Séminaires : Séminaire d'Analyse Fonctionnelle

Equipe(s) Responsable(s)SalleAdresse
Analyse Fonctionnelle
E. Abakoumov - D. Cordero-Erausquin - G. Godefroy - O. Guédon - B. Maurey - G.Pisier
salle 13 - couloir 15-16 - 4ème étage Campus Pierre et Marie Curie
Le Jeudi à 10h30 -  IMJ-PRG - 4 place Jussieu - 75005 PARIS
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Séances à suivre

Orateur(s)Titre Date DébutSalleAdresseDiffusion
+ Sergey Bobkov Upper bounds for the Fisher information 01/12/2022 10:30 salle 13 - couloir 15-16 - 4ème étage Campus Pierre et Marie Curie

We discuss upper bounds for the Fisher information
in high dimensions in terms of the total variation and norms
in Sobolev spaces.

+ John McCarthy Isometric extensions of bounded holomorphic functions 08/12/2022 10:30 salle 13 - couloir 15-16 - 4ème étage Campus Pierre et Marie Curie

Let $V$ be an analytic subvariety of a domain $\Omega$ in $\C^n$. When does $V$ have the Isometric Extension Property (IEP), i.e. when does every bounded holomorphic function $f$ on $V$ has an  extension to a bounded holomorphic function on $\Omega$ with the same norm?

If $V$ is a retract, i.e. if there exists  a holomorphic $r: \Omega \to V$ so that $r|_V = {\rm id}$,  then there is an obvious isometric extension, namely  $f \circ r$. If $\Omega$ is very nice, for example the ball, this condition is also necessary. We shall discuss why convexity assumptions lead to theorems that say only retracts have the IEP.

If the convexity assumption is dropped, functional analysis can be used to show that every $V$ has the isometric extension property for some $\Omega$.  We shall discuss the proof of this theorem. This is joint work with Jim Agler and Lukasz Kosinski.

+ Guillaume Aubrun Produits tensoriels itérés d'espaces normés 15/12/2022 10:30 salle 13 - couloir 15-16 - 4ème étage Campus Pierre et Marie Curie


+ Séances antérieures

Séances antérieures

Orateur(s)Titre Date DébutSalleAdresse
+ Pavel Mozolyako Weighted Hardy embedding on the bi-tree 24/11/2022 10:30

Let $\Gamma$ be a poly-tree, i.e. a collection of dyadic rectangles on $\mathbb{R}^n$ (Cartesian product of usual dyadic intervals on $\mathbb{R}$) with natural order by inclusion.\\

The Hardy operator and its 'adjoint' are



&\mathbf{I}f(R) := \sum_{R\subset Q}f(Q)\\

&\mathbf{I}^*f(Q) := \sum_{R\subset Q}f(R).



We are investigating the action of this operator  from $L^2(\Gamma,w^{-1})$ to $L^2(\Gamma,\mu)$, or, which is the same, $\mathbf{I}^*$ from $L^2(\Gamma,\mu^{-1})$ to $L^2(\Gamma,w)$, where $w$ and $\mu$ are just collections of non-negative weights attached to the elements of $\Gamma$. If for given $\mu,w$ the Hardy operator is bounded, we call $(\mu,w)$ \textit{the trace measure-weight pair}.\par

In this talk we consider a special case -- the dimension $n$ is either 2 or 3 and the weight $w$ is a product weight (a typical case is just $w\equiv 1$). We give a couple of descriptions of such pairs in potential theoretical terms: capacitary and energy conditions. We give a short exposition of two-dimensional results, and discuss problems that arise with increasing the dimension. We also establish a connection to weighted Dirichlet spaces on the polydisc.

+ Djalil Chafai Universal cutoff for Dyson Ornstein Uhlenbeck process 17/11/2022 10:30

We study the Dyson-Ornstein-Uhlenbeck diffusion process, an evolving gas of interacting particles. Its invariant law is the beta Hermite ensemble of random matrix theory, a non-product log-concave distribution. We explore the convergence to equilibrium of this process for various distances or divergences, including total variation, relative entropy, and transportation cost. When the number of particles is sent to infinity, we show that a cutoff phenomenon occurs: the distance to equilibrium vanishes abruptly at a critical time. A remarkable feature is that this critical time is independent of the parameter beta that controls the strength of the interaction, in particular the result is identical in the non-interacting case, which is nothing but the Ornstein-Uhlenbeck process. We also provide a complete analysis of the non-interacting case that reveals some new phenomena. Our work relies among other ingredients on convexity and functional inequalities, exact solvability, exact Gaussian formulas, coupling arguments, stochastic calculus, variational formulas and contraction properties. This work leads, beyond the specific process that we study, to questions on the high-dimensional analysis of heat kernels of curved diffusions.

+ Joseph Lehec Le problème de l'hyperplan et la conjecture KLS à un facteur polylogarithmique près. 10/11/2022 10:30

Dans un travail récent en commun avec Bo'az Klartag, on montre que la conjecture de l'hyperplan de Bourgain ainsi que la conjecture de Kannan, Lovasz et Simonovits portant sur la constante de Poincaré des mesures log-concaves, sont toutes les deux vérifiées, à un facteur polylog en la dimension près. Dans cet exposé je donnerai les grandes lignes de la démonstration.

+ Galyna Livshyts On a conjectural symmetric Ehrhard conjecture 23/06/2022 10:30
+ Tomasz Tkocz Sharp Rosenthal-type inequalities 16/06/2022 10:30

I shall present Rosenthal-type inequalities with sharp constants for moments of sums of independent random variables which are mixtures of a fixed distribution. I will also discuss related problems and partial results for sums of independent log-concave random variables. Based on joint work with Chasapis and Eskenazis.

+ Relâche 09/06/2022 10:30
+ Kasia Wyczesany On almost Euclidean and well-complemented subspaces of finite-dimensional normed spaces 02/06/2022 10:30

In this talk I will discuss a version of an old question of Vitali Milman about almost Euclidean and well-complemented subspaces. In particular, I will introduce a notion of `$\epsilon$-good points', which allows for a convenient reformulation of the problem. Let $(X, \|\cdot\|_X)$ be a normed space. It turns out that if a linear subspace $Y\subset X$ consists entirely of $\epsilon$-good points then the restriction of the norm $\|\cdot \|_X$ to $Y$ must be approximately a multiple of the $\ell_2$ norm and the operator norm of the orthogonal projection onto $Y$ is close to 1. I will present an example of a normed space $X$ of arbitrarily high dimension, whose Banach-Mazur distance from the $\ell_2^{{\rm dim} X}$ is at most $2$, but such that non of its (even two-dimensional) subspaces consists entirely of $\epsilon$-good points. The talk is based on joint work with Timothy Gowers. 

+ Xavier Parcet A new inequality for Schur multipliers 19/05/2022 10:30
+ Leonid Pastur On random matrices arising in deep random networks 12/05/2022 10:30
+ Michael Goldman Une approche variationnelle pour la régularité en transport optimal 21/04/2022 10:30
+ Thierry Bodineau Fluctuations d’une dynamique de sphères dures 14/04/2022 10:30
+ Ivan Gentil Inégalité de Caffarelli-Kohn-Nirenberg et géométrie conforme. 07/04/2022 10:30
+ Nikolai Nikolski Trois dimensions d’un espace homogène et le transport optimal des signes 31/03/2022 10:30
Dans le cadre des études des « contraintes de positivité » pour les systèmes représentatifs de L^2 sur un espace homogène Ω, μ, je regarde les qualités de mélange des signes pour les « frames » de l’espace L^2, ainsi que pour des bases de Riesz et des suites de Bessel. Le comportement asymptotique des normes exprimant ces qualités (de Kantorovich-Rubinstein) est lié à la dimension géométrique de Ω, ainsi qu’aux dimensions inférieure et supérieure de la mesure μ.
+ Léonard Cadilhac Inégalités maximales non commutatives pour des opérateurs de moyenne sur les groupes moyennables 24/03/2022 10:30
+ Alexandros Eskenazis Learning low-degree functions on the discrete hypercube 17/03/2022 10:30
+ Michel Talagrand Le chainage, une longue histoire. 10/03/2022 11:00
+ Vassili Nestoridis ANNULÉ - A new function algebra and Mergelyan type theorems 26/03/2020 10:30

In arxiv:1901.01339, we gave a counterexample to a Mergelyan type statement for cartesian products stated by Gamelin and Garnett in an article published in TAMS fifty years ago, in 1969. In order to correct this false statement we introduced a natural algebra $A_D(K)$, smaller than the classical  algebra $A(K)$, where $K$ is a compact subset of $\Bbb C^d$. The introduction of $A_D(K)$ explains partially why approximation theory in several variables is not so developed and opens a new road of research. We believe that several new Mergelyan type theorems will be obtained. So far we have one such theorem for products and one for graphs. Applications to universality can be found in arxiv:1909.03521 and arxiv:1910.01759. Also, a parallel theory can be developed when replacing uniform convergence by uniform on $K$ convergence of all orders derivatives (in preparation).

+ Michael Speckbacher ANNULÉ - Planar sampling sets for polyanalytic Bargmann-Fock spaces 19/03/2020 10:30

We will present a Logvinenko-Sereda type theorem on quantitative bounds for planar subsampling of true polyanalytic Bargmann-Fock spaces. As a side product, which deserves some interesting on its own, we show a Remez-type inequality for polyanalytic functions.

+ Omer Friedland Estimations de type Logvinenko-Sereda pour des ensembles discrets 12/03/2020 10:30

Je présenterai le résultat classique de Logvinenko-Sereda, et sa démonstration puis j'expliquerai comment on peut le généraliser pour des ensembles discrets.

+ Grève 05/03/2020 10:30
+ Clément Coine Opérateurs intégraux multiples et applications à des problèmes de perturbation 27/02/2020 10:30
+ Gilles Pisier Une C*-algebre non-nucléaire possédant a la fois WEP et LLP 06/02/2020 10:30

 We will  describe Kirchberg's conjecture on tensor products of $C^*$-algebras  which, as he showed, is   equivalent to the Connes embedding problem. His conjecture is that the $C^*$-algebra of the free  groups $C^*(\mathbb F_\infty)$ (or $C^*(\mathbb F_2)$) which has the Local  Lifting  Property  (LLP in short) also has the Weak  Expectation  Property  (WEP in short). We will describe the construction of the first example of a  non-nuclear $ C^*$-algebra $A$ with both LLP and WEP.  Our algebra $A$ has the ``same" finite dimensional operator spaces  as $C^*(\mathbb F_\infty)$.  In the second part several operator space variants involving analogues of the Gurarii space will be presented.

+ Thomas Duyckaerts Minoration de l'énergie extérieure pour l'équation des ondes et applications 30/01/2020 10:30

Dans cet exposé (tiré de collaborations avec Hao Jia, Carlos  Kenig et Frank Merle), je présenterai certaines minorations de  l'énergie de l'équation des ondes linéaire sur l'espace euclidien, à  l'extérieur du cône d'onde. Je donnerai également des applications à  l'étude la dynamique de l'équation des ondes non-linéaires, et notamment à la démonstration récente de la résolution en solitons pour l'équations des ondes critiques en dimension impaire.

+ Laurent Moonens Inégalités de Fava-de Guzmán pour des opérateurs maximaux directionnels 23/01/2020 10:30

Si $M_f$ désigne l’opérateur maximal ``fort’’ défini par
M_f(x):=\sup_R \frac{1}{|R|} \int_R |f|,
où la borne supérieure est étendue à tous les parallélépipèdes $n$-dimensionnels $R$ parallèles aux axes contenant $x$, l’inégalité suivante, due indépendamment à Fava et de Guzmán, est classique:
|\{M_ff>\lambda\}|\leq C\int_{\R^n} \frac{|f|}{\lambda}\left(1+\log_+ \frac{|f|}{\lambda}\right).
Nous nous intéresserons, dans cet exposé, à la validité (ou non) d’inégalités de ce type pour des opérateurs maximaux associés à des familles de rectangles de $\R^2$ dont les côtés sont orientés selon un ensemble (dénombrable) de directions. Il s’agit de travaux à paraître avec E. D’Aniello et J. Rosenblatt.

+ Jesus Rebollo Bueno A stochastic Prekopa-Leindler inequality for log-concave functions 16/01/2020 10:30

The Brunn-Minkowski and Prékopa-Leindler inequalities admit a variety of proofs that are inspired by convexity. Nevertheless, the former holds for compact sets and the latter for integrable functions so it seems that convexity has no special significance. On the other hand, it was recently shown that the Brunn-Minkowski inequality, specialized to convex sets, follows from a local stochastic dominance for naturally associated random polytopes. We show that for the subclass of log-concave functions and associated stochastic approximations, a similar stochastic dominance underlies the Prékopa-Leindler inequality. In collaboration with Peter Pivovarov.

+ Grève 09/01/2020 10:30
+ Guy David Un analogue de la mesure harmonique pour des domaines à petite frontière 19/12/2019 10:30

Pour essayer de définir quand même une mesure harmonique sur des domaines dont le bord est de grande codimension,
on a été amenés à étudier des opérateurs elliptiques un peu particuliers. On s’intéresse, comme en codimension $1$,
aux relations entre régularité du domaine et propriétés de la mesure harmonique associée.

Travaux avec M. Engerstein, J. Feneuil, et S. Mayboroda.

+ Assaf Naor Quantitative vector-valued laws of large numbers for Markov chains 18/12/2019 10:30 (Séance exceptionnelle le mercredi, même salle)
+ Fabrice Planchon Energies modifiées pour NLS et applications 12/12/2019 10:30

On se propose d illustrer sur un exemple simple (NLS quintique 1d) d’équation non intégrable comment l’introduction de corrections dans les énergies d'ordre élevé permet de montrer la croissance polynomiale en temps de ces énergies par un argument élémentaire ; on abordera également la quasi-invariance des mesures gaussiennes associées. Il s’agit de travaux en collaboration avec Nikolay Tzvetkov et Nicola Visciglia.


+ Grève 05/12/2019 10:30
+ Mylène Maïda L'intégrale sphérique en rang un, quinze ans plus tard 28/11/2019 10:30
+ Nathael Gozlan Une preuve du théorème de contraction de Caffarelli par régularisation entropique 21/11/2019 10:30
+ Yuri Belov Density of complete and minimal systems of time frequency shifts of Gaussians 14/11/2019 10:30

It was shown by Ascenzi, Lyubarskii, Seip that the upper density of any complete and minimal system
of Gaussians is between $\frac{2}{\pi}$ and 1, if we know that there exists an angular density. It was an open
question whether it is true in general. We will show that there exists a complete and minimal system with
upper density $\frac{1}{\pi}$, and that the upper density of any such system is larger than $\frac{1}{3\pi}$.
The talk is based on work in collaboration with A. Borichev and A. Kuznetsov.

+ Alexandros Eskenazis Polynomial inequalities on the Hamming cube 07/11/2019 10:30

Every function $f$ on the $n$-dimensional discrete cube $\{-1,1\}^n$ admits a unique representation as a multilinear polynomial of total degree at most $n$, called the Walsh expansion of $f$. We will review the basics of Fourier analysis on the discrete cube and explain a duality argument (inspired by classical work of Figiel) which leads to approximation theoretic estimates for functions whose Walsh coefficients are supported on frequencies bounded above or below. These include Bernstein--Markov type inequalities and their reverses, moment comparison for vector-valued Rademacher chaos of low degree and estimates on the $\ell_p$ sum of influences of bounded functions. The talk is based on joint work with Paata Ivanisvili.

+ Colin Petitjean Sur les espaces Lipschitz libres qui se plongent isométriquement dans l_1 17/10/2019 10:30


 L'espace libre F(M), pour un espace métrique M, est un espace de Banach qui contient M isométriquement et qui est tel que toute application Lipschitzienne de M dans R peut être "prolongée canoniquement" en une forme linéaire définie sur F(M). La structure linéaire de ces espaces libres reste assez peu comprise à ce jour. Pour illustrer cela, nous ne savons pas si F(R^2) et F(R^3) sont isomorphes. Cependant une manière de progresser dans la compréhension de ces espaces est d'étudier les éventuels plongements linéaires d'espaces de Banach classiques dans les espaces libres, ou vice-versa.  Nous nous intéresserons particulièrement à la relation qu'ont les espaces libres avec l1, l'espace de Banach des suites réelles sommables. Plus précisément, nous chercherons à nous rapprocher d'une caractérisation des espaces métriques M pour lesquels F(M) se plonge isométriquement dans l1. Il s'agit de travaux en collaboration avec Antonín Procházka et Ramón J. Aliaga.


+ Valentin Ferenczi Enveloppes et espaces L^p 10/10/2019 10:30
+ Elisabeth Werner On the affine surface area 27/06/2019 10:30
Given a convex body $K$ in $R^n$, we study the quantity $AS(K) = sup_K'\subseteq K(as(K')$ where $as(K')$ denotes the affine surface area of $K'$, and the supremum is taken over all convex subsets of $K$. We study continuity properties of $AS(K)$ and give asymptotic estimates. Based on joint work with Han Huang and Carsten Schuett.
+ Artem Zvavitch Links between different inequalities on mixed volumes of convex bodies 13/06/2019 10:30
The notion of mixed volumes and the inequalities involving them play a central role in the modern convex geometry, and have many connections to various other areas of mathematics. The most classical inequalities includes Brunn Minkowski inequality and more general Alexandrov-Fenchel inequality. In this talk we will discuss a local version of Alexandrov-Fenchel ineqaulity and its connection to the search for the best constant in a number of geometric inequalities including inequality on the volume of orthogonal projections of convex bodies; isomorphic version of Bezout inequality; approximate submodularity of Minkowski sum; as well as to the property of distribution of roots of Steiner polynomial. This is a joint work with Matthieu Fradelizi and Mokshay Madiman.
+ Vitali Milman Flowers and Non-linear Constructions in Convex Geometry 06/06/2019 10:30
+ Frederic Bayart Sommabilité des coefficients d'une forme multilinéaire 23/05/2019 11:00
Soit $T$ une forme $m$-linéaire définie sur un produit d'espaces $\ell_p$ et soit $\Lambda$ une partie de $\mathbb N^m$. On s'intéresse à la question suivante : quel est le meilleur $s>0$ tel que la suite des coefficients de $T$ appartiennent à $\ell^s(\Lambda)$. La dimension combinatoire de $\Lambda$ joue un rôle important dans cette étude
+ Alexander Volberg Poincaré inequalities on Hamming cube: analysis, combinatorics, probability 23/05/2019 10:00
We improve the constant $\frac\pi2$ in $L^1$-Poincar\'e inequality on Hamming cube. For Gaussian space the sharp constant in $L^1$ inequality is known, and it is $\sqrt\frac\pi2$ (Maurey--Pisier). For Hamming cube the sharp constant is not known, and $\sqrt\frac\pi2$ gives an estimate from below for this sharp constant. On the other hand, L. Ben Efraim and F. Lust-Piquard have shown an estimate from above: $C_1\le \frac\pi2$. Their proof was using non-commutative harmonic analysis., semi-groups in the space of matrices. There are at least two other proofs of the same estimate from above (we present one or two of them). Since those proofs are very different from the proof of Ben Efraim and Lust-Piquard but gave the same constant, that might have indicated that constant is sharp. But here we give a better estimate from above, showing that $C_1$ is strictly smaller than $\frac\pi2$. It is still not clear whether $C_1> \sqrt\frac\pi2$. We discuss this circle of questions including the possible role of the so-called curl space in combinatorics of calculation.
+ Henrik Ueberschär Cicatrices dans des billards polygonaux rationnels 16/05/2019 10:30
+ Nikolaï Nikolski Sur la distribution des signes dans les "frames" et les bases de Riesz 09/05/2019 10:30
C'est un sujet en commun avec Alexander Volberg. Entre autre, nous donnons une simple explication au fait qu'il n'y a pas des bases inconditionnelles positives en aucune treillis des fonctions mesurables sur une espace mesuré à une mesure continue.
+ Catalin Badea Ensembles des entiers, théorie des opérateurs et analyse harmonique 18/04/2019 10:30
+ Dmitriy Stolyarov Sobolev martingales 11/04/2019 10:30
We introduce new spaces of martingales that behave like L_1 based Sobolev spaces on R^d. We prove a martingale analog of the Gagliardo--Nirenberg inequality (and more recent Van Schaftingen's theorem) and provide sharp estimates on the lower Hausdorff dimension of the terminal distributions of martingales in these spaces.
The talk is based on joint work with Rami Ayoush and Michal Wojciechowski.
+ Ioann Vasilyev G chaînes minimales de dimension 2 et de codimension 1 dans les espaces normés de dimension finie. 04/04/2019 10:30
Dans cet exposé on discutera l'existence des G chaines minimisantes en dimension 2 et en codimension 1 dans les espaces de Banach de dimension finie. Je présenterai deux approches différentes: celle inspirée par les méthodes de Herbert Federer (Geometric measure theory, (1969), chapitres 4 et 5) et celle basée sur les principes de la géométrie intégrale. Les résultats présentés sont issus d'un travail commun avec Thierry De Pauw: https://arxiv.org/pdf/1812.04520.pdf
+ Alexander Borichev Séries de Taylor à coefficients aléatoires et pseudo-aléatoires 28/03/2019 10:30
Nous considérons des fonctions entières représentées par des séries de Taylor à coefficients aléatoires et pseudo-aléatoires et établissons des relations entre les coefficients et la distribution des zéros. On discute, entre autres, le problème d'approximation polynomiale sur le cercle unité et la condition de Szegö.
+ Yuri Tomilov Powers of operators through the lens of numerical ranges 21/03/2019 10:30
I will review a number of recent results on the structure of Hilbert space operators: asymptotics of powers, dilations, diagonals, etc. Their common point is a new approach based on the properties of numerical ranges
for operator tuples. Among motivations are problems stemming from harmonic analysis, ergodic theory, and the study of invariant subspaces.
This is joint (and still ongoing) work with V. Muller.
+ Gilles Godefroy Versions non linéaires des propriétés d'approximation de Grothendieck 14/03/2019 10:30
+ Pierre Youssef Quand est ce qu’une matrice (infinie) gaussienne définit un opérateur borné sur l^2 ? 21/02/2019 10:45
Nous répondons à la question en donnant une caractérisation complète de la norme d’une matrice Gaussienne. La preuve combine deux techniques: l’une basée sur la comparaison de processus Gaussiens, et l’autre combinatoire basée sur l’approximation de la norme d’opérateur par les normes de Schatten. De plus, la preuve donne une information sur la structure de ces opérateurs bornés en affirmant qu’ils devront être en un certain sens presque diagonaux. Ceci est un travail en collaboration avec Ramon Van Handel et Rafal Latala.
+ Noé de Rancourt Dichotomies Hilbert-évitantes et ergodicité 14/02/2019 10:30
Dans les années 90 est résolu le problème de l'espace homogène, grâce au travaux de Gowers, Komorowski et Tomczak-Jaegermann, qui montrent ainsi qu'un espace de Banach isomorphe à tous ses sous-espaces est nécessairement isomorphe à $\ell_2$. Ceci a mené à la question suivante : combien un espace de Banach séparable et non-isomorphe à $\ell_2$ peut-il avoir de sous-espaces, à isomorphisme près ? En particulier, Ferenczi et Rosendal conjecturent que la relation d'équivalence $E_0$ est Borel réductible à la relation d'isomorphisme entre les sous-espaces d'un tel espace (ce qui implique, en particulier, que le nombre de sous-espace deux-à-deux non-isomorphes d'un tel espace a la puissance du continu).

Dans cet exposé, je présenterai deux dichotomies d'espaces de Banach qui pourraient aider à prouver cette conjecture, et en particulier à prouver que s'il existe des contre-exemples, alors il en existe possédant une base inconditionnelle. Ces dichotomies sont dans l'esprit des dichotomies de Gowers, et de Ferenczi et Rosendal, visant à établir une classification "à sous-espace près" des espaces de Banach séparables, à ceci près qu'elles sont Hilbert-évitantes : elles assurent que le sous-espace produit est non-isomorphe à $\ell_2$. Ces dichotomies amènent à introduire une nouvelles classes d'espaces : les espaces héréditairement Hilbert-primaires, qui ne contiennent aucune somme directe topologique de sous-espaces non-isomorphes à $\ell_2$.

Les résultats présentés dans cet exposé sont tirés d'un travail en cours
en commun avec Wilson Cuellar Carrera et Valentin Ferenczi.
+ Henrik Ueberschär Cicatrices dans des billards polygonaux rationnels 07/02/2019 10:30
+ Nathael Gozlan Transport optimal pour des coûts barycentriques 31/01/2019 10:30
On présentera une variante du transport optimal où les transports de masse élémentaires sont pénalisés au travers de leurs barycentres. Ces coûts de transport barycentriques incluent notamment les coûts de transport avec contraintes martingales. Ils sont reliés par ailleurs au phénomène de concentration de la mesure indépendant de la dimension pour les fonctions convexes. Nous commencerons par présenter des résultats généraux de dualité pour le transport barycentrique obtenus en collaboration avec P-M Samson, C. Roberto, Y. Shu et P. Tetali. Nous présenterons ensuite un résultat récent (en collaboration avec N. Juillet) décrivant les plans de transport optimaux pour le transport barycentrique quadratique.
+ Olivier Guédon Sur la géométrie de certains polytopes aléatoires 24/01/2019 10:30
+ Mathieu Meyer Du nouveau sur le produit volumique 17/01/2019 10:30
+ Philippe Jaming Principes d'incertitude et propriétés de solutions d'EDP 10/01/2019 10:30
Dans cet exposé nous allons montrer comment des principes d'incertitude classiques en analyse de Fourier peuvent se reformuler en terme de solutions d'EDP. Ces liens permettent d'adapter des techniques d'analyse de Fourier pour résoudre des questions d'EDP et vice versa.
+ Sandrine Grellier Tores génériquement bigarrés et transformée spectrale inverse pour des opérateurs de Hankel 20/12/2018 10:30
Dans cet exposé, j'explorerai la régularité d'une transformée spectrale inverse pour des opérateurs de Hankel sur le disque unité. Cette transformée spectrale joue le rôle de coordonnées action-angles pour un système Hamiltonien complètement intégrable: l'équation de Szegö cubique. Les tores supportant les solutions de l'équation de Szeg\Ho cubique contiennent une grande variété de fonctions en terme de régularité. On démontre notamment que, génériquement, des trajectoires régulières et un $G_\delta$ dense de fonctions irrégulières coexistent sur un même tore. On exhibe aussi des tores (Travail en collaboration avec Patrick Gérard).
+ Hervé Queffelec Opérateurs de composition à symbole surjectif et une application 06/12/2018 10:30
En 1986, Mac Cluer et Shapiro ont construit un op\'erateur de composition compact sur l'espace de Hardy $H^2$ du disque, \`a symbole surjectif, et "presque" injectif.
En 2012, avec P.~Lef\`evre, D.~Li, et L.~Rodr\'iguez-Piazza, nous avons pr\'ecis\'e ce r\'esultat: le symbole peut \^etre surjectif et "presque" injectif, et la mesure de Carleson associ\'ee arbitrairement \'evanescente. En particulier, l'op\'erateur peut \^etre dans toutes les classes de Schatten. Notre preuve comportait des arguments compliqu\'es de mesure harmonique.
Dans le travail pr\'esent\'e ici, avec D.~Li, et L.~Rodr\'iguez-Piazza, nous donnons une preuve plus simple (l'in\'egalit\'e faible de Kolmogorov remplace la mesure harmonique) du r\'esultat de 2012, avec la pr\'ecision suivante: les nombres singuliers de l'op\'erateur de composition associ\'e ont un comportement sous-exponentiel arbitraire.
Nous en d\'eduisons \'egalement que la pluricapacit\'e de Monge-Amp\`ere de l'image du symbole ne suffit plus \`a d\'eterminer le comportement des nombres singuliers d\`es qu'on est en dimension $\geq 2$, alors qu'en dimension un nous avions montr\'e que la
capacit\'e de Green suffit \`a d\'eterminer ce comportement (formule de type Hadamard).
+ Florian Le Manach Cyclicité et bicyclicité dans les espaces l^p et l^p à poids 29/11/2018 10:30 salle exceptionnelle 15-25-102
Pour $p \geq 1$ et $\beta \geq 0$, on note $\ell^p_\beta(\mathbbZ)$ l'espace des suites $u=(u_n)_n\in \mathbbZ$ vérifiant $(u_n |n|^\beta)\in \ell^p(\mathbbZ) $. On dit qu'une suite $u=(u_n)_n\in\mathbbZ$ est cyclique (resp. bicyclique) si le sous-espace engendrépar $ \(u_n+k)_n \in \mathbbZ,~ k \in \mathbbN \$ (resp. $\(u_n+k)_n \in \mathbbZ,~ k \in \mathbbZ \$) est dense dans $\ell^p(\mathbbZ$). On présentera dans cet exposé des conditionsnécessaires et des conditions suffisantes à la cyclicité et à la bicyclicité dans $\ell^p_\beta(\mathbbZ)$. Ces conditions sont données en terme de dimension de Hausdorff et de capacité de l'ensemble des zéros de la transformée de Fourier de $u$. On verra cependant que l'ensemble des zéros de la transformée de Fourier ne peut caractériser la cyclicité et la bicyclicité dans $\ell^p(\mathbbZ)$ lorsque $p\in(1,2)$.
+ Dmitry Chelkak Tau-functions à la Dubédat and probabilities of cylindrical events for double-dimers and CLE(4) 22/11/2018 10:30 salle exceptionnelle 15-25-102
Building upon recent results of Dubédat on convergence of topological correlators in the double-dimer model to isomonodronic tau-functions, we discuss the convergence of probabilities of cylindrical events. Though our motivation comes from 2D statistical mechanics and probability, the proofs are of a purely analytic nature. The key techniques are the analysis of entire functions on SL(2) representations of the fundamental group of the punctured domain and on the (non-smooth) subvariety of locally unipotent representations. Based on a joint work arXiv:1809.00690 with Mikhail Basok (St.Petersburg).
+ Konstantin Fedorovskiy Badly approximable functions in L^p and analytic balayage of measures 15/11/2018 10:30
The first topic that we plan to consider is the concept of an analytic balayage of measures which was introduced by D. Khavinson in 1980-th. This concept turned out to be useful for studying properties of measures orthogonal to rational functions on compact sets in the complex plane. We present new formulae for analytic balayage of measures in the case when the support of a given measure lies inside some Carathéodory compact set, and the balayage is done onto the boundary of this compact set. It turnes out that this topic is closely related with properties of badly approximable functions in the space $L^1$ on the unit circle, that is such functions for which the best approximant in the Hardy space $H^1$ is the zero function. We will also discuss descriptions of badly approximable functions of class $L^p$ on the unit circle for all $p\geqslant1$. The talk is bases on a recent joint work of E. Abakumov and the author.
+ Jean Roydor Perturbations d’algèbres de von Neumann pour la distance de Banach-Mazur 08/11/2018 10:30
+ Thomas Letendre Volume de sous-variétés algébriques réelles aléatoires 18/10/2018 10:30
Dans cet exposé, on s'intéressera à un modèle de sous-variétés algébriques réelles aléatoires dans une variété projective. Dans le cas simple où l'espace ambiant est la sphère, ces sous-variétés sont obtenues comme lieux d'annulation de polynômes aléatoires homogènes de degré d. Quand d augmente, ces objets deviennent de plus en plus complexes géométriquement. Je présenterai deux théorèmes qui donnent les asymptotiques de l'espérance et de la variance du volume de ces sous-variétés lorsque d tend vers l'infini. Ces résultats montrent une concentration du volume, et plus généralement des statistiques linéaires, autour de leurs moyennes. On en déduira que nos sous-variétés aléatoires s'équidistribuent presque surement dans l'espace ambiant lorsque le degré tend vers l'infini. Il s'agit d'un travail en commun avec Martin Puchol.
+ Valentin Ferenczi Ultrahomogéneité et propriétés de Ramsey dans les espaces Lp 11/10/2018 10:30
+ Joseph Lehec Processus de Poisson et théorème de Bernstein log-concave 04/10/2018 10:30
L’exposé sera sur les liens entre fonctions log-concaves et suites log-concaves. On démontrera d'abord un théorème de type Bernstein, qui caractérise la transformée de Laplace d’une mesure log-concave sur les réels positifs par une certaine propriété de log-concavité des coefficients de Taylor alternés. On montrera aussi une formule de Borell pour le processus de Poisson et on en déduira une version discrète de l’inégalité de Prékopa-Leindler.
+ Artem Zvavitch Bezout Inequality for Mixed volumes 05/07/2018 10:30

In this talk we will discuss the following analog of Bezout inequality for mixed volumes: $
V(P_1,\dots,P_r,\Delta^n-r)V_n(\Delta)^r-1\leq \prod_i=1^r V(P_i,\Delta^n-1)\ \text for 2\leq r\leq n.
$ We will briefly explain the connection of the above inequality to the original Bezout inequality and show that the inequality is true when $\Delta$ is an $n$-dimensional simplex and $P_1, \dots, P_r$ are convex bodies in $\mathbb R^n$. We will present a conjecture that if the above inequality is true for all convex bodies $P_1, \dots, P_r$, then $\Delta$ must be an $n$-dimensional simplex. We will show that the conjecture is true in many special cases. Finally, we connect the inequality to an inequality on the volume of orthogonal projections of convex bodies as well as present an isomorphic version of the inequality.
+ Relâche 28/06/2018 10:30
+ Alexander Litvak Order statistics of vectors with dependent coordinates 21/06/2018 10:30
Let $X$ be an $n$-dimensional random centered Gaussian vector with independent but not necessarily identically distributed coordinates and let $T$ be an orthogonal transformation of $\R^n$. We show that the random vector $Y=T(X)$ satisfies $\displaystyle
\mathbbE \sum \limits_j=1^k j\mbox-\min _i\leq nX_i^2 \leq C \mathbbE \sum\limits_j=1^k j\mbox-\min _i\leq nY_i^2
$ for all $k\leq n$, where ``$ j\mobx-\min$'' denotes the $j$-th smallest component of the corresponding vector and $C>0$ is a universal constant. This resolves (up to a multiplicative constant) an old question of S.Mallat and O.Zeitouni regarding optimality of the Karhunen--Lo\`eve basis for the nonlinear reconstruction. We also show some relations for order statistics of random vectors (not only Gaussian), which are of independent interest. This is a joint work with Konstantin Tikhomirov.
+ Sasha Volberg Some Favard length (and Kakeya) estimates 14/06/2018 10:30
I would like to describe the present state of understanding of the Favard length rate estimates for self-similar Besicovitch irregular sets of positive and finite length. By duality this is the same as to estimate the area of the union of Kakeya rectangles with a prescribed self-similarity. I would describe the results of M. Bateman, M. Bond, I. Laba, F. Nazarov, Y. Peres and myself. I will also describe the combination of ideas from complex analysis, Fourier analysis, combinatorics and number theory that allowed us to obtain the estimates. However, many problems are still there.
+ Grigoris Paouris On almost isometric Euclidean subspaces of normed spaces 07/06/2018 10:30
+ Tuomas Hytönen Of commutators and Jacobians 31/05/2018 10:30
he L^p boundedness of commutators [b,T] = bT-Tb of pointwise multiplication b and singular integral operators T has been well studied for a long time. There are also many results about L^p to L^q boundedness for pq. I will supply the missing pieces to present a complete picture of the L^p to L^q boundedness for all finite p,q>1, and relate the regime of exponents p>q to the mapping properties of the Jacobian on first order Sobolev spaces.
+ Max Fathi Noyaux de Stein, transport optimal et vitesse de convergence dans le TCL 24/05/2018 10:30
Les noyaux de Stein sont une manière de contrôler des distances entre mesures de probabilités, basée sur des formules d'intégration par parties. Dans cet exposé, je présenterai plusieurs constructions de ces noyaux, leurs propriétés, et en application quelques bornes sur la vitesse de convergence dans le TCL en distance de Wasserstein, avec dépendance explicite en la dimension.
+ Tim Gowers Nouvelles bornes pour la fonction d’Erdös et Rogers 17/05/2018 10:30
Soit s,t un couple d'entiers tel que s < t. Si G est un graphe d’ordre n, et si G ne contient aucune clique d’ordre t, quelle est la taille, au minimum, du plus grand sous-graphe induit qui ne contient aucune clique d’ordre s? Ceci est une question qui a été posée en 1962 par Erdös et Rogers. En général, le problème reste ouvert. Je presenterai une construction, obtenue récemment avec Oliver Janzer, qui fourni des nouvelles bornes supérieures dans plusieurs cas.
+ Alexander Logunov Zero sets of Laplace eigenfunctions 03/05/2018 10:00
Nadirashvili conjectured that for any non-constant harmonic function in R^3 its zero set has infinite area. Nadirashvili's conjecture is true and we will discuss its applications to the Yau conjecture on zero sets of Laplace eigenfunctions. Both conjectures can be treated as an attempt to control the zero set of a solution of elliptic PDE in terms of growth of the solution. For holomorhpic functions such kind of control is possible only from one side: there is a plenty of holomorphic functions that have no zeros. While for a real-valued harmonic function on a plane the length of the zero set can be estimated (locally) from above and below in terms of growth of the harmonic function. We will discuss the notion of frequency, its properties and applications to the zero sets of harmonic functions in the higher dimensional case.
+ Eugenia Malinnikova An improvement of the Liouville theorem for discrete harmonic functions 03/05/2018 11:15
We discuss the discrete version of the Laplace operator on the standard lattice Z^2 and Z^d. On Z^2 we prove that if a harmonic function is bounded on a large portion of the lattice then it is constant. This is no longer true on Z^d, d>2. The talk is based on a joint work with L. Buhovsky, A. Logunov and M. Sodin.
+ Pavel Mozolyako Dirichlet space on the polydisc: a discrete approach 12/04/2018 10:30
The Dirichlet space on the polydisc $D^d, d \geq 1$, consists of analytic functions satisfying $\displaystyle \|f\|^2_\mathcalD (\mathbbD^d)=\sum_m_1,\dots,m_d|\hatf(m_1,\dots,m_d)|^2(m_1+1)\cdot\dots\cdot(m_d+1) < +\infty
$. A measure $\mu$ on $\bar\mathbfD^d$ is a Carleson measure for $\mathcalD(\mathbbD^d)$, if the operator $Id\; \mathcalD(\mathbbD^d) \rightarrow L^2(\bar\mathbbD^d,\,d\mu)$ is bounded. In the one dimensional case ($d=1$) Carleson measures were first described by Stegenga ('80) in terms of capacity, further development was achieved in papers by Arcozzi, Rochberg, Sawyer, Wick and others.
Following Arcozzi et al. we consider the equivalent problem in the discrete setting --- characterization of trace measures for the Hardy operator on the polytree $T^d$. We introduce the basics of (poly)logarithmic potential theory on $T^d$, and for $d=2$ we present a description of such measures in terms of bilogarithmic capacity (which, in turn, gives the description of Carleson measures for $\mathcalD(\mathbbD^2)$ in the sense of Stegenga). We also discuss some arising combinatorial problems.

This talk is based on joint work with N. Arcozzi, K.-M. Perfekt, G. Sarfatti.
+ Vadim Kaimanovich Amenability, approximate invariance and the Liouville property 05/04/2018 10:30
The class of amenable groups was introduced by von Neumann in 1929 to explain the Hausdorff-Banach-Tarski paradox. This original definition was given in highly non-constructive terms of invariant means. A much more constructive characterization of amenability in terms of approximately invariant measures was only given in the 1950s by Day (although the phenomenon was definitely known much earlier). Both of them are also closely related to the Liouville property, i.e., to the absence of non-constant bounded harmonic functions.
I will overview the historical background and outline a number of new results on the amenability beyond the group setting.
+ Gilles Pisier Operator Sidon sets 29/03/2018 10:30
A subset Λ of a discrete group G is called “completely Sidon” (or “operator Sidon”) if any bounded function f : Λ → B(H) extends to a c.b. map f : C∗(G) → B(H). Equivalently, the closed span of Λ in C∗(G), denoted by C_Λ, is completely isomorphic to the operator space version of the space l_1 (i.e. l_1 equipped with its maximal operator space structure). The typical example is a free set. Only non-amenable groups can contain infinite completely Sidon sets. Such sets have been previously considered by Boz ̇ejko. We generalize to this context Drury’s classical theorem: completely Sidon sets are stable under finite unions. We also obtain the operator valued analogue of the “Fatou-Zygmund property”: any bounded f : Λ → B(H) on an asymmetric completely Sidon set extends to a (completely) positive definite function on G. We give a completely isomorphic characterization of completely Sidon sets: Λ is completely Sidon iff the operator space C_Λ is completely isomorphic (by an arbitrary isomorphism) to l_1(Λ). This is the operator space version of a result of Varopoulos for classical Sidon sets. We will also discuss the systems of non-commutative random variables that are “dominated by free-Gaussians”, in analogy with the classical subGaussian systems.
+ Alexei Poltoratski Gap problems in Fourier and spectral analysis 22/03/2018 10:30
+ Vincent Millot Applications harmoniques fractionnaires et surfaces minimales locales ou non locales 15/03/2018 10:30
+ Nalini Anantharaman Ergodicité quantique sur les graphes : délocalisation spectrale et spatiale 08/03/2018 10:30
(Travaux en commun avec E. Le Masson, M. Sabri) Nous nous intéresserons aux phénomènes de (dé)localisation pour les fonctions propres du laplacien discret sur des graphes. Après avoir passé en revue diverses notions de localisation/délocalisation, nous nous intéresserons plus spécifiquement à la notion d’ergodicité quantique et démontrerons (sous certaines hypothèses supplémentaires) le théorème suivant : si un arbre infini possède du spectre absolument continu, et si on ``approxime’’ cet arbre par des grands graphes finis, alors les fonctions propres de ces derniers sont à peu près équidistribuées sur les sommets. Notons qu’il s’agit d’un énoncé déterministe ; pour les graphes réguliers aléatoires, un résultat d’ ``unique ergodicité quantique" a été démontré par Yau, Huang, Bauerschmidt et Knowles.
+ Mikael de la Salle Propriété (T) renforcée pour SL(3,Z) et autres réseaux non uniformes 15/02/2018 10:30
La propriété (T) est une propriété de rigidité pour les représentations unitaires d'un groupe. La propriété (T) renforcée (comme ses variantes banachiques), introduite par Lafforgue, est un renforcement où l'on s'intéresse aux représentations non isométriques sur certains espaces de Banach mais qui ont un taux de croissance de la norme modéré. On savait depuis les travaux de Lafforgue et ses successeurs que cette propriété est satisfaite pour les groupes de Lie/algébriques de rang supérieur, ainsi que leurs réseaux cocompacts. L'objet de l'exposé sera de généraliser ces résultats aux réseaux non cocompacts, comme SL_3(Z). J'expliquerai les motivations récentes issues de l'étude des actions de groupes sur les variétés (programme de Zimmer), les difficultés, et l'idée pour surmonter ces difficultés.
+ David Kerr Quantum groups, property (T), and weak mixing 08/02/2018 10:30
For second countable discrete quantum groups, and more generally second countable locally compact quantum groups with trivial scaling group, we show that property (T) is equivalent to every weakly mixing unitary representation not having almost invariant vectors. This generalizes results of Bekka–Valette (from the group setting) and Daws–Skalski–Viselter (from the setting of low dual) and is established using completely different methods. As a consequence we obtain quantum group versions of characterizations of property (T) of Kerr–Pichot in terms of the Baire category theory of weak mixing representations and of Connes–Weiss in term of the prevalence of strongly ergodic actions. This is joint work with Michael Brannan.
+ Benoit Collins The strong asymptotic freeness for random permutations 01/02/2018 10:30
n by n permutation matrices act naturally on the (n-1)-dimensional vector subspace of C^n of vectors whose components add up to zero. We prove that random independent permutations, viewed as operators on this vector subspace, are asymptotically strongly free with high probability. While this is a counterpart of a previous result by the presenter and Male in the case of a uniform distribution on unitary matrices, the techniques required for random permutations are very different, and rely on the development of a matrix version of the theory of non-backtracking operators. We also discuss the case of sums of tensor products of random permutations. This is joint work with Charles Bordenave
+ Sophie Grivaux Coefficients de Fourier de mesures continues sur la suite de Furstenberg 25/01/2018 10:30
+ Gilles Lebeau Dispersion for the wave and the Schrödinger equations outside strictly convex obstacles} 18/01/2018 10:30
We consider the linear wave equation and the linear Schrödinger equation outside a compact, strictly convex obstacle in $\mathbbR^d$ with smooth boundary. In dimension $d=3$ we show that the linear wave flow and the linear Schröodinger flow satisfy the dispersive estimates as in $\mathbbR^3$. For $d\geq 4$, if the obstacle is a ball, we show that there exists points where the dispersive estimates fail for both wave and Schrödinger equations.
Joint work with Oana Ivanovici
+ Aram Harrow Convex optimization and quantum information 11/01/2018 10:30
It is not so surprising that quantum mechanics presents hard new problems for optimization. For example, finding the lowest energy configuration of a physical system or simulating its dynamics both become more computationally difficult when we consider quantum systems. Less obvious is that the mathematics of quantum information can yield new methods of analyzing classical hard problems in optimization. In both directions, the link involves optimization problems related to norms of tensors and maximizing polynomials over many variables. I will survey connections in both directions and discuss some promising open problems.
The talk will not assume a background in quantum information theory. It is partly based on arXiv preprints 1205.4484, 1210.6367, 1310.0017 and 1509.05065.
+ Mathieu Fradelizi Convergence des sommes de Minkowski vers l'enveloppe convexe 21/12/2017 10:30

On définit les moyennes de Minkowski d'un compact $A$ de $R^n$ par $A(k)=\Big\ \fraca_1+\ldots a_kk, a_1, \ldots , a_k \in A \Big\$. On s’intéresse aux propriétés de monotonie de $A(k)$ dans sa convergence vers l’enveloppe convexe $conv(A)$ de $A$ en termes de distance de Hausdorff, de volume, de « rayon intérieur » et d’un indice de non-convexité de Schneider. Pour le volume la convergence est monotone en dimension 1 mais pas en dimension $n\ge 12$, ce qui infirme une conjecture de Bobkov, Madiman et Wang. On montrera l’origine de cette conjecture, liée à l’analogie entre théorie de Brunn-Minkowski et théorie de l’information ainsi que des résultats partiels pour les autres mesures de distance.
Basé sur un travail en collaboration avec Mokshay Madiman, Arnaud Marsiglietti et Artem Zvavitch.
+ Jimmy Lamboley Sur les formes optimales du spectre du Laplacien-Dirichlet 14/12/2017 10:30
+ Dario Cordero-Erausquin Inégalités de Prékopa et de Brascamp-Lieb pour des poids matriciels log-concaves. 07/12/2017 10:30
Dans un preprint de 2013, H. Raufi obtient, en utilisant de la géométrie complexe, une extension du théorème de Prékopa pour des fonctions "log-concaves" à valeurs matricielles. On en présentera une approche différente, en établissant en particulier une extension de l'inégalité spectrale de Brascamp-Lieb pour des poids matriciels log-concaves.
+ Alexander Pushnitski Multiplicative Hankel matrices 30/11/2017 10:30
A Hankel matrix is a matrix whose (n,m)'th element depends on the sum n+m. A Helson matrix (also known as a multiplicative Hankel matrix) is a matrix whose (n,m)'th element depends on the product nm. I will discuss how such matrices appear naturally in the study of Dirichletseries and consider some examples.I will attempt to compare the well established classical theory ofHankel matrices with the theory of Helson matrices, which is yet in its infancy.This is joint work with Karl-Mikael Perfekt and Nazar Miheisi.
+ François Le Maître Groupes pleins L^1 de transformations préservant une mesure de probabilité 23/11/2017 10:30
+ Rachid Zarouf Une approche constructive de la conjecture de Schäffer 16/11/2017 10:30
Schäffer a prouvé en 1970 que pour toute norme matricielle induite et toute matrice $n\times n$ inversible $T=T(n)$, l'inégalité
\left|\det T\right|\left\Vert T^-1\right\Vert \leq\mathcalS\left\Vert T\right\Vert ^n-1
est vérifiée avec $\mathcalS=\mathcalS(n)\leq\sqrten$. Il a conjecturé que le meilleur $\mathcal S$ était en fait borné. Ceci a été réfuté par Gluskin-Meyer-Pajor et les contributions ultérieures de J. Bourgain et H. Queffelec qui ont successivement amélioré les minorations correspondantes de $\mathcalS$, s'appuyant sur une inégalité de Bourgain. La construction de contre-exemples explicites réfutant cette conjecture reste ouverte depuis 22 ans, l'inégalité de Bourgain reliant cette question à la théorie des sommes de puissances de nombres complexes et à certains problèmes de P. Turán. Nous démontrons une analogue de l'inégalité de Bourgain nous conduisant à la construction des premiers contre-exemples explicites réfutant la conjecture de Schäffer. Il s'agit d'une suite explicite de matrices $n\times n$ de Toeplitz de spectre fixe et arbitraire $\\lambda\\subset\mathbbD-\0\$ satisfaisant $\cS\geq c(\lambda)\sqrtn$.

Un élément clé de notre approche sera d'étudier les normes $l_p$ des coefficients de Fourier de la puissance $n$-ième d'un automorphisme du disque unité, sujet initié par J-P. Kahane.

En cours de route, nous déterminons sur l'intervalle $]-1,1[$, le comportement asymptotique des polynômes de Jacobi dont le premier paramètre varie, sujet initié par G. Darboux.
+ Gilles Godefroy Complexité descriptive de classes d’isomorphismes d’espaces de Banach. 09/11/2017 10:30
+ Alexander Fedotov Equations aux différences finies dans le plan complexe: les asymptotiques semi-classiques 26/10/2017 10:30
+ Yuri Belov Summability properties of Gabor expansions 19/10/2017 10:30
+ Stephane Mischler Inégalités de Poincaré et de coercivité pour Landau et Boltzmann 12/10/2017 10:30
Je présenterai des preuves constructives d’inégalités de coercivité pour les opérateurs de Landau et Boltzmann linéarisés. Ces preuves permettent de retrouver simplement des inégalités qui avaient été obtenues il y a une dizaine d’années par Guo, Mouhot et co-auteurs
+ Timothy Gowers Les ensembles de dés non transitifs sont partout 05/10/2017 10:30
+ Willian Corrêa The Palais’ Problem for Operator Spaces 29/06/2017 10:30
+ Davide Barilari Inégalités d'interpolation en géométrie sous-riemannienne 22/06/2017 10:30
+ Florent Baudier Une nouvelle inégalité de concentration et ses applications en géométrie grossière 15/06/2017 10:30
Une nouvelle inégalité de concentration pour les applications Lipschitziennes sur les graphes de Hamming infinis et prenant leurs valeurs dans l'espace original de Tsirelson sera présentée. Cette inégalité de concentration sera utilisé pour réfuter la conjecture énonçant que l'espace séparable de Hilbert de dimension infinie se plonge grossièrement dans tout espace de Banach de dimension infinie. Cette question tient sa source dans les travaux de G. Yu, datant de la fin des années 90, sur la conjecture géométrique grossière de Novikov. Un résultat de rigidité au sujet de l'ensemble des modèles étalés des espaces de Banach qui se plongent grossièrement dans l'espace original de Tsirelson sera aussi abordé.

Travail en collaboration avec G. Lancien et Th. Schlumprecht
+ Wilson Cuellar The ergodicity of a class of Banach spaces 15/06/2017 14:00
The notion of ergodic Banach space was introduced by V. Ferenczi and C. Rosendal (2005) to study the classification of the relative complexity of the isomorphism relation between the subspaces of a separable Banach space.

In this talk we study a criterion for ergodicity based on the Enflo's criterion for the construction of spaces without the approximation property, which allow us to prove that a non-ergodic Banach space must be near-Hilbert. This reinforces the Ferenczi-Rosendal conjecture that $\ell_2$ is the only non ergodic Banach space.
+ Sergey Bobkov An extended Khinchine's theorem in Metric Theory of Diophantine approximations 08/06/2017 10:30
We will discuss how the convergence part of Khinchine's theorem in Metric Theory of Diophantine approximations may be extended to the class of product characteristic functions. This is applied to validate Edgeworth approximations in presence of typical noise.
+ Mohammad Daher Convexité faible dans les espaces d'interpolation 08/06/2017 14:00
+ Par Kurlberg Nodal length statistics for arithmetic random waves 01/06/2017 10:30
The Laplacian acting on the standard two dimensional torus has spectral multiplicities related to the number of ways an integer can be written as a sum of two integer squares. Using these multiplicities we can endow each eigenspace with a Gaussian probability measure. This induces a notion of a random eigenfunction (aka ``arithmetic random wave'') on the torus, and we study the statistics of the lengths of nodal sets (i.e., the zero set) of the eigenfunctions in the ``high energy limit''. In particular, we determine the variance for a generic sequence of energy levels, and also find that the variance can be different for certain ``degenerate'' subsequences; these degenerate subsequences are closely related to circles on which lattice points are very badly distributed. Time permitting we will discuss which probability measures on the unit circle that ``comes from'' lattice points on circles.
+ Vladimir Troitsky Unbounded convergences in vector and Banach lattices 18/05/2017 10:30
+ Frédéric Bayart Inégalités contractantes dans les espaces de Bergman et formes de Hankel multiplicatives 11/05/2017 10:30
+ Etienne Matheron Propriétés typiques des opérateurs hypercycliques 04/05/2017 10:30
+ Cécilia Lancien Matrices de corrélations aléatoires: quand sont-elles avec grande probabilité classiques ou quantiques ? 27/04/2017 10:30
Deux observateurs effectuant des mesures binaires sur des sous-parties d'un système global peuvent obtenir des résultats plus fortement corrélés lorsqu'ils partagent un état quantique intriqué que lorsqu'ils ne partagent que de l'aléa commun. Ce phénomène bien connu, dit de violation d'inégalités de Bell, peut précisément se caractériser mathématiquement. En effet, être une matrice de corrélations classique ou quantique correspond exactement à être dans la boule unité de certaines normes tensorielles sur certains espaces de Banach. Je commencerai par expliquer tout cela en détail. Ensuite, je m'intéresserai au problème suivant: étant donnée une matrice aléatoire de taille n, peut-on estimer la valeur typique de ses normes "classique" et "quantique", lorsque n devient grand? Pour une large classe de matrices aléatoires, la réponse est oui, et montre une séparation entre les deux valeurs. Ce résultat a pour corollaire que, dans une direction typique, les frontières des ensembles de corrélations classique et quantique ne se touchent pas.

Travail en collaboration avec C. Gonzalez-Guillen, C. Palazuelos, I. Villanueva. http://arxiv.org/abs/1607.04203
+ Alix Deruelle Expanders of the harmonic map flow 20/04/2017 10:30
Expanding self-similarities of a given evolution equation create an ambiguity in the continuation of the flow after it reached a first singularity. In this talk, we investigate the possibility of smoothing out any map from the n-sphere, n>1, to another sphere, that is homotopic to a constant by a self-similarity of the harmonic map flow. To do so, in the spirit of Chen-Struwe, we introduce a one-parameter family of Ginzburg-Landau equations that exhibit the same homogeneity and once the existence of expanders for this family is granted, we pass to the limit. We also study the singular set of such solutions as well as the uniqueness issue.
+ Brett Wick Riesz transform characterization of the Hardy space in the Bessel Setting and applications 30/03/2017 10:30
+ Vadim Gorin Global fluctuations of stochastic particle systems in asymptotic representation theory, free probability, and 2d statistical mechanics 23/03/2017 10:30
+ Djalil Chafai Concentration for Coulomb gases and Coulomb transport inequalities 16/03/2017 10:30
This talk will present a joint work arXiv:1610.00980 with Mylène Maïda and Adrien Hardy on the non-asymptotic behavior of Coulomb gases in dimension two and more. Such gases are modeled by an exchangeable Boltzmann?Gibbs measure with a singular two-body interaction. Such measures are neither product nor log-concave. We obtain concentration of measure inequalities for the empirical distribution of such gases around their equilibrium measure, with respect to bounded Lipschitz and Wasserstein distances. This implies macroscopic as well as mesoscopic convergence in such distances. In particular, we obtain for the first time a concentration inequality for the empirical spectral distribution of Ginibre random matrices. Our approach relies crucially on new inequalities between probability metrics, including Coulomb transport inequalities which can be of independent interest.«»
+ Hubert Klaja Image numérique de fonctions d'opérateurs 09/03/2017 10:30

Si $T$ est un opérateur linéaire agissant sur un espace de Hilbert complexe, alors pour toute fonction holomorphe dans un voisinage du spectre $\sigma(T)$ de $T$ on a que $\sigma(f(T)) = f(\sigma(T))$. Ce résultat cesse d'être vrai si l'on remplace le spectre par l'image numérique. Dans cet exposé, on donnera une nouvelle preuve d'un résultat de S.W. Drury qui permet de localiser l'image numérique de $f(T)$ lorsque $f$ appartient à l'algèbre du disque, puis nous généraliserons ce résultat pour des fonctions appartenant à l'algèbre d'un domaine simplement connexe du plan. Il s'agit d'un travail en commun avec J. Mashreghi et T. Ransford.
+ Guillaume Carlier On Wasserstein barycenters 02/03/2017 10:30
In this talk, I will describe some properties of Wasserstein barycenters, an extension of McCann's interpolation to more than two probability measures, that we introduced some years ago with M. Agueh. I'll also state a conjecture on the central limit theorem for this object and will prove it in some special cases.
+ Gilles Pisier Matrices unitaires aléatoires et Théorème de Jordan 23/02/2017 10:30
+ Ivan Marin Espaces classifiants de groupes et théorie de la mesure 23/02/2017 14:00
+ Anton Baranov Spectral synthesis for operators and systems 09/02/2017 10:30
Spectral synthesis is the possibility of a reconstruction of the whole lattice
of invariant subspaces of a linear operator from generalized eigenvectors.
A closely related problem is the reconstruction of a vector in a Hilbert space from its Fourier series with respect to some complete and minimal system. We discuss the spectral synthesis problem in the context of operator and function theory and present several recent advances in this area. Among them is the solution of the spectral synthesis problem for systems of exponentials on an interval as well as some results about the synthesis for phase-space shifts of the Gaussian on the line.
+ Gilles Godefroy La structure des espaces homogènes de fonctions continues fermés en norme $L^1$ 02/02/2017 10:30
+ Pavel Zatitskii Locally concave functions and sharp estimates of integral functionals 26/01/2017 10:30
+ Benoît Kloeckner La perturbation des opérateurs revisitée 19/01/2017 10:30
Si L_0 est un opérateur borné sur un espace de Banach possédant une valeur propre isolée, il est bien connu que pour M de petite norme, l'opérateur perturbé L_0+M a une valeur propre isolée et que toutes les données spectrales associées (valeur propre, direction propre, etc.) dépendent de façon analytique de M. Il semble moins connu que ce résultat se démontre très facilement à l'aide du théorème des fonctions implicites, et que l'on peut obtenir une borne explicite sur la taille admissible pour la norme de la perturbation M. Le but de l'exposé sera d'expliquer un approfondissement de cette approche qui permet d'obtenir des formules de Taylor avec restes effectifs pour toutes les données spectrales, à tout ordre. On mentionnera si le temps le permet des applications en probabilités et systèmes dynamiques.
+ Anna Erschler La presque invariance des probabilités de transition, les groupes quotients, et les sous-groupes l_p minces 12/01/2017 10:30
+ Pierre Youssef Trou spectral pour les graphes aléatoires uniformes dans le régime dense 05/01/2017 10:30
On note $\lambda$ la deuxième plus grande valeur propre en valeur absolue d’un graphe aléatoire $d$-régulier sur $n$-sommets suivant le modèle uniforme. Friedman a montré la conjecture d’Alon qui affirmait que lorsque le degré $d$ est une constante indépendante de $n$, alors $\lambda\leq 2\sqrtd-1 +o(1)$ avec probabilité qui tend vers $1$ avec $n$. Ceci signifie qu’il y a un écart avec la plus grande valeur propre qui est égale à $d$ et montre que les graphes $d$-réguliers uniformes sont presque Ramanujan.
Vu a conjecturé que cette borne reste valable pour tout $d\leq n/2$. Des avancées sur ce problème ont été réalisées par Broder, Frieze, Suen et Upfal qui ont montré que $\lambda \leq O(\sqrtd)$ pour tout $d\leq \sqrtn$. Le régime de $d$ a été étendu récemment à $d\leq n^2/3$ par Cook, Goldstein et Johnson. Nous complétons ces résultats en montrant que pour tout $\delta\in (0,1)$, on a $\lambda\leq O(\sqrtd)$ pour tout $n^\delta\leq d\leq n/2$. Ceci montre à constante près la conjecture faite par Vu.
Ce travail est en collaboration avec Konstantin Tikhomirov.
+ Jean-Yves Chemin Une description de l'espace des fréquences du groupe d’Heisenberg 15/12/2016 10:30
+ Gilles Godefroy Espaces non Hilbertiens dont la classe est borélienne 15/12/2016 14:00
+ Jean Saint-Raymond Points fixes et propriété duale de Kadec-Klee 01/12/2016 10:30
+ Serguey Astashkin Sparse Rademacher chaos in rearrangement invariant spaces 01/12/2016 14:00
+ Bo'az Klartag Convex geometry and waist inequalities 24/11/2016 10:30
+ Sergey Bobkov Central limit theorem without Cramer condition and Diophantine approximations 17/11/2016 10:30
+ Konstantin Fedorovskiy Density of polynomial modules of polyanalytic type in spaces of continuous and intergrable functions 10/11/2016 10:30
+ Omer Friedland Approximation des matrices et corps convexes par la solution de Kadison-Singer 03/11/2016 10:30
+ Aldéric Joulin Trou spectral et inégalités de type Brascamp-Lieb pour des opérateurs de diffusion 13/10/2016 10:30
Dans cet exposé, nous nous intéressons à l'estimation quantitative du trou spectral pour des opérateurs de diffusion du type $L = \Delta - \nabla V \nabla$, où $V$ est un bon potentiel sur $\mathbbR ^d$. Une des raisons principales motivant les probabilistes pour considérer cette question est que le trou spectral, à travers l'inégalité de Poincaré, fournit la vitesse optimale de convergence $L^2$ vers l'équilibre de la dynamique markovienne sous-jacente. Après un bref rappel du cas classique gaussien, nous verrons comment la notion d'entrelacement permet d'obtenir, dans le cas de certaines mesures invariantes log-concaves (et au-delà), des inégalités de type Brascamp-Lieb entraînant de nouvelles bornes inférieures sur le trou spectral.
Il s'agit d'un travail en collaboration avec M. Arnaudon et M. Bonnefont (Bordeaux).
+ Henrik Ueberschär Le billard de Seba et le modèle d'ondes aléatoires 06/10/2016 10:30
Le billard de Seba, un rectangle avec une masse de Dirac placée à l'intérieur, est un modèle populaire en chaos quantique pour modéliser la transition entre l'intégrabilité et le chaos dans des systèmes quantiques. Une conjecture de Seba propose que la distribution de valeurs des fonctions d'ondes est Gaussienne, une consequence du modèle d'ondes aléatoires proposé par Michael Berry pour modéliser des fonctions d'ondes des systèmes quantiques dont la dynamique classique est chaotique. Je vais expliquer pourquoi, dans le cas générique, cette conjecture est fausse. L'exposé porte sur un projet en cours avec Pär Kurberg (KTH, Stockholm).

+ Dorin Bucur Autour des inégalités isopérimetriques spectrales 23/06/2016 10:30
+ Dario Cordero-Erausquin Extensions de l’inégalité de Prékopa-Leindler par la méthode stochastique de C. Borell 16/06/2016 10:30
+ Yurii Belov Localization of the resonances for Schrödinger operators with L^2 potential 09/06/2016 10:30
+ Relâche 02/06/2016 10:30
+ Matthew Alexander A discrete version of Koldobsky's slicing inequality 26/05/2016 10:30
+ Relâche 19/05/2016 10:30
+ Christoph Kriegler Multiplicateurs spectraux a valeurs dans un treillis de Banach UMD 12/05/2016 10:30
+ Nikolai Nikolski Problèmes d'inversion bien ou mal posés dans certaines algèbres de convolution 14/04/2016 10:30
+ Tatiana Nagnibeda Actions de groupes, sous-décalages et théorie spectrale 07/04/2016 10:30
+ Matthias Gorny Un modèle d'Ising Curie-Weiss de criticalité auto-organisée 31/03/2016 10:30
Dans leur célèbre article de 1987, les physiciens Per Bak, Chao Tang et Kurt Wiesenfeld ont montré que certains systèmes complexes, composés d’un nombre important d’éléments en interaction dynamique, évoluent vers un état critique, sans intervention extérieure. Ce phénomène, appelé criticalité auto-organisée (self-organized criticality en anglais), peut être observé empiriquement ou simulé par ordinateur pour de nombreux modèles. Cependant leur analyse mathématique est très ardue. Même des modèles dont la définition est apparemment simple, comme les modèles décrivant la dynamique d’un tas de sable, ne sont pas bien compris mathématiquement. J’introduirai plus longuement cette notion dans la première partie de mon exposé. Dans une deuxième partie, je présenterai un modèle probabiliste de particules en interaction présentant un état critique : le modèle d’Ising Curie-Weiss. Je m'inspirerai de ce modèle pour construire un modèle « simple » présentant de la criticalité auto-organisée. J’appuierai cette construction par un théorème limite et je donnerai quelques heuristiques et techniques de preuve. Enfin je présenterai la version dynamique de ce modèle dans un cas particulier.
+ Alexander I. Bufetov Quasi-Symmetries of Determinantal Point Processes 24/03/2016 10:30
he classical De Finetti Theorem (1937) states that an exchangeable collection of random variables is a mixture of Bernoulli sequences. Markov measures with full support and, more generally, Gibbs measures, on the space of binary sequences
are easily seen to be quasi-invariant under the natural action of the infinite symmetric group.

The first result of the talk is that determinantal point processes on Z induced by integrable kernels are also quasi-invariant under the action of the infinite symmetric group. A key example is the discrete sine-process of Borodin, Okounkov and Olshanski.
The Radon-Nikodym derivative is a regularized multiplicative functional on the space of configurations.
The formula for the Radon-Nikodym derivative can be seen as the analogue of the Gibbs property for our processes.

The discrete sine-process is very different from a Gibbs measure: for example, the rigidity theorem of Ghosh and Peres shows that the number of particles in a bounded interval is almost surely determined by the configuration outseide the interval.
The quasi-invariance can then informally be understood as the statement that there are no other invariants except the number of particles.

The second result is a continuous counterpart of the first: namely, it is proved that determinantal point processes with integrable kernels on R, a class that includes processes arising in random matrix theory such as Dyson's sine-process, or the processes with the Bessel kernel or the Airy kernel studied by Tracy and Widom, are quasi-invariant under the action of the group of diffeomorphisms of the line with compact support (rigidity for the sine-process has been established by Ghosh, for the Airy and the Bessel by the speaker).

While no analogues of these results in higher dimensions are known, in joint work with Yanqi Qiu it is shown that for determinantal point processes corresponding to Hilbert spaces of holomorphic functions on the complex plane C
or on the unit disk D, the quasi-invariance under the action of the group of diffeomorphisms with compact support also holds.

Quasi-symmetry theorems have an analogue also for determinantal point processes governed by J-Hermitian kernels, such as, for example, the Whittaker kernel: in joint work with Yanqi Qiu it is shown that adding a particle in one half of the phase space is equivalent to removing a particle in the other half. This can be seen as a manifestation, in the continuous case, of particle-hole duality.
+ Yanqi Qiu Classification des mesures ergodiques sur les matrices p-adiques de taille infinie 17/03/2016 10:30

L'exposé seras basé sur un travail récent avec Alexander Bufetov. Dans ce exposé, je vais parler de la classification des mesures ergodiques sur l'espace $M(\mathbbN,\mathbbQ_p)$ des matrices $p$-adiques infinies par rapport à l'action naturelle du groupe $\mathrmGL(\infty, \mathbbZ_p) \times \mathrmGL(\infty,\mathbbZ_p)$ . La méthode qu'on avait utilisée est essentiellement une méthode assez générale développée par Kerov, Olshanski et Vershik. Dans notre cas, on utilise en particulier les matrices aléatoires de coefficients $p$-aidques.
+ Isabelle Chalendar Semiflots analytiques et Semigroupes d'opérateurs associés 10/03/2016 10:30
+ Relâche 03/03/2016 10:30
+ Relâche 25/02/2016 10:30
+ Olivier Guédon Quelques problèmes liés à des matrices aléatoires : sélection de caractères, propriété d'isométrie restreinte, normes 18/02/2016 10:30
+ Frédéric Bayart Opérateurs de composition sur des espaces de séries de Dirichlet 11/02/2016 10:30
+ Gilles Pisier Sur les ensembles de Sidon dans les systèmes orthonormés uniformément bornés 04/02/2016 10:30
+ Alain Plagne Ensembles de Sidon 28/01/2016 10:30
+ Emmanuel Fricain Propriété d’approximation par les dilatés dans certains espaces de fonctions analytiques 21/01/2016 10:30
+ Relâche 14/01/2016 10:30
+ Gilles Pisier Sur les inégalités de Khintchine non commutatives pour p<1 07/01/2016 10:30
+ Laurent Desvillettes Lemmes de dualité précisés et applications 17/12/2015 10:30
Les lemmes de dualité, issues en particulier des travaux de M. Pierre et D. Schmitt, permettent d'extraire de manière surprenante de la régularité à partir d'EDP paraboliques à coefficients singuliers. On présente une amélioration récente de ces lemmes issue d'un travail en collaboration avec J. Canizo et K. Fellner, et de discussions avec F. Otto. cette amélioration permet de résoudre des problèmes d'existence de solutions fortes dans des systèmes d'EDP de réaction-diffusion emblématiques.
+ Yuri Tomilov On functional calculi, subordination and related matters 10/12/2015 10:30

Roughly, given a semigroup of probability measures $ \mu=(\mu_t)_t \ge 0 $ and a semigroup of bounded operators $T=(T_t)_t \ge 0$ on a Banach space $X$, subordination provides a natural recipe to associate to them a new operator semigroup $T^\mu=(T^\mu_t)_t \ge 0$
on $X$ called a subordinated semigroup. Being an established subject of functional analysis, subordinated semigroups are of importance in e.g. probability and ergodic theories.

We will present solutions of several long-standing problems pertaining to the subordination of operator semigroups. The corresponding discrete analogues will also be discussed. Our arguments are based on the interplay between several functional calculi and certain function-theoretical estimates.

If time permits, we will explain how a telegram from Besicovitch to Littlewood enters the picture and produces an answer to a question of Erdös et al. originating from the discrete considerations.
+ Richard Lechner Factorization through operators with large diagonal 03/12/2015 10:30
Given a Banach space~$X$ with an unconditional basis, we consider the following question: does the identity on~$X$ factor through every bounded operator on~$X$ with large diagonal relative to the unconditional basis? We show that on Gowers' space with its unconditional basis there exists an operator for which the answer to the question is negative. By contrast, for any operator on the mixed-norm Hardy spaces $H^p(H^q)$, where $1 \leq p,q < \infty$, with the bi-parameter Haar system, this problem always has a positive solution. The one-parameter $H^p$ spaces were treated first by Andrew in $1979$.
+ Filippo Santambrogio Régularité par dualité 26/11/2015 10:30
Je vais présenter une technique pour démontrer des résultats de régularité pour les solutions de certains problèmes variationnels en dualité (et pour les équations d'Euler-Lagrange correspondantes) qu'on a trouvé cachée dans des travaux de Y.Brenier sur Euler incompressible. Quand on a un problème de minimisation $ \min( A(u), u\in X)$ avec son dual $\max(-B(\phi), \phi\in Y)$, et des optimiseurs $u_0 $ et $\phi_0$, on peut "tester" la relation primal-dual sur des translations $u_h:=u_0(x+h)$ du profil optimal $u_0$. Cela donne des estimations sur $\| u_h-u_0\|$, c-à-d on trouve de la régularité Sobolev pour $u_0$. Je vais montrer des exemples concrets, en commençant par l'équation de Poisson $\Delta u=f$, et ensuite en passant par des problèmes plus dégénérés, de type $p$-Laplacien, pour finir avec des problèmes en espace-temps, en lien avec les jeux à champs moyen, la mécanique des fluides, et le transport optimal.
La technique n'est pas optimale du tout, et ne donne que des résultats très faibles (typiquement $H^1$), mais a l'avantage de marcher sous des hypothèses très faibles et d'être très simple.
+ Ivan Gentil Inégalité de type Harnack parabolique dans une variété Riemannienne à courbure minorée 19/11/2015 10:30
On va généraliser l’inégalité classique de Li-Yau pour une variété Riemannienne à courbure minorée. Cette inégalité est à la base des inégalités de Harnack.
+ Quanhua Xu Une inégalité de martingales non commutatives 12/11/2015 10:30
+ Pierre Youssef Marches aléatoires à temps discret et théorème "d'évasion" de Gordon 05/11/2015 10:30
+ Relâche Conférence "Convexity, probability and discrete structures, a geometric view point" (26-30 octobre) 29/10/2015 10:30
+ Joseph Lehec Régularisation dans $L^1$ pour le semi-groupe d'Ornstein-Uhlenbeck. 22/10/2015 10:30
Il est bien connu que le semi-groupe d'Ornstein-Uhlenbeck est hypercontractif: si $f$ est dans $L^p$ pour un certain $p>1$ alors $P_t f$ est dans $L^q$ pour un certain $q>p$. On établira une propriété de même nature en supposant seulement $f$ dans $L^1$.
+ Sasha Litvak Invertibility of adjacency matrices of random digraphs 15/10/2015 10:30
+ Frédéric Klopp Particules quantiques uni-dimensionnelles en interaction dans un champ aléatoire 08/10/2015 10:30
Considérons $N$ particules quantiques dans l'intervalle $[0,L]$ soumises à un potentiel aléatoire. On suppose que ces particules interagissent de façon répulsive. Dans la limite thermodynamique ($L$ et $N$ grand tels que $N/L\to\rho$, $\rho>0$), on décrira l'énergie fondamentale et de l'état fondamental du système quand $\rho$ est suffisamment petit.