| Résume | L’équation des applications d’onde est un analogue géométrique de l’équation des ondes. Nous étudions les applications d'onde en dimension spatiale 1 et à valeurs dans S^d, définies sur le cône de lumière futur {|x| ≤ t}, avec des données prescrites au bord {|x| = t}. En utilisant une méthode de Keel et Tao, nous montrons que le problème est bien posé pour des données au bord localement absolument continues. Puis, nous introduisons une version discrète du problème et prouvons que pour toute donnée au bord absolument continue, la suite des solutions du problème discrétisé converge vers l'application d'onde continue correspondante lorsque la taille de la maille tend vers 0. Ensuite, nous considérons les conditions au bord aléatoires données par le mouvement brownien à valeur dans S^d. Nous montrons que la suite des solutions des problèmes discrétisés possède un point d'accumulation pour la topologie de convergence localement uniforme. Le champ aléatoire ainsi obtenu peut être interprété comme les applications d’onde correspondant aux données initiales distribuées selon la mesure de Gibbs du système. Travail en collaboration avec Zdzisław Brzeźniak (York). |
