Séminaires : Séminaire d'Analyse Fonctionnelle

Equipe(s) : af,
Responsables :E. Abakoumov - D. Cordero-Erausquin - G. Godefroy - O. Guédon - B. Maurey - G.Pisier
Email des responsables :
Salle : salle 13 - couloir 15-16 - 4ème étage
Adresse :Campus Pierre et Marie Curie
Description
Le Jeudi à 10h30 -  IMJ-PRG - 4 place Jussieu - 75005 PARIS

Orateur(s) Rachid Zarouf - Marseille,
Titre Une approche constructive de la conjecture de Schäffer
Date16/11/2017
Horaire10:30 à 11:30
RésumeSchäffer a prouvé en 1970 que pour toute norme matricielle induite et toute matrice $n\times n$ inversible $T=T(n)$, l'inégalité
$
\left|\det T\right|\left\Vert T^-1\right\Vert \leq\mathcalS\left\Vert T\right\Vert ^n-1
$
est vérifiée avec $\mathcalS=\mathcalS(n)\leq\sqrten$. Il a conjecturé que le meilleur $\mathcal S$ était en fait borné. Ceci a été réfuté par Gluskin-Meyer-Pajor et les contributions ultérieures de J. Bourgain et H. Queffelec qui ont successivement amélioré les minorations correspondantes de $\mathcalS$, s'appuyant sur une inégalité de Bourgain. La construction de contre-exemples explicites réfutant cette conjecture reste ouverte depuis 22 ans, l'inégalité de Bourgain reliant cette question à la théorie des sommes de puissances de nombres complexes et à certains problèmes de P. Turán. Nous démontrons une analogue de l'inégalité de Bourgain nous conduisant à la construction des premiers contre-exemples explicites réfutant la conjecture de Schäffer. Il s'agit d'une suite explicite de matrices $n\times n$ de Toeplitz de spectre fixe et arbitraire $\\lambda\\subset\mathbbD-\0\$ satisfaisant $\cS\geq c(\lambda)\sqrtn$.

Un élément clé de notre approche sera d'étudier les normes $l_p$ des coefficients de Fourier de la puissance $n$-ième d'un automorphisme du disque unité, sujet initié par J-P. Kahane.

En cours de route, nous déterminons sur l'intervalle $]-1,1[$, le comportement asymptotique des polynômes de Jacobi dont le premier paramètre varie, sujet initié par G. Darboux.
Sallesalle 13 - couloir 15-16 - 4ème étage
AdresseCampus Pierre et Marie Curie
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