Séminaires : Groupes, Représentations et Géométrie

In the first half of the talk, we review the geometry of Hitchin fibrations for SLn and PGLn; in particular, some predictions of Frenkel and Witten relating endoscopy and mirror symmetry. In the second half, we explain how these predictions can be verified using techniques that appeared since Ngo. This is a joint work with Yongbin Ruan.

For a Calabi-Yau threefold X, one expects to define a Hall algebra using cohomologies of moduli of semistable sheaves on X. This Hall algebra should be a deformation of the universal enveloping algebra of a Lie algebra associated to X, and the dimensions of the graded pieces of this Lie algebra should be the BPS invariants of X, which are some fundamental enumerative invariants.

These Hall algebras are still not defined in full generality. The local case of these Hall algebras should be given by the Hall algebra of a quiver with potential, which has been introduced by Kontsevich-Soibelman. The construction of the associated Lie algebra on BPS cohomology spaces was done by Davison-Meinhardt. For a tripled quiver with potential, the Kontsevich-Soibelman Hall algebra is the same as the preprojective Hall algebra of a quiver (which has been introduced and studied by Schiffmann-Vasserot, Vasserot-Varagnolo, Yang-Zhao), and which is related to Yangians or quantum affine algebras of the quiver.

In this talk, I will explain a categorical version of the BPS cohomology spaces of a quiver with potential, and discuss properties of the categories obtained in the special case of a tripled quiver with potential. This is joint work with Yukinobu Toda.

La géométrie des espaces de modules de fibrés sur les courbes, surfaces et variétés algébriques de dimension trois est étudiée depuis au moins la deuxième moitié du XXème siècle.

L'étude de leurs nombres de Betti donne souvent lieu à des formules élégantes et compactes laissant transparaître des interprétations en théorie des représentations. Une attention spéciale a été accordée aux espaces de modules lisses. Ils paramètrent les fibrés vectoriels ou fibrés de Higgs sur les courbes projectives lisses ou bien les faisceaux sur les surfaces K3 ou Abéliennes lorsque des conditions de stabilité et d'indivisibilité pour un invariant discret (rang et degré pour les courbes, vecteur de Mukai pour les surfaces K3) sont satisfaites.

Les espaces de modules sont singuliers sans cette condition. Dans cet exposé, je vais expliquer comment étudier ces espaces singuliers grâce à un faisceau pervers sur l'espace de module considéré. Il s'agit du faisceau BPS qui, en plus d'être le remplaçant correct du faisceau constant dans le cas singulier, encode les invariants de Donaldson-Thomas, importants en géométrie énumérative. Il jouit également d'une structure additionnelle d'algèbre de Lie (lorsqu'on considère des familles d'espaces de modules).

We'll recall some basics about Slodowy slices, generalized slices in the affine Grassmannian, and quantizations thereof called W-algebras and Yangians, respectively, as well as their analogues for affine Lie algebras which are naturally described using the theory of vertex algebras. Then I'll explain a construction of vertex algebras associated to divisors in toric Calabi-Yau threefolds, which include affine W-algebras in type A for arbitrary nilpotents, and explain a partially conjectural dictionary between the geometry of the threefolds and the representation theory of these algebras.

Dans cet exposé, je présenterai quelques aspects de la théorie des faisceaux pervers sur une algèbre de Lie graduée introduite par Lusztig et Yun. C'est une théorie visant à généraliser à la fois la correspondance de Springer généralisée de Lusztig et la théorie des faisceaux-caratères sur un espace symétrique introduite par Ginzburg. La construction des faiscaux cuspidaux via les cycles proches et le lien avec les algèbres de Hecke doublement affines sont des nouveaux ingrédients. Il s'agit de travaux en collaboration en cours avec Tsai, Vilonen et Xue.

Given a punctured Riemann surface X, character stacks and varieties are geometric objects which parametrize  local systems on X with prescribed local monodromies.
The cohomology of character stacks and varieties is almost completely understood in the case of a generic choice of monodromies, thanks to the work of Hausel, Letellier, Rodriguez-Villegas, Schiffmann and Mellit. Much less is known about the non-generic case.
 In the first part of the talk, I will introduce and define character stacks/varieties and review the known results about the cohomology of these objects. In the second part, I will focus on the non-generic case and give a sketch of the proof of a formula for the E-series of non-generic character stacks, which is the main result of my PhD thesis.

Given a non-commutative algebra that is a finite module over a finitely generated center, we construct the Lafforgue variety, an affine scheme equipped with an open dense subscheme whose geometric points parametrize the simple modules of that algebra. We will also study the behavior of the Lafforgue variety under deformations of the algebra. In particular, we will report on partial progress on a conjecture by Aubert, Baum and Plymen asserting the existence of a flat deformation between the reducibility loci of different specializations of an affine Hecke algebra.

Coulomb branches are certain moduli spaces arising in supersymmetric field theory. They include as special cases many spaces of independent interest such as double affine Hecke algebras, certain open Richardson varieties, multiplicative Nakajima quiver varieties etc. In the four-dimensional case, one expects that their coordinate rings should be categorified (lifted) to tensor categories that carry a lot of interesting structure. The physics literature, in particular work of Kapustin-Saulina and Gaiotto-Moore-Neitzke, provides various clues about these categories, but not a precise definition. However, recent advances have led to a satisfactory mathematical definition in an important special case (gauge theories of cotangent type), building on work of Braverman-Finkelberg-Nakajima.

We will illustrate with specific examples the ingredients which go into constructing and studying these categorified Coulomb branches based on recent work with Harold Williams. One of our main results is that these categories carry a natural t-structure consisting of what we call Koszul-perverse coherent sheaves. The classes of such simples sheaves provide canonical basis in a uniform way. We plan to discuss some basic geometry of the affine Grassmannian, the theory of perverse coherent sheaves, certain t-structures related to Koszul duality and perhaps other related topics such as the appearance of cluster algebras (depending on time and interest).

Following some work of Aluffi-Mihalcea-Schürmann-Su for the CSM classes of Schubert cells and some elaborate computer calculations by R. Rimanyi and L. Mihalcea, I conjecture that the CSM classes of the Richardson cells expressed in the Schubert basis have nonnegative coefficients. This conjecture was principally motivated by a new product $\square$ coming from the Segre classes in the cohomology of flag varieties (such that the associated Gr of this product is the standard cup product) and the conjecture at that time that the structure constants of this new product $\square$ in the standard Schubert basis have alternating sign behavior. I prove that this sign alternating behavior of the structure constants of $\square$ follows from my above positivity conjecture about the CSM classes of Richardson cells. In a recent work, Schürmann-Simpson-Wang have proved the above mentioned alternating sign behavior for the product $\square$.

In his proof of the $K(\pi,1)$ conjecture for complex reflection arrangements, Bessis introduced new Garside structures useful for handling irreducible complex braid groups. A particularly tough case to study is that of the Borchardt braid group $B(G_{31})$, for which a Garside category is needed (instead of just a Garside monoid).

In this talk I will explain how to use this Garside category to prove several group-theoretic results on $B(G_{31})$. Some of these results are new, and others were obtained before using non-Garside arguments.

If time permits, I will also give some details regarding the topological construction of this category, and the way it can be used to understand the parabolic subgroups of $B(G_{31})$, as defined by Marin and González-Meneses

Soergel in 1990 constructed an algebra isomorphism from the cohomology of flag variety to the center of the principal block of BGG category O, which was the starting point of the Koszul duality established later by Beilinson—Ginzburg—Soergel. In this talk, we introduce the hybrid quantum group, whose category O is a quantum analogue of the BGG category O. We show that the center of its principal block is isomorphic to the cohomology of affine flag variety. If time permitted, a deformed version of this result and some recent progress will be discussed.

In recent works, Abreu-Nigro and Xuhua He have introduced the term Lusztig variety. I like this term, as Lusztig has many papers about these varieties. In 1997 Halverson and I computed the number of points of Type A nilpotent Lusztig varieties over finite fields in connection to  characters of Hecke algebras. Recently my study of Macdonald polynomials and central elements in Hecke algebras have led me to look at these computations again.

Les algèbres de lacets quantiques sont des algèbres de dimension infinie apparaissant naturellement en théorie des systèmes intégrables et intervenant dans l'étude des algèbres amassées, des variétés de carquois et des branches de Coulomb. La catégorie $\mathcal{C}$ des représentations de dimension finie sur une telle algèbre $U_q(\mathfrak{g})$ est un exemple intéressant de catégorie non semisimple admettant des tressages génériques; c'est-à-dire des isomorphismes de $V \otimes W$ dans $W \otimes V$ pour des objets simples $V$ et $W$ choisis "génériquement". Récemment, Hernandez a démontré l'existence d'isomorphismes similaires pour une sous-catégorie $\mathcal{O}^-$ de la catégorie des modules sur la sous-algèbre de Borel $U_q(\mathfrak{b})$ de $U_q(\mathfrak{g})$. Cette sous-catégorie $\mathcal{O}^-$, définie par Hernandez--Leclerc pour étudier les catégorifications monoïdales d'algèbres amassées, admet un anneau de Grothendieck isomorphe à celui d'une autre sous-catégorie $\mathcal{O}^+$ de modules sur $U_q(\mathfrak{b})$. Cette dernière observation soulève deux questions naturelles :

La catégorie $\mathcal{O}^+$ admet-elle des tressages génériques? Peut-on relever l'isomorphisme entre les anneaux de Grothendieck de $\mathcal{O}^+$ et $\mathcal{O}^-$ en un isomorphisme de catégories?

Dans cet exposé, on répondra positivement aux questions ci-dessus et on donnera quelques applications potentielles de nos résultats à la théorie de la représentation des algèbres affines quantiques décalées et aux dualités de Schur--Weyl affines quantiques généralisées (à la Kang--Kashiwara--Kim--Oh--Park).

Un triplet holomorphe de rang (n,n) consiste en la donnée de deux fibrés vectoriels holomorphes de rang n sur une courbe, et d'un morphisme entre les deux.  Bradlow et Garcia-Prada ont construit un espace de modules classifiant ces objets après avoir défini une notion de stabilité. Meinhardt et Reineke ont développé une théorie pour calculer la cohomologie d'intersection de certains espaces de modules à l'aide d'invariants de Donaldson-Thomas motiviques. Après avoir rappelé cette théorie nous l'appliquerons à l'espace de modules des triplets holomorphes de rang (n,n).
 

Les algèbres de Hall cohomologiques ont été introduites pour la première fois par Schiffmann Vasserot en 2009 et se sont révélées un outil exceptionnel pour l'étude de l'homologie et de la G-théorie de plusieurs types d'espaces des modules. Cet exposé a deux objectifs : dans une première partie, plus introductive, j'expliquerai comment approcher le problème de la construction des algèbres de Hall du point de vue de la géométrie dérivée, sans assumer aucune familiarité de l'audience avec cette dernière. J'essaierai notamment d'expliquer que l'utilisation de cette machinerie permet de catégorifier dans un sens approprié l'algèbre de Hall G-théorétique, contrairement à ce qui se passe pour l'approche plus classique à travers les théories de l'obstruction parfaites.

Dans la deuxième partie, j'expliquerai comment construire des nouvelles représentations de l'algèbre de Hall des faisceaux de torsion sur une surface. Plus précisément, on montrera comment construire des analogues dans ce contexte des opérateurs de création et de destruction de Nakajima. En utilisant la théorie des torsion pairs, je décrirai explicitement un espace géométrique qui encode la complexité des commutateurs entre ces deux types d'opérateurs. L'exposé entier est basé sur des travaux en commun avec F. Sala et D.E. Diaconescu.

Recent work of Joyce and Latyntsev contains a geometric incarnation of vertex algebras, cohomological Hall algebras, and a compatibility making them into a vertex bialgebra. I will describe a multiplicative version of this vertex bialgebra construction via equivariant K-theory, and dream a bit about its geometric representation theory.

Following Drinfeld, one can think about Drinfeld-Jimbo's quantum universal enveloping algebras of a simple Lie algebra $\mathfrak{g}$ in more geometrical terms: these Hopf algebras are twist equivalent to the classical universal enveloping algebras with a non-trivial $\mathfrak{g}$-invariant coassociator defined via monodromies of solutions to the Knizhnik-Zamolodchikov equation on 3 points. In other words, we deal with the representation category of $U \mathfrak{g}$ equipped with a non-trivial associator, called Drinfeld's associator. I am interested in a similar deformation problem for Lusztig's small quantum groups at roots of unity, and more generally, in deformations of associators in tensor categories. As it is often in algebra, infinitesimal deformations are controlled by Hochschild type complexes, called in this case Davydov-Yetter complex. We have recently reformulated the corresponding deformation cohomologies in terms of relative Ext groups of the Drinfeld center. In this talk, I will show how to use the relative homological algebra in a rather explicit study of deformations of tensor categories in Hopf algebra theory, in particular for Taft algebras and Lusztig's small quantum groups for sl(2). In the latter case we discover new non-trivial deformations (joint with M. Faitg and Ch. Schweigert). If time allows I will also discuss a relation of these new deformations to the classification of graded extensions of tensor categories.

On expliquera une bijection entre les representations admissibles des algèbres de Lie affines et les points fixes dans certains fibres de Springer affines, et une interpretation de l’action de groupe modulaire sur les caractères des représentations en terme des algèbres de Verlinde qui proviennent des algèbres de Cherednik. On présentera aussi une extension de ces résultats pour les représentations des W-algèbres. Ceci est un travail en commun avec Dan Xie et Wenbin Yan.

L'extension des résultats connus sur les groupes de tresses usuels à l'ensemble des groupes de tresses généralisés associés à un groupe de réflexion complexe fini est un programme important depuis une trentaine d'années, qui prolonge largement celui  des groupes d'Artin de type de Coxeter fini. Dans cet exposé je présenterai une nouvelle réalisation dans l'esprit de ce programme, consistant à construire un analogue du complexe de courbes, complexe simplicial à géométrie hyperbolique sur lequel agit le groupe de tresses  usuel. Pour ce faire, on définit une classe de sous-groupes de ces groupes de tresses complexes, qui relèvent les sous-groupes paraboliques des groupes de réflexions complexes associés, et l'on montre, d'une part que leur collection forme un treillis convenable, et d'autre part qu'ils permettent de définir une "cloture parabolique" pour tout sous-groupe (par exemple monogène) de ces groupes de tresses complexes. Cela donne notamment des outils pour déterminer les normalisateur des sous-groupes. Ce travail est en commun avec Juan Gonzalez-Meneses, incluant de plus une contribution de la thèse en cours de Owen Garnier.

On expliquera une bijection entre les representations admissibles des algèbres de Lie affines et les points fixes dans certains fibres de Springer affines, et une interpretation de l’action de groupe modulaire sur les caractères des représentations en terme des algèbres de Verlinde qui proviennent des algèbres de Cherednik. On présentera aussi une extension de ces résultats pour les représentations des W-algèbres. Ceci est un travail en commun avec Dan Xie et Wenbin Yan.

Les travaux présentés sont en commun avec Ben Davison et Sebastian Schlegel Mejia. Les algèbres de Hall cohomologiques (CoHAs) sont incontournables pour étudier et décrire la structure de la cohomologie  du champ des objets des catégories abéliennes. Nous définissons la CoHA d’une catégorie abélienne de dimension homologique 2 ayant un bon espace de module. Nous déterminons la structure de ces algèbres  pour certaines catégories abéliennes 2-Calabi—Yau. Les exemples cruciaux sont donnés par l’algèbre préprojective d’un carquois ; les faisceaux de Higgs sur une courbe projective lisse ; ou l’algèbre  de groupe (possiblement deformée) du groupe fondamental d’une surface de Riemann.

Après avoir expliqué la construction de la CoHA et de l'algèbre BPS, j’énoncerai les principaux résultats de structure les concernant. Je donnerai ensuite des détails sur la construction de l’isomorphisme de Hodge non abélien champêtre. J’expliquerai la stratégie de démonstration, qui repose sur une étude locale. Si le temps le permet, j’aborderai la question de la positivité des polynômes cuspidaux, qui renforce la positivité des polynômes de Kac des carquois.

Moment maps of quivers are key to several geometric realizations of quantum groups and counting their points over finite fields has proven to be an efficient technique to compute graded dimensions of those. More  recently, Wyss counted jets of quiver moment maps over finite fields in a particular case and related their asymptotic behaviour to Igusa zeta functions.
In the first half of the talk, I will introduce these countings of jets and relate their asymptotic behaviour to rational singularities of quiver moment maps. In the second part, I will prove that a large class of quiver moment maps have rational singularities, namely moment maps of totally negative quivers. If time allows, I will discuss some applications to singularities of other moduli spaces.

Les variétés de carquois jouent un rôle central dans le contexte de la théorie géométrique des représentations, donnant la construction géométrique des représentations et leurs caractères. Dans cet exposé, je démontrerai la construction géométrique du qq-caractère, une autre quantification du q-caractère des algèbres affines et toroïdales, utilisant cohomologie et K-théorie équivariantes des variétés de carquois. Après avoir expliqué ses propriétés fondamentales, je discuterai de son irréductibilité, sa réduction au q-caractère, le lien avec le t-analogue de q-caractère, la construction géométrique dans le cas non simplement lacé par fractionalisation de carquois.

I will discuss a method to associate new algebraic strcutres with deformations to certain holomorphic Lagrangian fibrations, and describe their relation with other parts of mathematical physics. This algebraic structure controls the enumerative geometry of the variety admitting the Lagrangian fibration in a way analogous to how a quantum group controls the enumerative geometry of a symplectic singularity. Various questions, including the monodromy of the quantum differential equation, can be answered using local-to-global techniques.
 

In an ongoing project of D. Ben-Zvi, Y. Sakellaridis and A. Venkatesh, the authors propose a conjectural generalization of the derived geometric Satake equivalence for complex reductive groups to spherical varieties. I will describe a program aimed at establishing their conjecture in the case of symmetric varieties (an important class of spherical varieties). A key ingredient is the relation between the derived Satake equivalence for symmetric varieties and the geometric Langlands for real groups.

[Exposé en ligne, diffusé en salle 1016]

The category of Kashiwara crystals for a semisimple complex Lie algebra $\mathfrak{g}$ is a combinatorial model of the tensor category of finite-dimensional  $\mathfrak{g}$-modules, where $\mathfrak{g}$-modules are represented by colored oriented graphs with the weight vectors being represented by points (marked by the weights of the representation), and the action of the Chevalley generators being represented by arrows (marked by simple roots). Kashiwara crystals form a monoidal category in which the tensor product is not symmetric, but the tensor products of two crystals in different orders are still connected by some functorial isomorphism called commutor. This structure is similar to braiding in the category of representations of the quantum group $U_q(\mathfrak{g})$ (and, in fact, comes from it), but the commutors do not satisfy the braid group relation. In particular, on the tensor power of a given crystal, all possible commutors generate not the action of the braid group $B_n$, but the action of another group $J_n$, called the cactus group -- the $S_n$-equivariant fundamental group of $\overline{M_{0 ,n+1}}(\mathbb{R})$, the Deligne-Mumford compactification of the moduli spaces of real stable rational curves with $n+1$ marked points. Such monoidal categories are called coboundary. I will describe my general construction with Joel Kamnitzer, Iva Halacheva, and Alex Weekes of a coboundary monoidal category as a family of compatible coverings over real Deligne-Mumford spaces, thus explaining the appearance of the real Deligne-Mumford compactification in this context. This construction gives two equivalent definitions of the category of Kashiwara crystals for a given semisimple Lie algebra $\mathfrak{g}$: 1) using solutions of the Bethe ansatz in the Gaudin magnet chain corresponding to the Lie algebra $\mathfrak{g}$, and 2) using $\mathfrak{g}^\vee$-opers (with respect to the Langlands dual Lie algebra $\mathfrak{g}^\vee$). This helps to compute some monodromy of solutions of Bethe ansatz equations for quantum magnet chains.

The decomposition theorem for proper morphisms of algebraic varieties grants that the cohomology of the domain splits in elementary summands. However, in general, it is a subtle task to determine explicitly these  summands. We prove that this is in fact possible in the case of Hitchin fibrations for Higgs bundles of arbitrary degree on the locus of reduced spectral curves. Surprisingly we relate the summands of the decomposition theorem to the singularity theory of the moduli spaces of Higgs bundles in (fixed!) degree zero. This is based on a collaboration with Luca Migliorini.