Séminaires : Groupes, Représentations et Géométrie

Equipe(s) Responsable(s)SalleAdresse
Groupes, Représentations et Géometrie
Adrien Brochier, Olivier Brunat, Jean-Yves Charbonnel, Olivier Dudas, Daniel Juteau, Emmanuel Letellier, Michela Varagnolo, Eric Vasserot
1016 Sophie Germain

Le séminaire de l'équipe GRG. SI vous n'êtes pas membre de l'équipe mais souhaitez recevoir les informations, abonnez vous à la liste https://listes.services.cnrs.fr/wws/info/sem-gr.paris

 

Séances à suivre

Orateur(s)Titre Date DébutSalleAdresseDiffusion
+ Tommaso Botta Cohomological Hall algebras and stable envelopes of Nakajima varieties 02/12/2022 10:30 1016 Sophie Germain
Over the last years, two different approaches to construct symmetry algebras acting on the cohomology of Nakajima quiver varieties have been developed. The first one, due to Maulik and Okounkov, exploits certain Lagrangian correspondences, called stable envelopes, to generate R-matrices for an arbitrary quiver and hence, via the RTT formalism, an algebra called Yangian. The second one realises the cohomology of Nakajima varieties as modules over the cohomological Hall algebra (CoHA) of the preprojective algebra of the quiver Q. It is widely expected that these two approaches are equivalent, and in particular that the Maulik-Okounkov Yangian coincides with the Drinfel'd double of the CoHA.
Motivated by this conjecture, in this talk I will show how to identify the stable envelopes themselves with the multiplication map of a subalgebra of the appropriate CoHA. 
As an application, I will introduce explicit inductive formulas for the stable envelopes and use them to produce integral solutions of the elliptic quantum Knizhnik–Zamolodchikov–Bernard (qKZB) difference equation associated to arbitrary quiver (ongoing project with G. Felder and K. Wang). Time permitting, I will also discuss connections with Cherkis bow varieties in relation to 3d Mirror symmetry (ongoing project with R. Rimanyi).
 
+ Ivan Marin TBA 20/01/2023 10:30 1016 Sophie Germain
+ Séances antérieures

Séances antérieures

Orateur(s)Titre Date DébutSalleAdresse
+ Hipolito Treffinger TBA 25/11/2022 10:30
+ Lucien Hennecart Algèbres de Hall cohomologiques, théorie de Hodge nonabélienne champêtre et positivité des polynômes cuspidaux 18/11/2022 10:30

Les travaux présentés sont en commun avec Ben Davison et Sebastian Schlegel Mejia. Les algèbres de Hall cohomologiques (CoHAs) sont incontournables pour étudier et décrire la structure de la cohomologie  du champ des objets des catégories abéliennes. Nous définissons la CoHA d’une catégorie abélienne de dimension homologique 2 ayant un bon espace de module. Nous déterminons la structure de ces algèbres  pour certaines catégories abéliennes 2-Calabi—Yau. Les exemples cruciaux sont donnés par l’algèbre préprojective d’un carquois ; les faisceaux de Higgs sur une courbe projective lisse ; ou l’algèbre  de groupe (possiblement deformée) du groupe fondamental d’une surface de Riemann.

Après avoir expliqué la construction de la CoHA et de l'algèbre BPS, j’énoncerai les principaux résultats de structure les concernant. Je donnerai ensuite des détails sur la construction de l’isomorphisme de Hodge non abélien champêtre. J’expliquerai la stratégie de démonstration, qui repose sur une étude locale. Si le temps le permet, j’aborderai la question de la positivité des polynômes cuspidaux, qui renforce la positivité des polynômes de Kac des carquois.

+ Tanguy Vernet Rational singularities for moment maps of totally negative quivers 04/11/2022 10:30

Moment maps of quivers are key to several geometric realizations of quantum groups and counting their points over finite fields has proven to be an efficient technique to compute graded dimensions of those. More  recently, Wyss counted jets of quiver moment maps over finite fields in a particular case and related their asymptotic behaviour to Igusa zeta functions.
In the first half of the talk, I will introduce these countings of jets and relate their asymptotic behaviour to rational singularities of quiver moment maps. In the second part, I will prove that a large class of quiver moment maps have rational singularities, namely moment maps of totally negative quivers. If time allows, I will discuss some applications to singularities of other moduli spaces.

+ Leonardo Maltoni Vers une présentation de Bernstein de la catégorie de Hecke affine 28/10/2022 10:30
L'algèbre de Hecke affine admet une sous-algèbre commutative remarquable qui correspond au réseau des coracines dans le groupe de Weyl affine. Sa nature est encodée dans la présentation de Bernstein et contient d'importantes informations sur les représentations de l'algèbre.
Si on considère des catégorifications de cette algèbre, par exemple la catégorie diagrammatique, cette sous-algèbre correspond à une classe de complexes dans la catégorie homotopique appelés faisceaux de Wakimoto, que l'on peut voir comme des complexes de Rouquier.
Dans cet exposé j'introduirai l'algèbre de Hecke affine, la catégorie diagrammatique et les objets mentionnés ci-dessus. Je présenterai ensuite des résultats de réduction des complexes de Rouquier et d'étude des groupes d'extension entre faisceaux de Wakimoto en type A_1 affine.
+ Taro Kimura Variétés de carquois et qq-caractère 14/10/2022 10:30

Les variétés de carquois jouent un rôle central dans le contexte de la théorie géométrique des représentations, donnant la construction géométrique des représentations et leurs caractères. Dans cet exposé, je démontrerai la construction géométrique du qq-caractère, une autre quantification du q-caractère des algèbres affines et toroïdales, utilisant cohomologie et K-théorie équivariantes des variétés de carquois. Après avoir expliqué ses propriétés fondamentales, je discuterai de son irréductibilité, sa réduction au q-caractère, le lien avec le t-analogue de q-caractère, la construction géométrique dans le cas non simplement lacé par fractionalisation de carquois.

+ Samuel Dehority Hecke correspondences and Lagrangian fibrations 30/09/2022 10:30

I will discuss a method to associate new algebraic strcutres with deformations to certain holomorphic Lagrangian fibrations, and describe their relation with other parts of mathematical physics. This algebraic structure controls the enumerative geometry of the variety admitting the Lagrangian fibration in a way analogous to how a quantum group controls the enumerative geometry of a symplectic singularity. Various questions, including the monodromy of the quantum differential equation, can be answered using local-to-global techniques.
 

+ Pavel Shlykov Hikita conjecture for Gieseker varieties 27/05/2022 10:00
+ Tsao-Hsien Chen Real groups, symmetric varieties, and derived Satake equivalence 27/05/2022 11:15

In an ongoing project of D. Ben-Zvi, Y. Sakellaridis and A. Venkatesh, the authors propose a conjectural generalization of the derived geometric Satake equivalence for complex reductive groups to spherical varieties. I will describe a program aimed at establishing their conjecture in the case of symmetric varieties (an important class of spherical varieties). A key ingredient is the relation between the derived Satake equivalence for symmetric varieties and the geometric Langlands for real groups.

+ Dinakar Muthiah Fundamental monopole operators and affine Grassmannian slices 22/04/2022 10:30

[Exposé en ligne, diffusé en salle 1016]

+ Leonid Rybnikov Kashiwara crystals and the moduli space of stable rational curves. 08/04/2022 10:30

The category of Kashiwara crystals for a semisimple complex Lie algebra $\mathfrak{g}$ is a combinatorial model of the tensor category of finite-dimensional  $\mathfrak{g}$-modules, where $\mathfrak{g}$-modules are represented by colored oriented graphs with the weight vectors being represented by points (marked by the weights of the representation), and the action of the Chevalley generators being represented by arrows (marked by simple roots). Kashiwara crystals form a monoidal category in which the tensor product is not symmetric, but the tensor products of two crystals in different orders are still connected by some functorial isomorphism called commutor. This structure is similar to braiding in the category of representations of the quantum group $U_q(\mathfrak{g})$ (and, in fact, comes from it), but the commutors do not satisfy the braid group relation. In particular, on the tensor power of a given crystal, all possible commutors generate not the action of the braid group $B_n$, but the action of another group $J_n$, called the cactus group -- the $S_n$-equivariant fundamental group of $\overline{M_{0 ,n+1}}(\mathbb{R})$, the Deligne-Mumford compactification of the moduli spaces of real stable rational curves with $n+1$ marked points. Such monoidal categories are called coboundary. I will describe my general construction with Joel Kamnitzer, Iva Halacheva, and Alex Weekes of a coboundary monoidal category as a family of compatible coverings over real Deligne-Mumford spaces, thus explaining the appearance of the real Deligne-Mumford compactification in this context. This construction gives two equivalent definitions of the category of Kashiwara crystals for a given semisimple Lie algebra $\mathfrak{g}$: 1) using solutions of the Bethe ansatz in the Gaudin magnet chain corresponding to the Lie algebra $\mathfrak{g}$, and 2) using $\mathfrak{g}^\vee$-opers (with respect to the Langlands dual Lie algebra $\mathfrak{g}^\vee$). This helps to compute some monodromy of solutions of Bethe ansatz equations for quantum magnet chains.

+ Mirko Mauri Hodge-to-singular correspondence 01/04/2022 10:30

The decomposition theorem for proper morphisms of algebraic varieties grants that the cohomology of the domain splits in elementary summands. However, in general, it is a subtle task to determine explicitly these  summands. We prove that this is in fact possible in the case of Hitchin fibrations for Higgs bundles of arbitrary degree on the locus of reduced spectral curves. Surprisingly we relate the summands of the decomposition theorem to the singularity theory of the moduli spaces of Higgs bundles in (fixed!) degree zero. This is based on a collaboration with Luca Migliorini.

+ Bernard Leclerc Algèbres préprojectives généralisées et bases crystallines 25/03/2022 10:30
+ François Loeser Une version motivique de la symétrie miroir pour les fibrés de Higgs 18/03/2022 10:30
Hausel et Thaddeus ont conjecturé une égalité entre nombres de Hodge d'espaces de modules $\mathrm{SL}_n$ et de $\mathrm{PGL}_n$ fibrés de Higgs sur une courbe. Cette conjecture a été démontrée par Groechenig, Wyss et Ziegler en utilisant l'intégration $p$-adique. Dans cet exposé nous expliquerons comment en utilisant l'intégration motivique il est possible d'obtenir un tel résultat au niveau des groupes de Grothendieck de motifs de Chow rationnels. C'est un travail en commun avec Dimitri Wyss.
+ Antoine Chambert-Loir Intégration p-adique et intégration motivique — Géométrie, invariants et théorie des représentations 11/03/2022 10:30
Il s'agit d'un exposé d'introduction aux techniques d'intégration motivique pour la construction d'invariants birationnels, en particulier en théorie des représentations, en préparation d'un exposé de François Loeser la semaine suivante sur l'application de ces techniques (par Loeser–Wyss (2021)) à l'étude de la fibration de Hitchin. Je commencerai par expliquer le théorème de Batyrev (1996) que deux variétés de Calabi-Yau (projectives, lisses, géométriquement connexes, à fibré canonique trivial) qui sont birationnelles ont les mêmes nombres de Betti. La preuve de Batyrev utilise l'intégration sur les variétés p-adiques ; j'expliquerai ensuite comment la théorie de l'intégration motivique inventée par Kontsevich fournit une égalité plus précise dans un groupe de Grothendieck de variétés algébriques qui entraîne, en particulier, l'égalité de leurs nombres de Hodge. Ces techniques ont également été utilisées par Batyrev (1999) et Denef–Loeser (2002) pour relier la géométrie des singularités quotients à la théorie des représentations, en particulier pour prouver une version de la correspondance de McKay conjecturée par Reid (1997).
+ Matthieu Faitg Cohomologie de Davydov-Yetter et algèbre homologique relative. 04/03/2022 10:30
La cohomologie de Davydov-Yetter classifie les déformations infinitésimales des structures tensorielles (associateur d'une catégorie tensorielle ou d'un foncteur tensoriel). Dans la première partie nous rappellerons le lien entre théorie des déformations et cohomologie, puis nous verrons la définition de la cohomologie de Davydov-Yetter. Ensuite, l'équivalence entre cette cohomologie et certains groupes Ext relatifs sera présentée, en ayant au préalable rappelé quelques notions d'algèbre homologique relative. Dans la deuxième partie nous expliquerons que cette équivalence amène d'intéressants résultats : formules pour la dimension des groupes de cohomologie de Davydov-Yetter, existence d'un produit, structure de module sur la cohomologie, ainsi qu'une méthode de construction explicite de cocycles (c'est-à-dire de déformations infinitésimales). Des exemples seront présentés. Travail en commun avec A. Gainutdinov et C. Schweigert.
+ Ben DAVISON Nonabelian Hodge theory and the decomposition theorem for 2-CY categories 25/02/2022 10:30
[L'exposé aura lieu en hybride, dans la salle 1016 et sur zoom : https://u-paris.zoom.us/j/89901122981?pwd=T1ltN2pDTTJoUVI2eTIwRmpNZU94QT09] Examples of 2CY categories include the category of coherent sheaves on a K3 surface, the category of Higgs bundles, and the category of modules over preprojective algebras or fundamental group algebras of compact Riemann surfaces. Let p:M->N be the morphism from the stack of semistable objects in a 2CY category to the coarse moduli space. I'll explain, using cohomological DT theory, formality in 2CY categories, and structure theorems for good moduli stacks, how to prove a version of the BBDG decomposition theorem for the exceptional direct image of the constant sheaf along p, even though none of the usual conditions for the decomposition theorem apply: p isn't projective or representable, M isn't smooth, the constant mixed Hodge module complex Q_M isn't pure... As an application, I'll explain how this allows us to extend nonabelian Hodge theory to Betti/Dolbeault stacks.
+ Tristan Bozec Quiver moduli and Calabi--Yau structures 21/01/2022 10:30
In this talk I will describe a procedure, based on constrained or relative critical loci, that allows to construct lagrangian subvarieties inside symplectic quiver varieties. We will see how this works on the example of the Hilbert scheme of points on the plane. I will explain using derived geometry that the noncommutative counterpart of lagrangian structures is given by so-called relative Calabi--Yau ones, involving for instance generalizations of Ginzburg dg-algebras. If time permits I will give applications to multiplicative variants linked to Poisson and Hamiltonian geometries. This is a joint work with Damien Calaque and Sarah Scherotzke.
+ Cédric Bonnafé Reporté 14/01/2022 10:30
+ Andreas Hohl Enhanced perverse sheaves and applications to hypergeometric systems 17/12/2021 10:45
In the algebraic theory of differential equations, the classical Riemann—Hilbert correspondence tells us that perverse sheaves are the topological counterpart of holonomic D-modules with regular singularities. It was a long-standing problem to establish a similar result in the case of (possibly) irregular singularities. Such a result has been achieved by D’Agnolo—Kashiwara in 2013, providing a topological and sheaf-theoretic framework for computations in this more general context. In the first part of the talk, I will give an introduction to this subject, motivating in particular the use of the theory of ind-sheaves of Kashiwara—Schapira, on which the construction of enhanced perverse sheaves relies. In the second part, I will report on a recent joint work with D. Barco, M. Hien and C. Sevenheck, where hypergeometric differential equations are studied using these techniques. It is shown that under appropriate symmetry conditions on the parameters determining such a system, the associated enhanced perverse sheaf (a priori defined over the complex numbers) has a structure over some smaller field. Such a question is motivated, for instance, by Hodge theory, where perverse sheaves over the rationals play an important role.
+ Vadim Schechtman PROBs et faisceaux constructibles 10/12/2021 10:30
+ Oscar Garcia-Prada iggs bundles and higher Teichmüller spaces 03/12/2021 10:30
The Teichmüller space of a compact real surface, parameterising complex structures on the surface, can be identified with a connected component of the moduli space of representations of the fundamental group of the surface in PSL(2,R). Higher Teichmüller spaces are generalizations of this, where PSL(2,R) is replaced by certain simple non-compact real Lie groups of higher rank. As for the usual Teichmüller space, these spaces consist entirely of discrete and faithful representations. Several cases have been identified over the years. First, the Hitchin components for split groups, then the maximal Toledo invariant components for Hermitian groups, and more recently certain components for SO(p,q). In the first 45 minutes, after giving some background on Higgs bundle theory and the non-abelian Hodge correspondence, I will review the cases mentioned above. In the second part of the talk, I will present a general construction in terms of Higgs bundles of the higher Teichmüller spaces. Key ingredients in this construction are the notion of magical sl(2)-triple, that we introduce, and the Cayley correspondence (based on joint work with Bradlow, Collier, Gothen and Oliveira).
+ Oscar Kivinen Title: Coherent sheaves on trigonometric commuting varieties from affine Springer fibers 26/11/2021 10:30
Affine Springer fibers are moduli spaces whose topology is closely related to orbital integrals on reductive groups, singularities of the Hitchin fibration, and representations of double affine Hecke algebras. The physics of 3d mirror symmetry suggests a certain equivalence of categories of constructible sheaves on a loop Lie algebra and coherent sheaves on a partial resolution of the commuting variety (PRCV), and following the physical heuristics it is possible to distill a particular case of the conjectural equivalence to a mathematical construction of a (quasi-)coherent sheaf on the PRCV, starting from an affine Springer fiber. In the first 45 minutes, I will give an elementary introduction to affine Springer theory, BFN Coulomb branches and related geometry. In the second half of the talk I will introduce the trigonometric commuting variety, as well as explain the main construction and some of its consequences in detail. I will also pose a number of open problems.
+ Tomoyuki ARAKAWA Weight representations of affine Kac-Moody algebras and small quantum groups 19/11/2021 10:30
In this talk I will present a rather surprising connection between the weight representations over affine Kac- Moody algebras and representations of small quantum groups. More precisely, I will talk about the weight representations over affine affine Kac- Moody algebras from the view point of vertex algebras, and explain their connection with small quantum groups. This is a joint work with Thomas Creutzig and Kazuya Kawasetsu.
+ Olivier DUDAS Dualité d'Ennola et (q,t)-matrices de décomposition 12/11/2021 10:30
(travail en cours avec R. Rouquier et C. Stump). Le but de cet exposé est de comprendre quel sens donner aux groupes réductifs sur un corps à -q éléments, notamment du point de vue des représentations de ces groupes. Le passage de q à -q se traduit en quelque sorte par une équivalence dérivée dont le carré (le passage de q à q) est non-triviale. La combinatoire de cette équivalence faire apparaître des généralisations, à tous les groupes de Weyl (voir même aux groupes de réflexions complexes) des polynômes de Macdonald, de l'opérateur \nabla de Bergeron--Garsia, des nombres de Catalan... Du point de vue de la théorie des représentations, on en déduit des matrices de décomposition à 2 variables dont on conjectrue qu'elles se spécialisent en des matrices de décompositions usuelles pour les groupes réductifs finis. La première partie sera centrée sur un exemple simple de dualité d'Ennola, et de la combinatoire sous-jacente. Dans la deuxième partie je tenterai d'expliquer l'aspect "équivalences dérivées" et donnerai quelques incarnations de ces équivalences en géométrie, notamment sur le schéma de Hilbert de n points de C^2.
+ Cong Xue Cohomologie des champs de chtoucas 29/10/2021 10:30
Dans cet exposé, je rappelerai les champs classifiants de chtoucas. Je parlerai de quelques propriétés de leur cohomologie, et des applications dans le programme de Langlands pour les corps de fonctions. Je me concentrerai sur des questions liées à la lissité de faisceaux de cohomologie.
+ Anne MOREAU Orbites nilpotentes provenant d'algèbres vertex affines admissibles 22/10/2021 10:30
Dans cet exposé, je donnerai une description simple, en terme d'idéaux primitifs, des adhérences d'orbites nilpotentes qui apparaissent comme variétés associées aux algèbres vertex affines de niveaux admissibles. Il s'agit d'un travail en commun avec Tomoyuki Arakawa et Jethro van Ekeren. Ces variétés sont également liées à la cohomologie du petit groupe quantique associée à une racine l-ième de l'unité.
+ Ryo FUJITA Monoidal Jantzen filtrations for quantum affine algebras 15/10/2021 10:30
We propose a systematic construction of an analogue of Jantzen filtrations for arbitrarily ordered tensor products of fundamental modules over the quantum affine algebra of general untwisted type using the normalized R-matrices. For type ADE, we show that our construction yields a quantization of the Grothendieck ring of the monoidal category of finite-dimensional modules, which coincides with the quantum Grothendieck ring constructed by Nakajima and Varagnolo-Vasserot in terms of perverse sheaves. For general type, we conjecture that it yields a unified representation-theoretic interpretation of the quantum Grothendieck ring constructed by Hernandez in a purely algebraic way. This talk is based on my ongoing joint work with David Hernandez.
+ Olivier BRUNAT Ensembles basiques et unitriangularité 08/10/2021 10:30
Dans cet exposé, j'introduirai la notion d'ensemble basique unitriangulaire et essayerai de motiver leur utilité en théorie des représentations modulaires des groupes finis. Je parlerai plus particulièrement des matrices de décomposition des groupes réductifs finis comme GL(n,q), Sp(2n,q), SO(n,q) et présenterai des résultats d'unitriangularité pour ces groupes obtenus en collaboration avec Olivier Dudas et Jay Taylor.
+ Boris Pioline Attractor invariants for local Calabi-Yau threefolds 25/06/2021 10:00
+ Alexis BOUTHIER Faisceaux caractères sur les algèbres de Lie affines 11/06/2021 10:00
Le but du présent exposé est de donner un sens et de construire des faisceaux pervers G((t))-équivariants sur l'algèbre de Lie affine g((t)) qui géométrisent à la fois les représentations du groupe de Weyl affine et l'analogue au niveau des algèbres de Lie de caractères de G((t)). La stratégie suit celle de la théorie de Springer usuelle, mais le traitement du cas affine, où tout est de dimension infinie nécessite de nouveaux outils. Il s'agit d'un travail partiellement en commun avec D. Kazhdan et Y. Varshavsky.
+ Paul Wedrich Quivers and fusion rules for SL(2) tilting modules 28/05/2021 10:00 https://bbb-front.math.univ-paris-diderot.fr/recherche/emm-aeh-txk-n6q
I will explain how diagrammatic algebra can be used to give an explicit generators-and-relations presentation of all morphisms between indecomposable tilting modules for SL(2) over an algebraically closed field of positive characteristic. The result takes the form of a path algebra of an infinite, fractal-like quiver with relations, which can be considered as the (semi-infinite) Ringel dual of SL(2). I will also talk about recent work with Louise Sutton, Daniel Tubbenhauer, and Jieru Zhu on a two-fold extension of this result: to the mixed case and taking monoidality into account. In particular, we obtain a recursion for the p-Jones-Wenzl projectors of Burrull-Libedinsky-Sentinelli.
+ Shu Cheng E-Polynomials of Generic $GL_n\rtimes <\sigma>$-Character Varieties 21/05/2021 10:00 https://bbb-front.math.univ-paris-diderot.fr/recherche/emm-aeh-txk-n6q
We present a conjectural formula for the mixed Hodge polynomial of generic $GL_n\rtimes <\sigma>$-character varieties, which involves wreath Macdonald polynomials and (modified) Macdonald polynomials, in the same spirit as the work of Hausel-Letellier-Rodriguez-Villegas. We give the main evidences of this conjecture and indicate some issues.
+ Stéphane Gaussent TBC 06/11/2020 10:00
+ Vadim Schechtman Complexe de Cousin et faisceaux de Janus - Reporté 30/10/2020 10:00
Le complexe de Cousin joue une role important dans la classification des faisceaux pervers. Je discuterai deux exemples. L'un est lié aux anneaux de Witt et la théorie recente de "prismatisation" de Drinfeld, l'autre aux algèbres de Hopf.
© IMJ-PRG