| Résume | On sait depuis les travaux de Baily-Borel-Mok que tout quotient de la boule par un réseau (discret, de covolume fini) admet une structure de variété quasi-projective. Les compactifications minimales de ces objets sont des variétés à fibré canonique ample obtenues en ajoutant un nombre fini de points au bord ; ces points donnent alors lieu à des singularités canoniques. On peut naturellement se demander s’il est possible de caractériser algébriquement les variétés ainsi obtenues : étant donnée une variété à fibré canonique ample et singularités log-canoniques, quand peut-on trouver un ouvert de Zariski qui est uniformisable par la boule ? La question est ainsi de généraliser au cas log-canonique plusieurs résultats récents, traitant de situations klt ou orbifoldes (Greb-Kebekus-Peternell-Taji, Dang, Claudon-Guenancia-Graf...).
Je présenterai un énoncé d’uniformisation valide dans ce cadre, sous une hypothèse un peu plus forte sur les singularités. Comme c’est souvent le cas dans cette théorie, le critère sera formulé en terme du cas d’égalité dans une inégalité de Miyaoka-Yau. On verra que l’hypothèse de log-canonicité est essentielle pour éviter une classe de non-examples constructibles à partir du travail de Deligne-Mostow-Siu, Deraux, Stover-Toledo... Cette hypothèse sera en fait utilisée par le biais d’un résultat d’intérêt indépendant, sur le caractère "connexe par chaînes de variétés spéciales" (au sens de Campana) des fibres de résolutions de singularités log-canoniques. |
