Résume | Il s'agit d'un exposé d'introduction aux techniques d'intégration motivique pour la construction d'invariants birationnels, en particulier en théorie des représentations, en préparation d'un exposé de François Loeser la semaine suivante sur l'application de ces techniques (par Loeser–Wyss (2021)) à l'étude de la fibration de Hitchin.
Je commencerai par expliquer le théorème de Batyrev (1996) que deux variétés de Calabi-Yau (projectives, lisses, géométriquement connexes, à fibré canonique trivial) qui sont birationnelles ont les mêmes nombres de Betti. La preuve de Batyrev utilise l'intégration sur les variétés p-adiques ; j'expliquerai ensuite comment la théorie de l'intégration motivique inventée par Kontsevich fournit une égalité plus précise dans un groupe de Grothendieck de variétés algébriques qui entraîne, en particulier, l'égalité de leurs nombres de Hodge. Ces techniques ont également été utilisées par Batyrev (1999) et Denef–Loeser (2002) pour relier la géométrie des singularités quotients à la théorie des représentations, en particulier pour prouver une version de la correspondance de McKay conjecturée par Reid (1997). |