| Résume | Une métrique hermitienne sur un fibré vectoriel holomorphe est dite de Hermite-Einstein si sa courbure moyenne est proportionnelle à l’identité. La correspondance de Kobayashi-Hitchin (ou le théorème de Donaldson-Uhlenbeck-Yau) affirme qu’un fibré vectoriel holomorphe admet une métrique de Hermite-Einstein si et seulement s’il satisfait la condition
algébrique de polystabilité.
Dans cet exposé, je présenterai une extension récente de la correspondance de Kobayashi-Hitchin aux fibrations générales au-delà des fibrés vectoriels holomorphes. Plus précisément, pour une famille polarisée de variétés projectives complexes, nous étudions l’équation dite de Wess-Zumino-Witten (WZW) qui se spécialise en l’équation de Hermite-Einstein lorsque la fibration polarisée est associée à la projectivisation dun fibré vectoriel holomorphe. Nous établissons que l’existence de solutions approximées à cette équation est équivalente à la semi-stabilité asymptotique des faisceaux d’image directe
associés aux grandes puissances tensorielles du fibré en droites polarisant. Nous discuterons également d’un lien entre ce résultat et la conjecture de Demailly concernant l'optimalité des inégalités de Morse holomorphes |
