Séminaires : Géométrie et dynamique dans les espaces de modules

Une courbe (complexe) plane est le lieu des zéros dans CP2 d'un polynôme homogène en trois variables.
Toute courbe plane est munie d’une métrique riemannienne induite par la métrique ambiante de Fubini-Study du plan projectif complexe. Nous donnons des bornes inférieures probabilistes sur certaines quantités métriques et spectrales (telles que la systole ou le trou spectral) des courbes planes lorsque celles-ci sont choisies aléatoirement. Il s’agit d’un travail commun avec Damien Gayet.

Les sous-groupes projectivement Anosov de SL(n,R) ont été introduits (par Labourie) puis étudiés comme des généralisations des sous-groupes convexe-cocompacts de SL(2,R). Dans le cas de SL(2,R), cette propriété se lit sur la dynamique uniformément hyperbolique du flot géodésique du quotient du plan hyperbolique par un tel sous-groupe. Dans un travail commun avec B. Delarue et A. Sanders, nous expliquons comment retrouver cette même propriété de dynamique uniformément hyperbolique pour un flot sur le quotient d'un ouvert d'un espace homogène de SL(n,R) qui généralise le flot géodésique du plan hyperbolique pour SL(2,R), mais qui n'est pas le flot géodésique de l'espace symétrique de SL(n,R) (puisque ce dernier ne vit pas sur un espace homogène quand n>2). Nous montrons le mélange exponentiel pour ces flots, et en déduisons des formules de comptage avec terme d'erreur exponentiel pour le nombre de classes de conjugaisons dont le rayon spectral est majoré (le terme dominant du développement asymptotique étant du à A. Sambarino). Si le temps le permet, j'expliquerai également comment appliquer ce résultat au flot géodésique des convexes divisibles à bord C^1.

We introduce orthogonal ring patterns consisting of pairs of concentric circles. They generalize orthogonal circle patterns which can be treated as conformal limit. It is shown that orthogonal ring patterns in Euclidean and hyperbolic planes and in a sphere are governed by integrable equations. We deliver variational principles which are used to prove existence and uniqueness results, and also to compute ring patterns with classical boundary conditions. The later are used to generate discrete cmc surfaces. Relation to minimal surfaces in S3 and AdS3 is discussed. Numerous virtual and printed models as well as animation movies will be demonstrated.

Yoccoz a démontré dans sa thèse que tout difféomorphisme lisse du cercle  de nombre de rotation $\alpha$ irrationnel   peut être approché en topologie $C^\infty$ par des difféomorphismes du cercle  $C^\infty$-linéarisables de nombre de rotation $\alpha$. 
Je démontrerai dans cet exposé la généralisation suivante de ce résultat : soit $k$ un entier et $f$ un difféomorphisme lisse de nombre de rotation $\alpha$ irrationnel ; alors, il existe un chemin continu $t\mapsto f_t$ de difféomorphismes $C^k$ du cercle tel que $f_0=f$, $f_1=T_\alpha$ et pour tout $t\in ]0,1]$ le difféomorphisme $f_t$ est $C^k$-linéarisable.
La preuve de ce résultat est basée sur un schéma de renormalisation que j'expliquerai et l’exposé sera une occasion de revisiter un certain nombre de résultats de la théorie des difféomorphismes du cercle via cette approche.

Les surfaces de Markov sont des surfaces algébriques affines cubiques
qui apparaissent lorsqu’on étudie les représentations du groupe libre
de rang 2 dans SL(2,C). Le groupe des automorphismes du groupe libre
agit sur ces surfaces par transformations polynomiales. Cet exposé
concernera la dynamique de cette action de groupe ; plus précisément,
je décrirais la classification des mesures de probabilités
stationnaires. (Avec Christophe Dupont et Florestan Martin-Baillon)