Résume |
Les algèbres KLR (carquois-Hecke) classiques catégorifient $U^-_q(\mathfrak{g})$, et leurs quotients cyclotomiques catégorifient les modules simples sur $U_q(\mathfrak{g})$. Naise et Vaz ont introduit une extension des algèbres KLR permettant de catégorifier les modules de Verma. L'objectif de ce travail est de proposer une construction géométrique de ces extensions, en s'inspirant des constructions géométriques des algèbres KLR classiques développées par Varagnolo-Vasserot et Rouquier.
Pour illustrer notre approche, commençons par l'algèbre nil-Hecke, qui correspond à la version $sl_2$ des algèbres KLR. Sa construction géométrique repose sur la variété des couples de drapeaux. Nous étendons cette construction en ajoutant deux Grassmanniennes, ce qui donne une algèbre plus grande que nécessaire. Cependant, il est possible de considérer une variété plus petite (avec une seule Grassmannienne au lieu de deux), dont l'homologie correspond exactement à l'algèbre souhaitée. Cette variété, toutefois, ne possède pas de produit géométrique évident, ce qui rend nécessaire de passer d'abord par la construction impliquant deux Grassmanniennes.
Dans le cas général des algèbres KLR, la situation est encore plus complexe. La variété finale est construite en plusieurs étapes, et sa définition peut sembler relativement compliquée. Cependant, la méthode des variétés diagrammatiques joue un rôle central dans cette construction. Elle offre une technique puissante pour identifier les conditions géométriques permettant de construire les variétés nécessaires. Plus généralement, cette approche constitue un outil précieux dans d'autres contextes en théorie géométrique des représentations.
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