Séminaires : Séminaire d'Analyse Fonctionnelle

Le théorème de contraction de Caffarelli assure le caractère Lipschitz du transport optimal entre une gaussienne et une mesure à log-densité fortement concave. En 2022 Chewi et Pooladian ont proposé une preuve de ce théorème utilisant la version entropique du transport optimal. Nous proposons ici une extension de ces deux résultats qui se fonde sur l'inégalité de Prekopa-Leindler. L'utilisation de l'inégalité de Prekopa-Leindler permet de relâcher les hypothèses de régularité sur les log-densité et d'introduire une anisotropie. Nous en déduisons des résultats de régularité et de croissance pour le transport optimal lorsque la cible est log-concave. Enfin nous retrouvons le résultat récent de Shenfeld et De Philippis portant sur la trace de la dérivée du transport optimal lorsque la mesure initiale est log-sous harmonique.