| Résume | Le problème de l'existence de variétés isospectrales (c'est-à-dire qui ont le même spectre pour l'opérateur de Laplace) a été popularisé dans les années 60 par Mark Kac sous la forme "Peut-on entendre la forme d'un tambour ?". Une construction de telles variétés en toute dimension au moins 2 a été proposée dans les années 70 par Marie-France Vignéras en utilisant des groupes d'unités d'algèbres de quaternions et la formule des traces de Selberg.
Je présenterai un travail en commun avec Alex Bartel dans lequel nous proposons une nouvelle approche pour étudier les variétés de Vignéras. Combinée à des théorèmes classiques sur les représentations automorphes, elle permet d'obtenir des critères plus fins distinguant des variantes de l'isospectralité (i-isospectralité, équivalence en représentations) et ainsi d'exhiber des exemples inattendus. Elle permet également d'analyser la torsion dans l'homologie et les régulateurs de ces variétés en exploitant le lien, partiellement conjectural, avec les représentations galoisiennes. |
