Dans cet exposé, je présenterai des résultats récents concernant des inégalités fonctionnelles et géométriques associées aux lois alpha-stables non-dégénérées et symétriques dont le paramètre de stabilité est strictement compris entre 1 et 2. Ces inégalités reposent sur des formules de représentation de type Bismut et sur des outils de théorie du potentiel. En particulier, elles mettent en avant une extension fractionnaire, non-locale et anisotrope de l'opérateur de gradient classique. Des versions optimales de ces inégalités seront également présentées.
Ces résultats sont issus de travaux en collaboration avec Christian Houdré. | 
