016 :
Ana Ros Camacho
IMJ-PRG,
Université Paris Diderot
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Sur la correspondance Landau-Ginzburg/théorie conforme des
champs
Résumé : On présente la correspondance Landau-Ginzburg/théorie
conforme des champs, un résultat de la littérature physique qui par
exemple prédit quelque relation entre des catégories de factorisations
matricielles et catégories de représentations des algèbres d'opérateurs
vortex. Jusqu'au présent on manque quelque formulation mathématique
précise sur cet résultat et on présente des avances récents en ce sujet.
Travail conjoint avec N. Carqueville, A. Davydov, R. Newton et I. Runkel.
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Vendredi 11 mars 2016, 14 h 30, salle 1016 :
Victor Gayral
Université de Reims
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De la quantification équivariante aux groupes quantiques localement compacts
en passant par les deformations de \(C^*\)-algèbres
Résumé : Dans cet exposé, j'expliquerai comment une quantification \(G\)-équivariante (ou \(G\)-quasi-équivariante) sur un groupe
localement compact \(G\) peut permettre de construire une théorie des déformations des \(C^*\)-systèmes dynamiques
pour \(G\) ainsi que des groupes quantiques localement compact (au sens de Kustermans-Vaes) déformant le groupe \(G\).
Pour illustrer cette construction, je donnerai deux classes d'exemples :
les groupes Kählériens de courbure sectionnelle négative (groupes de Pyatetskii-Shapiro) et
des groupes quotients de certains sous-groupes du groupe affine d'un corps local non Archimédien.
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Vendredi 4 mars 2016, 14 h 30, salle 1016 :
Relâche
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Vacances
Abstract
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Vendredi 26 février 2016, 14 h 30, salle 1016 :
Relâche
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Vacances
Abstract
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Vendredi 19 février 2016, 14 h 30, salle 1016 :
Camille Laurent-Gengoux
Université de Metz
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Feuilletages singuliers et \(Q\)-variétés
Résumé : On appelle feuilletage singulier une famille finie de champs de vecteurs stable par crochet (en tant que module sur les fonctions). Les feuilletages singuliers ont des feuilles, ont une structure transverse, tout comme les feuilletages réguliers, mais définir leurs autres invariants est un point plus délicat. Dans ce travail joint avec Sylvain Lavau et Thomas Strobl, nous allons associer des \(Q\)-variétés à (presque tout) feuilletage singulier et défendons l'idée que celles-ci doivent se comprendre comme les symétries du feuilletage singulier, et, de façon générale, décrivent la géométrie de ces feuilletages.
Rappelons que les \(Q\)-variétés sont ces objets aussi appelés variétés différentielles graduées, algébroïdes Lie-infinies ou à homotopies près, ou encore, plus pompeusement, structures supérieures, dont les axiomes ressemblent à ceux des algébroïdes de Lie, sauf que Jacobi n'est vérifié qu'à un 3-crochet près, qui lui-même ne ferme qu'à un 4-crochet près et ainsi de suite. Ce sont encore les variétés graduées munies d'un champ de vecteur homologique.
Ces \(Q\)-variétés sont uniques à homotopies près, ce qui les plus rend plus naturelles en un sens que les algébroïdes de Lie qui engendrent nombre de feuilletages singuliers. Qui plus est, cela fait que les cohomologies qui leurs sont associées, par exemple le long d'une feuille, sont intrinsèques au feuilletage singulier. On retrouve par cette procédure, en particulier, certaines constructions de Androulidakis, Skandalis et Zambon des monodromies des feuilles d'un feuilletage singulier.
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Vendredi 12 février 2016, 14 h 30, salle 1016 :
Jae-Suk Park
Université technologique de Pohang
Corée du sud
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Abstract: I would like to explain my program for algebraic quantum fields theory, which is based on an attempt to
characterize path integrals of quantum field theory in terms of the symmetries of the quantum expectation. Compared to the expectation in a probability space, the quantum expectation
should satisfy a certain additional coherence with a particular weight filtration generated by the Planck constant ℏ. This leads to a proposal that quantum field theory is a study of morphisms of CQFT algebras such that two quantum field theories are physically equivalent if and only if the associated CQFT algebras are quasi-isomorphic. I will show that it is possible to capture rather complete physical information by studying such algebraic category with an application to the quantisation scheme
pioneered by Batalin and Vilkovisky.
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Vendredi 5 février 2016, 14 h 30, salle 1016 :
Jae-Suk Park
Université technologique de Pohang
Corée du sud
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Homotopy Theory of Probability Spaces
Abstract: The notion of a homotopy probability space is an enrichment of the notion of an algebraic probability space with ideas from algebraic homotopy theory. This enrichment uses a characterization of the laws of random variables in a probability space in terms of symmetries of the expectation. The laws of random variables are reinterpreted as invariants of the homotopy types of infinity morphisms between certain homotopy algebras. The relevant category of homotopy algebras is determined by the appropriate notion of independence for the underlying probability theory. This theory will be both a natural generalization and an effective computational tool for the study of classical algebraic probability spaces, while keeping the same central limit. This lecture is focused on the commutative case, where the laws of random variables are also described in terms of certain affinely flat structures on the formal moduli space of a naturally defined family attached to the given algebraic probability space.
(Many results covered in this lecture will be used as background materials for the 2nd lecture)
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Vendredi 29 janvier 2016, 14 h 30, salle 1016 :
Claudio Bartocci
Université de Gênes
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Espaces de modules de fibrés encadrés et variétés de représentations de carquois
Abstract
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Vendredi 22 janvier 2016, 14 h 30, salle 1016 :
Frédéric Hélein
IMJ-PRG, Université Paris Diderot
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Construction de quantités conservées pour les équations
dispersives non linéaires
Abstract
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Vendredi 15 janvier 2016, 14 h 30, salle 1016 :
Bernhard Maschke
LAGEP, Université Lyon 1
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Systèmes hamiltoniens définis sur des structures de Dirac pour les systèmes physiques ouverts
Abstract
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Vendredi 8 janvier 2016, 14 h 30 :
Pas de séminaire
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Relâche
Abstract
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Vendredi 18 décembre 2015, 14 h 30 :
Michele Schiavina
Université de Zürich
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BV-BFV approach to General Relativity
Abstract: The idea of joining together cohomological descriptions of gauge theories and different endeavours to understand quantisation as a functorial operation culminated recently in the work of Cattaneo, Mnev and Reshetikhin, who proposed a framework to deal with gauge theories with boundary, in view of their perturbative quantisation.
The framework, that goes under the name of BV-BFV formalims (after Batalin, Fradkin and Vilkovisky), has revealed to be very promising for the aforementioned goal, and was tested only recently of the case of General Relativity.
After presenting the generalities of the BV-BFV formalism, I will move on to its application to GR, trying to argue why it should be considered as a tool to refine the notion of classical equivalence of field theories.
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Vendredi 11 décembre 2015, 14 h 30 :
Johannes Kellendonk
Institut Camille Jordan
Université Lyon 1
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\(C^*\)-algebraic approach to topological insulators with weak disorder
Abstract :
The description of topological phases of insulators requires the notion of homotopy classes of gapped Hamiltonians and
their classification according to symmetry type.
In the presence of disorder (which is necessary for certain aspects of topological quantisation) vector bundles
over the Brillouin zone can no longer be used since the Brillouin zone degenerates.
Some 30 years ago Jean Bellissard proposed to consider a noncommutative analog of the Brillouin zone in form of a \(C^*\)-algebra.
We explain how to incorporate the symmetries into the \(C^*\)-algebraic framework obtaining the famous classification table of
topological phases (attributed to Kitaev) by means of van Daele's K-theory.
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Vendredi 4 décembre 2015, 14 h 30 :
Matthew Burke
Macquarie University, Australie
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Multi-object Lie theory using synthetic differential geometry
Abstract:
This talk will describe an alternative perspective on the Weinstein groupoid construction and the integrability of certain infinitesimal structures in Lie theory. First we recall some general abstract features of classical Lie theory. Then we see how to form the infinitesimal part of a category using the infinitesimals from the theory of synthetic differential geometry. Finally we describe a modification of the Weinstein groupoid construction and observe how to relate infinitesimal and macroscopic homotopies.
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Vendredi 27 novembre 2015, 14 h 30 :
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Pas de séminaire
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Vendredi 20 novembre 2015, 14 h 30 :
Igor Khavkine
Université de Trente
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Local and gauge invariant observables in gravity
Abstract:
The notion of a local gauge invariant observable is central in the
mathematical treatment of renormalization of interacting theories in
Perturbative Algebraic Quantum Field Theory and the Functional approach
to Classical Field Theory. Prototypical examples are compactly supported
smearings of a scalar field, of a Maxwell field strength, or of an
invariant polynomial in a Yang-Mills curvature. It is well known that
observables of this type do not exist for General Relativity (GR). On
the other hand, slightly relaxing the definition of locality opens the
door to a large and explicit class of gauge invariant observables
defined in terms of curvature scalars. This can be thought of as a new
application of ideas that go back at least to Komar and Bergmann. I will
briefly discuss rough ideas about the following properties of these
observables: phase space and spacetime support, separation of generic
and special solutions, calculation of Poisson brackets.
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Vendredi 13 novembre 2015, 14 h 30 :
Dimitri Scarpalézos
IMJ-PRG et Université Paris Diderot
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Algèbres asymptotiques de Colombeau, produits de distributions et comparaison de régularité généralisée
Abstract
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Vendredi 6 novembre 2015, 14 h 30 :
Amir-Kian Kashani-Poor
Laboratoire de Physique Théorique
Ecole Normale Supérieure
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Exact WKB analysis of the Mathieu equation and epsilon deformed SU(2) gauge theory
Abstract: The 2d/4d correspondence relating 2d conformal field theory to 4d gauge theory permits reducing the computation of certain generalized instanton generating functions in gauge theory to the solution of differential equations. In the case of pure N=2 supersymmetric SU(2) gauge theory, the relevant differential equation is the Mathieu equation. The aforementioned “generalized” is reflected in the presence of an expansion parameter epsilon related to the embedding of the gauge theory within string theory. In this talk, we will study the Mathieu equation with exact WKB methods and relate the analysis to non-perturbative effects in epsilon.
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Vendredi 30 octobre 2015, 14 h 30 :
Luca Veglia
IMJ-PRG et Université Paris Diderot
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Multisymplectic superfield theories
Abstract
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Vendredi 23 octobre 2015, 14 h 30 :
Mathieu Stiénon
Penn State University
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Jets d'ordre infini d'applications exponentielles
Résumé : Les applications exponentielles apparaissent naturellement en théorie de Lie et dans le contexte des connexions sur les variétés lisses. Les jets d'ordre infini de ces applications exponentielles sont liés à l'isomorphisme de Poincaré--Birkhoff--Witt et au symbole des opérateurs différentiels. Nous montrerons comment étendre ces applications aux variétés graduées et en déduire des résolutions à la Fedosov.
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Vendredi 16 octobre 2015, 14 h 30 :
Hovik Khudaverdian
The University of Manchester - IHES
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Odd Laplacian on half-densities and modular class of an odd Poisson supermanifold
Abstract: Second order operator \(\Delta\) on half-densities can be uniquely defined by its principal symbol \(E\) up to a `potential' \(U\). A potential \(U\) can be defined via volume form, an affine
connection, or a Riemannian structure, etc.
The story is different if \(\Delta\) is second order
odd operator on a supermanifold. In this case we come
to examples when potential \(U\) becomes primary object.
Principal symbol \(E\) of an odd operator \(\Delta\) defines an odd bracket, and Jacobi identity are obeyed iff \(\Delta^2\) is an operator of order less than \(3\). If the Poisson bracket is non-degenerate (symplectic case) then one comes to canonical
odd Laplacian, the operator \(\Delta\)
such that its principal symbol produces the symplectic structure,
and potential \(U\) vanishes in Darboux coordinates. This operator
is the main ingridient of Batalin-Vilkovsiky formalism.
In a case of arbitrary odd Poisson manifold we define its
modular class in terms of \(\Delta\) operator, and we consider an examples of non-trivial modular
classes related with the Nijenhuis bracket
of differential forms valued vector fields.
The talk is based on the joint paper with M. Peddie:
arXiv:1509.05686.
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Vendredi 9 octobre 2015, 14 h 30 :
Lionel Mason
Oxford University
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Twistor actions, Wilson-loops and Grassmannian methods
Abstract
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Vendredi 2 octobre 2015, 14 h 30 :
Sergey Solodukhin
Laboratoire de Mathématiques
et Physique théorique,
Université de Tours
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Metric Redefinition and UV Divergences in Quantum Einstein Gravity
Résumé: je discuterai mon travail le plus récent
arXiv:1509.04890 (hep-th)
où je propose qu'on peut absorber quasiment toutes
les divergences UV dans la théorie quantique
de la gravité d'Einstein en utilisant des redéfinitions de la métrique.
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Année précédente
(2014-2015)
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