| Résume | Les algèbres de lacets quantiques sont des algèbres de dimension infinie apparaissant naturellement en théorie des systèmes intégrables et intervenant dans l'étude des algèbres amassées, des variétés de carquois et des branches de Coulomb. La catégorie $\mathcal{C}$ des représentations de dimension finie sur une telle algèbre $U_q(\mathfrak{g})$ est un exemple intéressant de catégorie non semisimple admettant des tressages génériques; c'est-à-dire des isomorphismes de $V \otimes W$ dans $W \otimes V$ pour des objets simples $V$ et $W$ choisis "génériquement". Récemment, Hernandez a démontré l'existence d'isomorphismes similaires pour une sous-catégorie $\mathcal{O}^-$ de la catégorie des modules sur la sous-algèbre de Borel $U_q(\mathfrak{b})$ de $U_q(\mathfrak{g})$. Cette sous-catégorie $\mathcal{O}^-$, définie par Hernandez--Leclerc pour étudier les catégorifications monoïdales d'algèbres amassées, admet un anneau de Grothendieck isomorphe à celui d'une autre sous-catégorie $\mathcal{O}^+$ de modules sur $U_q(\mathfrak{b})$. Cette dernière observation soulève deux questions naturelles :
La catégorie $\mathcal{O}^+$ admet-elle des tressages génériques? Peut-on relever l'isomorphisme entre les anneaux de Grothendieck de $\mathcal{O}^+$ et $\mathcal{O}^-$ en un isomorphisme de catégories?
Dans cet exposé, on répondra positivement aux questions ci-dessus et on donnera quelques applications potentielles de nos résultats à la théorie de la représentation des algèbres affines quantiques décalées et aux dualités de Schur--Weyl affines quantiques généralisées (à la Kang--Kashiwara--Kim--Oh--Park). |
