Séminaires :
Séminaire d'Analyse Fonctionnelle
Equipe(s) :
af,
Responsables :
E. Abakoumov - A.Eskenazis - D. Cordero-Erausquin - M. Fathi - O. Guédon - B. Maurey
Email des responsables :
Salle :
salle 13 - couloir 15-16 - 4ème étage
Adresse :
Campus Pierre et Marie Curie
Description
Le Jeudi à 10h30 - IMJ-PRG - 4 place Jussieu - 75005 PARIS
Lien vers les archives des années antérieures à 2015
Orateur(s)
Rachid Zarouf - Marseille,
Titre
Une approche constructive de la conjecture de Schäffer
Date
16/11/2017
Horaire
10:30 à 11:30
Diffusion
Résume
Schäffer a prouvé en 1970 que pour toute norme matricielle induite et toute matrice $n\times n$ inversible $T=T(n)$, l'inégalité
$
\left|\det T\right|\left\Vert T^
-1
\right\Vert \leq\mathcal
S
\left\Vert T\right\Vert ^
n-1
$
est vérifiée avec $\mathcal
S
=\mathcal
S
(n)\leq\sqrt
en
$. Il a conjecturé que le meilleur $\mathcal S$ était en fait borné. Ceci a été réfuté par Gluskin-Meyer-Pajor et les contributions ultérieures de J. Bourgain et H. Queffelec qui ont successivement amélioré les minorations correspondantes de $\mathcal
S
$, s'appuyant sur une inégalité de Bourgain. La construction de contre-exemples explicites réfutant cette conjecture reste ouverte depuis 22 ans, l'inégalité de Bourgain reliant cette question à la théorie des sommes de puissances de nombres complexes et à certains problèmes de P. Turán. Nous démontrons une analogue de l'inégalité de Bourgain nous conduisant à la construction des premiers contre-exemples explicites réfutant la conjecture de Schäffer. Il s'agit d'une suite explicite de matrices $n\times n$ de Toeplitz de spectre fixe et arbitraire $\
\lambda\
\subset\mathbb
D
-\
0\
$ satisfaisant $\cS\geq c(\lambda)\sqrt
n
$.
Un élément clé de notre approche sera d'étudier les normes $l_
p
$ des coefficients de Fourier de la puissance $n$-ième d'un automorphisme du disque unité, sujet initié par J-P. Kahane.
En cours de route, nous déterminons sur l'intervalle $]-1,1[$, le comportement asymptotique des polynômes de Jacobi dont le premier paramètre varie, sujet initié par G. Darboux.
Salle
salle 13 - couloir 15-16 - 4ème étage
Adresse
Campus Pierre et Marie Curie
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