Séminaires : Séminaire Groupes Réductifs et Formes Automorphes

We formulate a new version of the local Langlands correspondence for discrete L-parameters which involves (Weyl orbits of) packets of representations of all twisted Levi subgroups of a connected reductive group G through which a given parameter factors and prove that this version of the correspondence is true if one assumes the pre-existing local Langlands conjectures. Twisted Levi subgroups are crucial objects in the study of supercuspidal representations; this work is a step towards deepening the relationship between the representation theory of p-adic groups and the Langlands correspondence. This talk will also serve as a rough introduction to the refined local Langlands correspondence (and its generalizations). This is joint work with David Schwein.

Soient R un anneau local géométriquement régulier sur un corps k et
G un k-groupe lisse. Avec Alexis Bouthier et Kestutis Cesnavicius, on
démontre la version suivante de la conjecture de Grothendieck-Serre:
tout G_R-torseur génériquement trivial est trivial.
Ceci est connu si k est parfait ou si G est réductif. Pour la preuve, on se réduit
aisément au cas où G est quasi-réductif. On généralise ensuite au
cas quasi-réductif des théorèmes bien connus dans le cas réductif:
extensions de torseurs en codimension 2 (à la Hartogs), ind-proprété
de la grassmannienne affine, décompositions de Cartan et Birkhoff, et
classification des torseurs sur P^1_k.

Au début des années 2000, des travaux pionniers de Braverman et Finkelberg ont entrepris l'étude de la grassmannienne affine d'un groupe de Kac-Moody ou grassmannienne affine double, avec pour objectif d'établir une correspondance de Satake géométrique pour celle-ci. Pour contourner la nature hautement infinie d'un tel objet, ils ont introduit des remplacements de dimension finie censés calculer la cohomologie d'un hypothétique complexe d'intersection et qui donnent des morceaux de cette équivalence. Malgré quelques progrès partiels en type A, une telle approche reste largement conjecturale.
Le but de cet exposé, dans un travail en commun avec E. Vasserot, est d'étudier directement la géométrie de cette grassmannienne double, aussi infinie soit-elle et de généraliser les outils usuels pour la grassmannienne affine classique au cas double.

https://webusers.imj-prg.fr/~farrell.brumley/workshop-2024.html

Dans cet exposé j'expliquerai comment, suivant Gaitsgory, on peut
définir une catégorie de faisceaux sur la variété de drapeaux affine
d'un groupe réductif qu'on peut considérer comme un modèle pour une
catégorie de faisceaux sur la variété de drapeaux affine
semi-infinie. Suivant des prédictions de Finkelberg-Mirkovic cette
catégorie fournit un modèle géométrique pour une catégorie de
représentations de l'algèbre de Lie du groupe Langlands dual, mais pas
exactement celle prévue par ces auteurs. J'expliquerai également le
lien avec le calcul du complexe de cohomologie d'intersection de la
compactification de Drinfeld du champs des torseurs pour un sous-groupe
de Borel. Ces résultats sont issus d'un travail en cours avec Pramod
Achar et Gurbir Dhillon.

In the geometric Langlands program, the Fundamental Local Equivalence (FLE) relates the Kazhdan--Lusztig category attached to a reductive group with the space of opers for the Langlands dual group. I will explain this equivalence and the role it plays in the proof. This is joint work with Arinkin, Campbell, Chen, Faergeman, Gaitsgory, Lin, Raskin, Rozenblyum.

A classical question asks: consider the set of elliptic curves $E/Q$ with conductor less than or equal to $n$. Do the root numbers of the corresponding $L$-functions $L(s,E)$ equidistribute between $\pm 1$ as $n \to \infty$? Assuming the BSD conjecture, this determines which fraction of elliptic curves have even or odd-rank groups of rational points. 

We discuss an automorphic-side variant of this question generalized to higher rank. Specifically, consider the set of self-dual cuspidal automorphic representations on GL_n with specific weight at infinity and conductor. We show that for most conductors, the root numbers of the corresponding $L$-functions equidistribute between $\pm 1$ as the weight goes to infinity and exactly classify the conductors for which such equidistribution doesn't hold. We also prove similar results in the conjugate self-dual setting and for the corresponding families of Galois representations whenever they are known to exist. 

The conservation relation of the theta correspondence, which was proved
by Sun-Zhu, gives useful bounds on the first occurrence of non-vanishing
theta-lifts. In this talk, we will present a new proof by answering a
conjecture of Kudla and Rallis on the multiplicity of certain
irreducible quotients of degenerate principle series of symplectic
groups. This is achieved mainly by studying the Jacquet-modules of the
global sections of a line bundle on a symplectic Grassmannian.

Motivated by ideas in quantum chaos, there has been a lot of work studying sup-norms of automorphic forms. In this talk we will focus on Hecke-Maass forms on certain locally symmetric spaces of SL(n). I will present some new upper bounds on the sup-norms of such forms that are uniform in the volume of the space (or the level). Part of the work involves understanding Hecke congruence subgroups in higher rank and developing a version of reduction theory, in the sense of the geometry of numbers, with level structure.

Pro-étale cohomology of rigid-analytic varieties over the p-adic complex numbers has surprising features, which can be explained by calculating the pro-étale cohomology via quasi-coherent sheaves on the Fargues-Fontaine curve. In this talk I want to explain the recent construction of a 6-functor formalism with values in quasi-coherent sheaves on the Fargues-Fontaine curve, and to discuss some of its properties. This is joint work with Arthur-César Le Bras and Lucas Mann.

Dans cet exposé, j'expliquerai dans le cas le plus simple
(champ de chtoucas à une patte), pourquoi les cycles proches commutent
avec l'image directe à supports propres (même si les champs de
chtoucas ne sont pas propres en général), pour le faisceau qui indique
le niveau. Je parlerai aussi de l'énoncé général et du lien avec la
compatibilité local-global.

Il s'agit d'un travail en commun avec Arnaud Eteve.

We prove the modularity of a positive proportion of abelian surfaces over the rationals. A key ingredient is recent advances in p-adic Eichler-Shimura theory due to Pan, and further developed by Rodríguez Camargo. This is joint work with Calegari, Gee, and Pilloni.

In analogy to the complex Corlette-Simpson correspondence, p-adic non-abelian Hodge theory studies p-adic representations of fundamental groups of smooth projective varieties with the methods of p-adic Hodge theory. In this talk, I will first explain how v-vector bundles arise naturally in this context, and how we can relate these to Higgs bundles via the p-adic Simpson correspondence. I will then sketch how in joint work with Daxin Xu, we interpret the correspondence more geometrically as a twisted isomorphism between the moduli stacks of either side.

Un célèbre théorème de Duke établit l'équirépartition de points CM de grand discriminant fondamental sur la courbe modulaire. Ce résultat, et son extension aux discriminants non fondamentaux par Clozel--Ullmo, a été partiellement généralisé au cas des tores anisotropes dans GL3 par Einsiedler, Lindenstrauss, Michel et Venkatesh (ELMV). par un mariage de méthodes ergodiques et automorphes. Dans un travail en cours avec Jasmin Matz, nous avons pu adapter les méthodes d'ELMV au cas de GSp4, sous une condition de croissance de discriminants relatifs. Nous expliquerons notre preuve, et, si le temps le permet, nous évoquerons des ouvertures futures.

This is the first in a series of talks describing the recent
proof of the geometric Langlands conjecture (global, unramified, in
characteristic 0) for general split reductive groups. We will begin by
describing some of the setup (definitions of the most important objects)
and then turn to the proof that the tempered geometric Langlands functor
is conservative (which we proved jointly with Faergeman).

This overall series of talks will describe work that is joint with
Arinkin, Beraldo, Campbell, Chen, Faergeman, Gaitsgory, Lin, and
Rozenblyum.

Nous expliquerons comment on peut, dans certains cas, obtenir une factorisation du module au carré de certaines périodes de séries d'Eisenstein sur les groupes unitaires U(n)xU(n+1) en termes d'un rapport de fonctions L et d'invariants locaux. En soi c'est une généralisation des conjectures de Gan-Gross-Prasad et d'Ichino-Ikeda qui portaient sur les périodes des formes automorphes cuspidales. En fait, notre formule implique aussi une variante de ces conjectures pour les  périodes de Bessel des formes automorphes cuspidales sur les groupes unitaires U(n)xU(n+1+2r). (Travail en commun avec Raphaël Beuzart-Plessis).

Associated to a modular form f is a two-dimensional Galois representation whose Frobenius eigenvalues can be expressed in terms of the Fourier coefficients of f, using a formula known as the Eichler--Shimura congruence relation. This relation was proved by Eichler--Shimura and Deligne by analyzing the mod p (bad) reduction of the modular curve of level Γ0(p). In this talk, I will discuss joint work with Patrick Daniels, Dongryul Kim and Mingjia Zhang, where we give a new proof of this congruence relation that happens "entirely on the generic fibre". More precisely, we prove a compatibility result between the compactly supported cohomology of Shimura varieties of Hodge type and the Fargues—Scholze semisimple local Langlands correspondence, using Igusa stacks that we construct.

Dans sa correspondance avec Serre (1960), et plus tard
avec Breen (1975), Grothendieck introduit la notion de jacobiennes locales généralisées pour des variétés lisses, et leurs liens avec la cohomologie à coefficients dans des groupes algébriques. Le but de cet exposé est de repenser cette notion dans le cadre des champs algébriques supérieurs. J'expliquerai comment retrouver la construction
originale de Grothendieck comme solution à un problème universel, et
je discuterai d'une généralisation possible à des schémas généraux.

Supercuspidal representations are the elementary particles in the representation theory of reductive p-adic groups. Constructing such representations explicitly, via (compact) induction, is a longstanding open problem, solved when p is large. When p is small, the remaining supercuspidals are expected to have an arithmetic source: wildly ramified field extensions. In this talk I’ll discuss ongoing work joint with Jessica Fintzen that identifies a second, Lie-theoretic, source of new (tame!) supercuspidals: special features of root systems at very small primes.

J’expliquerai une construction nouvelle reliant le centre du petit groupe quantique de Lusztig 
a la cohomologie de fibres de Springer affines homogenes non ramifiees. 
En type non A cette construction donne une conjecture, avec des formules de dimension,reliant  certaines sous-algebres d’invariants du centre et des fibres de Springer. En type A elle donne une preuve d’une conjecture de Lachowska-Qi 
reliant le centre aux invariants diagonaux étudiés par Haiman.

Récemment, Fargues-Scholze et bien d'autres personnes ont
réalisé qu'il devrait y avoir une version catégorique qui encode de
nombreuses informations sur la correspondance de Langlands locale. Dans
cet exposé, j'expliquerai les relations entre la correspondance de
Langlands locale et leur conjecture puis je parlerai des idées pour
montrer quelques parties de leur conjectures pour GLn.

Soit $G$ un groupe réductif connexe sur $\mathbb{Q}_p$ et $\mathcal{I}$ un modèle d'Iwahori de $G$ au-dessus de $\mathbb{Z}_p$. On étudie le foncteur des cycles proches pour le champ de Hecke \mathrm{Hk}_{\mathcal{I}} et démontre que celui-ci est central et qu'il est pervers t-exact. Pour la preuve de la perversité, on ne dispose plus de l'annulation d'Artin et donc on exploite des propriétés combinatoires des faisceaux de Wakimoto. À la suite de Arkhipov--Bezrukavnikov, on prolonge le domain du foncteur central à la catégorie des faisceaux cohérents sur le champ quotient de la résolution de Springer du cône nilpotent du groupe dual. Lorsque $G=\mathrm{GL}_n$, on explique comment en déduire une équivalence entre catégorie de faisceaux cohérents et celle des faisceaux étales sur le champ d'Iwahori--Whittaker. Il s'agit d'un travail en commun avec J. Anschütz, Z. Wu, et J. Yu.

Les espaces de Berkovich sont souvent présentés comme des espaces analytiques sur un corps ultramétrique, mais leur définition permet en réalité de prendre pour base un anneau de Banach arbitraire, par exemple Z muni de la valeur absolue usuelle. Dans ce dernier cas, les espaces de Berkovich se présentent comme des fibrations contenant des espaces analytiques complexes (à conjugaison près), mais aussi des espaces analytiques p-adiques, pour tout nombre premier p. Après avoir introduit les espaces de Berkovich sur Z, nous montrerons qu'ils fournissent un cadre conceptuel pertinent pour étudier des familles de mesures de natures variées, et permettent notamment d'observer des phénomènes de convergence de l'archimédien vers l'ultramétrique. Nous traiterons deux familles d'exemples : celle des mesures d'équilibre associées à des systèmes dynamiques sur P^1 (qui permet d'étudier les points prépériodiques communs à deux systèmes dynamiques sur un corps de nombres) et celle des mesures canoniques associées à des surfaces de Riemann (et leur variante ultramétrique). La dernière partie est tirée d'un travail en cours avec Robert Wilms.

L'équivalence géométrique de Satake, due à Mirkovic et Vilonen, est une équivalence entre la categorie des faisceaux pervers sur la Grassmannienne affine Gr_G, pour un groupe déployé G, et des représentations du groupe dual de Langlands \hat G. Dans cet exposé, je parle d'un travail récent, en commun avec Robert Cass et Thibaud van den Hove, dans lequel on raffine cette équivalence au niveau des motifs de Tate mixte.

L'exposé porte sur la question suivante : pour les groupes réductifs réels, la correspondance de Langlands locale encode-t-elle de manière simple la restriction des représentations à un sous-groupe compact maximal ? Je décrirai un lien entre les K-types minimaux d’une représentation irréductible admissible irréductible et « ses » paramètres de Langlands. Pour formuler le résultat,  il faut utiliser la structure interne des paquets de Langlands, décrite par Shelstad ou Adams—Barbasch—Vogan en termes du groupe des composantes du centralisateur de l’image d’un paramètre.

Travail commun avec Jeffrey Adams.

Moduli stacks of global $G$-Shtukas play an important role in the global Langlands program over function fields. They were used in the proof of the function field global Langlands conjecture by Drinfeld, Lafforgue etc. In this talk, I will speak on my joint work with Yujie Xu, where we show that the moduli spaces of suitably bounded global $G$-Shtukas with colliding legs satisfy a $p$-adic uniformization isomorphism by Rapoport-Zink spaces. If time permits, I will mention some applications (e.g. to the Langlands-Rapoport conjecture over function field).

I will describe the construction of a “square root” anticyclotomic p-adic L-function for symplectic type automorphic representations of the unitary group U(1, 2n-1). This can be seen as a higher dimensional generalisation of the work of Bertolini–Darmon–Prasanna, and one of the main ingredients is the p-adic iteration of Maass–Shimura operators in higher degrees of coherent cohomology. If time permits, I will describe the expected relation with Euler systems outside the region of interpolation.

In the last decade, different authors have broadened the theory of p-adic L-functions and diagonal cycles for triple products of GL(2), and have established the so-called explicit reciprocity law relating both objects. After the development of higher Hida and Coleman theory by Pilloni and his coauthors, Loeffler and Zerbes proposed a systematic approach to emulate the GL(2) theory within the framework of GSp(4) x GL(2) and GSp(4) x GL(2) x GL(2). In this richer situation, one expects to obtain different kinds of p-adic L-functions and Euler systems. The objective of this presentation is to provide an overview of the general landscape and to delve into specific contributions related to the construction of one of the p-adic L-functions. This is based on joint work with David Loeffler.

La théorie de la dualité de Grothendieck pour les schémas repose sur la notion de complexe dualisant. Pour les algèbres non-commutatives, la notion de complexe dualisant a été développée dans les années 90, notamment par les travaux de Yekutieli. Un tel complexe n'étant pas unique, Van der Bergh a introduit le concept de complexe dualisant rigide.


Nous explorons ces notions dans le cadre d'une algèbre de Hecke affine H. Nous calculons le complexe dualisant rigide de H et en tirons des corollaires sur la structure de H comme algèbre sur son centre.

Travail en commun avec Sabin Cautis.

Fargues and Scholze conjecture a Hecke-equivariant equivalence of categories between certain coherent sheaves on the stack of Langlands parameters and compact objects in the category of lisse-etale sheaves on Bun_G. We will discuss how to prove this conjecture for irreducible parameters for GL_n, with integral coefficients. It turns out that this needs surprisingly little knowledge about the spaces involved, the non-formal input is the cardinality of the Fargues-Scholze L-packets and genericity of their members. The formal input is about localizations of categories over schemes, which we will discuss. If time permits we will also discuss the t-exactness of this equivalence.

We will explain a surprising relationship between the contributions to cohomology of automorphic forms and higher algebraic cycles. We will focus on three examples:
(1) Hilbert modular forms: we conjecture that the cohomology associated with weight one Hilbert modular forms is related to Stark units for the associated Artin representation.
(2) Bianchi modular forms: Kartik Prasanna and Akshay Venkatesh conjecturally relate the cohomology certain arithmetic groups to higher algebraic cycles on a product of elliptic curves over imaginary quadratic fields.
(3) Siegel modular forms: in recent work with Kartik Prasanna, we conjecture that the cohomology associated with weight two Siegel modular forms is related to higher algebraic cycles on a product of abelian surfaces over Q.
We will discuss some evidence to support these conjectures.

Dans certains cas, des congruences entre formes automorphes donnent lieu à congruences entre les (éléments zêta liés aux) valeurs spéciales des fonctions L associées. Je décrirai un exemple de ce phénomène dans le cas des formes de Hilbert, mettant en évidence le rôle joué dans la preuve par la fonctorialité de Jacquet-Langlands géométrique et par le lemme de Ihara. Ensuite, je donnerai une démonstration de ce lemme pour les variétés de Shimura quaternioniques (travail en cours en commun avec Caraiani).

Le Lemme fondamental et le lemme fondamental arithmétique pour l'élement unité de l'algèbre de Hecke d'un groupe unitaire sont des théorèmes récents (dus à  Z. Yun, W. Zhang, R. Beuzart-Plessis, resp. à W. Zhang, A.Mihatsch/W. Zhang, Z. Zhang). Le  Lemme fondamental est un énoncé en analyse harmonique p-adique, tandis que le AFL est un énoncé en géométrie arithmétique. Je vais parler de l'extension de ces énoncés à un élement arbitraire de l'algèbre de Hecke sphérique.
Il s'agit d'un travail en commun avec  C. Li et W. Zhang.

D'après les conjectures de Bloch-Beilinson, l'annulation d'une fonction L motivique en des entiers appropriés devrait correspondre à l'existence d'extensions de motifs non triviales. Dans cet exposé, je vais parler d'un travail en cours avec J. Bajpai, visant à montrer une conséquence de ces conjectures pour une certaine classe de caractères d'Hecke algébriques \phi d'un corps quadratique imaginaire. Quand le signe de l'équation fonctionnelle de L(\phi, s) est -1 (et donc en particulier, la fonction L s'annule au point central) nous construisons une extension de structures de Hodge d'origine géométrique, de la forme prédite par Bloch-Beilinson. Pour ceci, nous utilisons la cohomologie des surfaces modulaires de Picard, les résultats sur leur cohomologie d'Eisenstein dus à Harder, et l'étude du spectre automorphe des groupes unitaires en trois variables menée par Rogawski.

There is a classical relationship between representations of
the Iwahori-Hecke algebra associated with a Weyl group of a split
reductive group G, defined over a finite field, and the (principal
series) representations of the corresponding finite group of Lie type.
I will discuss a categorification of this relationship in the context
of various triangulated categories of constructible sheaves on the
group G. In particular, I will present a new approach to connecting
the categories of character sheaves to a version of a categorical
center of the constructible Hecke category. Based on a joint work with R.
Bezrukavnikov, A. Ionov, and Y. Varshavsky.

Soit G un groupe réductif défini sur un corps algébriquement clos de caractéristique $p$ équipé d'un endomorphisme $F$ provenant d'une $\mathbb{F}_q$-structure. Soit $\ell$ un nombre premier bon pour $G$ et $(U,\psi)$ une donnée de Whittaker $F$-stable, un théorème de Li et Li-Shotton produit un isomorphisme entre l'algèbre E des endomorphismes de la représentation de Gelfand-Graev et une certaine algèbre B ne dépendant que du tore dual sur $\mathbb{Z}_{\ell}$. J'expliquerai d'abord comment combiner le langage des traces catégoriques et de la théorie de Soergel pour construire une flèche E -> B. Dans un deuxième temps, j'introduirai une certaine catégorie de faisceaux bi-Whittaker sur G et expliquerai comment s'en servir pour construire une flèche B -> E inverse de la première donnant ainsi une approche géométrique à la construction de Li-Shotton.

Certain motifs apparaissants dans des variétés de Shimura pour U(n) x
U(n+1) sont équipés d’un cycle algébrique naturel. Gan, Gross et
Prasad ont conjecturé que ce cycle est analogue à un point de Heegner,
au sens que sa non-banalité serait détecté par des dérivées de
fonctions L.
Je vais parler d’un critère de non-banalité p-adique. On peut
l’établir sous forme quantitative par la construction et comparaison
de deux formules des traces relatives p-adiques. Travail en commun avec
Wei Zhang.

Soit k un corps algébriquement clos de caractéristique p. Soit G un groupe p-adique réductif et H sa k-algèbre de Hecke-Iwahori pro-p. Nous définissons un espace paramétrisant certaines représentations galoisiennes semi-simples à valeurs dans le k-groupe dual de G. Ensuite nous expliquons comment relier le centre de H à cet espace. Si le temps le permet, nous discuterons de quelques exemples ​​​et applications. Il s’agit d’un travail en cours avec Cédric Pépin.

The Breuil--Mézard conjecture describes the geometry of
moduli spaces of n-dimensional mod p Galois representations of G_K for K
a finite extension of Qp. This description is in terms of the
respresentation theory of GL_n(k) (k being the residue field of K) and
the conjecture can be viewed as a combinatorial shadow of the p-adic/mod
p Langlands correspondence.

In this talk I will give an overview of the conjecture and then talk
about recent work in which new instances are deduced for crystalline
representations with bounded Hodge types (roughly <= p/e for e the
ramification degree of K). This is done by establishing analogous
Breuil--Mézard phenemona for certain degenerations inside the affine
grassmannian and relating these degenerations to moduli of crystalline
representations.
 

Wonderful compactifications of adjoint reductive groups over an algebraically closed field play an important role in algebraic geometry and representation theory. In this talk, we will construct an equivariant compactification for adjoint reductive groups over arbitrary base schemes, which parameterize classical wonderful compactifications of De Concini and Procesi as geometric fibers. Our construction is based on a variant of the Artin–Weil method of birational group laws. In particular, our construction gives a new intrinsic construction of wonderful compactifications. If time permits, we will also discuss several applications of our compactification in the study of torsors under reductive group schemes.

La dualité relative de Langlands récemment proposée par
Ben--Zvi, Sakellaridis et Venkatesh suggère que les formules bien
connues dans la théorie de périodes automorphes puissent être
comprises comme une dualité d'actions Hamiltoniennes. Dans cet exposé
j'expliquerai le travail en commun avec Akshay Venkatesh où on a suivi
ce point de vue pour mieux comprendre les représentations de fonctions
L par intégrales automorphes découvertes par D. Ginzburg il y a 30
ans. Pour y parvenir, on aura besoin de décrire un nouveau invariant
numérique de L paramètres, généralisant les fonctions L de
Langlands.
 

This pair of lectures follows the one hour talk that was recorded last week at the Luminy conference in honour of Jean-Pierre Labesse. I hope to be able to expand here on the various topics that were introduced there, and to say more about some of their consequences. At the heart of the theory is how fundamental relations between harmonic analysis (automorphic forms) and arithmetic geometry (motives) can be made explicit in a conjectural construction of the automorphic and motivic Galois groups. We shall introduce these groups, and describe some of their basic properties. We shall then describe how they might extend to two broader theories, those of mixed motives and exponential motives. The groups also seem to have implications for the beyond endoscopic comparison of trace formulas, an undeveloped theory that might serve as a foundation for the future proofs, even though not much can be said at present.

Let X be as a smooth projective curve over a finite field k.
It is well-known that the space of unramified automorphic forms for the
global field k(X)  and a reductive group G can be identified with the
space of functions on the set of k-points of the moduli space of
G-bundles on X. This space is acted on by a large commutative algebra of
Hecke operators and the Langlands conjecture (essentially known in this
case) describes the set of their common eigen-values.

Langlands and then Etingof, Frenkel and Kazhdan initiated the study of a
similar problem when k is replaced by a local field F. I shall describe
some recent progress in this area concentrating on the case when F is
non-archimedian. 

We shall discuss the following 1) exact definition of the space on which
the Hecke operators act (here the difficulty is related to the fact that
Bun_G is a stack rather than a scheme; this difficulty is resolved by a
general algebro-geometric construction) 2) why the cuspidal (but not
Eisenstein) spectrum over k embeds into that over F. 3) The appearance
of automorphic forms for groups of the form G(k[t]/t^2) in this story
and their relationship with the Hitchin system.

Based on a series of joint works with D.Kazhdan and A.Polishchuk.

We present a proof that V. Lafforgue's global Langlands correspondence is compatible with Fargues–Scholze's semisimplified local Langlands correspondence. By globalizing local representations, this has the following consequences: 

・Fargues–Scholze's construction canonically lifts to a non-semisimplified correspondence in characteristic ≥ 5, 

・Genestier–Lafforgue's correspondence agrees with Fargues–Scholze's. 

The proof relies on a formal model for the moduli of local shtukas with multiple legs, which we construct using algebraization theorems for analytic local shtukas.

A local Langlands correspondence associates to each
irreducible admissible representation of a p-adic reductive group a
Galois theoretic object, namely an L parameter. In order to make the
correspondence bijective, one can enhance the target by additionally
recording a representation of a variant of the centralizer group of the
L parameter, and enhance the source by simultaneously considering
representations of inner twists of our p-adic group. I will discuss
recent work with Masao Oi on a certain statement of the Langlands
correspondence using the Kottwitz set and indicate what this might have
to do with the categorical conjecture of Fargues and Scholze.

Lazard-Serre showed that the continuous cohomology of compact
p-torsionfree p-adic Lie groups, with p-adic coefficients, exhibits
Poincaré duality.  A suprisingly subtle point in Lazard's work is the
identification of the relevant twist, or dualizing object.  I will
describe another approach to this identification, which also yields more
refined information inaccessible via Lazard's approach.  The method is
probably more important than the result: it involves a somewhat
surprising cospecialization map for sheaves in a p-adic context, which
should have other applications as well.

It is known - starting with the work of Coleman and Mazur on the eigencurve - that the dual space of (finite slope) overconvergent p-adic automorphic forms can be identified with the global section of a coherent sheaf on a rigid analytic variety, called an eigenvariety. In this talk I will give a conjectural Galois theoretic description of this coherent sheaf in terms of an envisioned categorical p-adic Langlands correspondence (that is inspired by ideas from the geometric Langlands program as well as from the Taylor-Wiles patching method). I will discuss some partial results in the case of
the modular curve.

In this talk, I will discuss a recent work, joint with Barbasch, Ma and Sun, in which we construct and classify all special unipotent representations of a real classical group (including the real metaplectic group), in the sense of Arthur and Barbasch-Vogan. I will explain the key ingredientsof this classification: counting by coherent families  (combinatorial aspect), construction by theta lifting (analytic aspect), and distinguishing by invariants (algebraic-geometric aspect), with unitarity as a direct consequence. For quasi-split classical groups, the unitarity is independently due to Adams, Arancibia Robert and Mezo, through the endoscopic classification of Arthur and Mok.

p-adic Banach representations a fundamental role in the p-adic Langlands program. However, little has been known about Banach representations outside GL_2(Q_p). In this talk, I will introduce a criterion of irreducibility of p-adic Banach principal series representations and give examples of such irreducible representations. This is based on a joint work with Florian Herzig.

Let G(R) be the real points of a connected reductive algebraic group with L-group G^L. For each Arthur parameter W_R \times SL(2) \to G^L, there is an associated "Arthur packet" of irreducible admissible G(R)-representations satisfying various desiderata. It is conjectured that all such representations are unitary (this is a theorem due to Arthur for quasisplit classical groups). An Arthur parameter is said to be "distinguished unipotent" if its restriction to C* \subset W_R is trivial and the image of the SL(2) is not contained in a proper Levi subgroup. In this talk, I will show that every Arthur packet can be built in a systematic way (through real parabolic and cohomological induction) from a distinguished unipotent Arthur packet. This reduces the question of unitarity to the case of unipotent distinguished parameters (and settles the question of unitarity for parameters which are "principal in a Levi"). This is joint work in progress with David Vogan and Jeffrey Adams.

En dimension finie, il existe une correspondance explicite
entre algèbres de Lie et groupes de Lie. Pour aller des algèbres aux
groupes, il s'agit de trouver une représentation convenable, puis de
prendre les exponentielles des endomorphismes ainsi obtenus.

Cette construction a été adaptée par Garland dans le cas de certaines
extensions centrales d'algèbres de lacets, qui sont des exemples
d'algèbres de Kac-Moody affines. Ce procédé fournit un groupe,
appelé groupe de lacets, ainsi qu'un réseau muni d'une métrique. Ces
objets entrent naturellement dans le cadre de travaux récents de Bost
et Charles sur les fibrés vectoriels pro-hermitiens et leurs invariants
theta.

Dans cet exposé, nous verrons comment associer des fibrés vectoriels
pro-hermitiens theta-finis intéressants à des éléments de groupes de
lacets. Il est envisagé, dans le futur, que ces travaux puissent mener
à une définition des séries d'Eisenstein négatives à lacets sur des
corps de nombres, ainsi qu'à leur étude.
 

La Grassmannienne affine (d'un groupe réductif) est un objet algébro-géométrique
modélisant la structure locale de l'espace de modules des fibrés principaux sur une courbe algébrique (propre et) lisse. La richesse de sa structure permet de déduire des résultats globaux sur cet espace de module. Dans cet exposé, nous aborderons un analogue de la Grassmannienne affine en dimension 2, destiné à l'étude de l'espace de modules des fibrés sur une surface.

Symmetric power functoriality is one of the basic cases of Langlands' functoriality conjectures and is the route to the proof of the Sato-Tate conjecture (concerning the distribution of the modulo p point counts of an elliptic curve over Q, as the prime p varies).

I will discuss the proof of the existence of the symmetric power liftings of Hilbert modular forms of regular weight. The proof uses automorphy lifting theorems, automorphic forms on unitary groups, and the geometry of Shimura varieties, as well as the fact that Spec Z is simply connected.

On s'intéresse au développement fin de la contribution
unipotente à la formule des traces (non tordue) pour G(F) où F est un
corps global de caractéristique p>0 quelconque. Pour traiter les
petites caractéristiques, on a été amené à développer une théorie
de Kempf-Rousseau-Hesselink des F-strates unipotentes dans G(F). Ces
F-strates jouent le rôle des orbites géométriques unipotentes dans le
travail d'Arthur. On obtient la variante de Hoffmann du développement
fin de la contribution unipotente à partir des travaux de
Chaudouard-Laumon sur l'algèbre de Lie (pour GL(n) sur un corps de
fonctions et pour G quelconque sur un corps de nombres). On ne parlera
pas de la décomposition des formules obtenues en sommes de produits
d'objets locaux (c'est bien sûr l'étape suivante).

L'algèbre de Hecke affine admet une sous-algèbre commutative remarquable qui correspond au réseau des coracines dans le groupe de Weyl affine. Sa nature est encodée dans la présentation de Bernstein et contient d'importantes informations sur les représentations de l'algèbre. Si on considère des catégorifications de cette algèbre, par exemple la catégorie diagrammatique, cette sous-algèbre correspond à une classe de complexes dans la catégorie homotopique appelés faisceaux de Wakimoto, que l'on peut voir comme des complexes de Rouquier.

Dans cet exposé j'introduirai la catégorie de Hecke affine, et les objets mentionnés ci-dessus. Je présenterai ensuite des résultats de réduction des complexes de Rouquier et d'étude des groupes d'extension entre faisceaux de Wakimoto en type A_1 affine.

I will explain how a conjectural nonvanishing property for central values of GL_n-automorphic L-functions (consistent with all of the folklore conjectures) would follow from a certain equidistribution property for toric orbits in GL_n locally symmetric spaces, and moreover how we expect this
property should follow from the theorems of Ratner and Margulis-Tomanov on p-adic unipotent flows. In the special case where the base field is a CM field, and the cuspidal automorphic representation of GL_n is conjugate self-dual, this problem can also be phrased in terms of automorphic periods on unitary groups using recent progress on the Ichino-Ikeda Gan-Gross-Prasad conjecture, which I will also explain.
 

We introduce a 6-functor formalism for p-adic coefficients on rigid
spaces over Q_p and show how it extends to certain stacky maps. By
applying this to classifying stacks we obtain a powerful framework for
studying p-adic representations of p-adic reductive groups. As an
application we prove new results on the p-adic Jacquet-Langlands
correspondence (joint with David Hansen).

Lors de l’étude du comportement p-adique de formes
modulaires, il est souvent utile de les considérer dans un espace
ambiant plus large de formes modulaires p-adiques. La théorie de Katz
des formes modulaires p-adiques fournit une notion satisfaisante dans de
nombreux cas, mais nécessite généralement de se limiter à un petit
voisinage du lieu ordinaire de la courbe de Shimura sous-jacente. Dans
cet exposé, je décrirai ma théorie des formes modulaires p-adiques à
coefficients dans un certain faisceau de périodes de De Rham B, qui
étend la théorie de Katz du lieu ordinaire au lieu supersingulier. En
travaillant avec les B-coefficients, on peut définir des << opérateurs
de Maass-Shimura p-adiques >> d’élévation de poids, qui agissent sur
ces formes modulaires p-adiques à B-coefficients, et qui sont des
extensions directes des opérateurs thêta classiques. Ces opérateurs
differentiels constituent une étape clé dans mes constructions
d’analogues supersinguliers des fonctions L p-adiques de Katz et de
Bertolini-Darmon-Prasanna, et jouent un grand rôle dans des
applications Iwasawa-théoriques récentes telles que ma preuve de la
conjecture de Sylvester sur les sommes de cubes rationnels. Si le temps
le permet, je décrirai également mes travaux en cours pour
généraliser cette théorie aux formes automorphes p-adiques sur les
variétés de Shimura de type Hodge.

Nous définirons l'algèbre de Hall cohomologique des
faisceaux de longueur finie sur une surface lisse S et en donnerons une
présentation. Puis nous expliquerons comment, dans le cas de la surface
S=T^*X cette algèbre opère sur la cohomologie des espaces de modules
de fibrés vectoriels de Higgs semistables sur une courbe projective
lisse X, et esquisserons la démonstration récente de la conjecture P=W
qui en résulte. Il s'agit de travaux en commun avec A. Mellit, A.
Minets, T. Hausel et E. Vasserot.

The Langlands program posits that automorphic forms associated to a reductive group are parametrized by Galois representations valued in its dual group. About ten years ago, M. Weissman, W.-T. Gan, and F. Gao proposed an extension of the Langlands program which puts covering groups under the same framework. In this talk, I will introduce a formalism of covering groups based on étale cohomology and explain its applications to the Langlands program.
 

In recent work with Tsai, we give a combinatorial formula for
Shalika germs of tamely ramified elements in GL_n over a non-archimedean
local F. This result has many corollaries, for example the polynomiality
of point-counts on local compactified Jacobians and a formula for the
orbital integrals of tamely ramified elements. The formula for Shalika
germs comes about by combining 1) an old algorithm by Waldspurger for
certain closely related germs with 2) ideas from the construction of
"superpolynomials" for algebraic knots using the elliptic Hall algebra,
which are more recent. I will explain the method together with some
examples and if there is time, discuss further directions such as a
canonical t-deformation of the Shalika germs.

Dans cet exposé j'expliquerai le contenu de la série des travaux 

[AGKRRV], qui d'un côté relient la catégorie des faisceaux automorphes

à support singulier nilpotent à l'espace des fonctions automorphes, et d'un 

autre côté proposent une version "restreinte" de la correspondance de Langlands

géométrique, qui est valable dans le contexte l-adique. En combinant les deux,

on obtient une expression explicite pour l'espace des fonctions automorphes

en termes galoisiens. 

C'est un rapport sur un travail en commun avec D. Gaitsgory, qui fait partie du programme de Langlands géométrique metaplectique. Soit G un groupe reductif sur un corps algébriquement clos. Une "donnée metaplectique geometrique" pour G est une gerbe factorisable g sur la grassmanienne affine de G. Une telle donnée produit une categorie de Whittaker metaplectique Whit_g(G) des faisceaux (tordues) sur la grassmanienne affine. A ces données on associe également le groupe dual metaplectique H de (G, g), qui est l'analogue du groupe dual de Langlands de G dans le cas metaplectique. La categorie Rep(H) des representations de H agit sur Whit_g(G) et donne lieu à la categorie des Hecke-objets gradués de Whit_g(H) par rapport a cette action. L'objet de la "petite" version de l'equivalence locale fondamentale est de decrire cette catégorie des Hecke-objets en termes de certains faisceaux factorisables sur les espaces de configurations des diviseurs sur une courbe.
 La preuve étant tres longue et technique, on va introduire quelques objets clés et leurs propriétés, presenter certaines idées utilisées dans la preuve. L'algèbre dans les infinie-catégories est essentielle ici à la fois pour les formulations et les preuves.

La classification des représentations unipotentes d'un
groupe réductif fini ne dépend que du groupe de Weyl associé $W$.
Toutes les questions structurelles les concernant (familles,
séries de Harish-Chandra, partitions en blocs,...) admettent
aussi des réponses qui ne s'expriment qu'en termes du groupe
de Weyl. Durant les dernières années, nous avons remarqué
que les mêmes données combinatoires se retrouvent dans la
géométrie de Poisson de l'espace de Calogero-Moser associé
à $W$ : grosso modo, les familles correspondent aux points
${\mathbb{C}}^\times$-fixes, les séries de Harish-Chandra
aux feuilles symplectiques, les blocs sont reliés aux points
fixes sous l'action d'un groupe de racines de l'unité,...

Nous essaierons de détailler ces coïncidences en donnant un
sens précis à ces remarques, en les illustrant par des exemples
concrets, et en énonçant quelques conjectures. Nous sommes en
revanche incapables de proposer un cadre qui expliquerait,
même conjecturalement, ces nombreuses coïncidences.

We show that the cohomology of moduli spaces of ordinary Higgs
bundles, i.e. twisted by the canonical class, decomposes in elementary
summands depending on the topology of the symplectic singularities on a
(fixed!) master object and/or the combinatorics of certain posets and
lattice polytopes. This is based on a joint work with Luca Migliorini
and Roberto Pagaria.

Dans un travail récent avec François Charles, nous étudions les surfaces arithmétiques formelles-analytiques, qui sont des analogues arithmétiques des surfaces formelles sur un corps admettant comme schéma de définition une courbe projective. Ces objets permettent d’établir des théorèmes de finitude concernant le groupe fondamental étale de certaines surfaces arithmétiques quasi-projectives sur $\mathbb{Z}$. Ces théorème de finitude s’appliquent notamment aux modèles entiers des courbes modulaires.
 

Waldspurger proved maximality and minimality results for certain generalised Springer representations of $\text{Sp}(2n,\mathbb{C})$. We will discuss analogous results for $G = \text{SO}(N,\mathbb{C})$ and sketch their proofs.

Let $C$ be a unipotent class of $G$ and $E$ an irreducible $G$-equivariant local system on $C$. The generalised Springer correspondence attaches to $(C,E)$ an irreducible representation $\rho$ of a relative Weyl group of $G$. We call $C$ the support of $\rho$. It is well-known that $\rho$ appears in the top cohomology of a certain variety. Let $\bar\rho$ be the representation obtained by summing the cohomology groups of this variety.

We show that if $C$ is parametrised by an orthogonal partition consisting of only odd parts, then $\bar\rho$ has a unique irreducible subrepresentation $\rho^{\text{max}}$ whose support is maximal among the supports of the irreducible subrepresentations of $\rho^{\text{max}}$. We also show that $\text{sgn}\otimes\rho^{\text{max}}$ is the unique subrepresentation of $\text{sgn}\otimes\bar\rho$ with minimal support. We will also present an algorithm to compute $\rho^{\text{max}}$.

Nous commencerons par décrire, pour un groupe réductif $p$-adique $G$ général, une méthode de construction de la correspondance de Langlands pour les représentations non supercuspidales par réduction au cas des représentations supercuspidales des sous-groupes de Levi propres de $G$.

Nous appliquerons ensuite cette méthode au cas où $G$ est le groupe exceptionnel de type $G_2$, et nous expliciterons la structure des divers types de L-paquets.

Cet exposé sera consacré à un projet en common avec Shiyu Shen dans
lequel nous prolongeons l'équivalence dérivée construite par Arinkin
pour les fibres de Hitchin elliptiques en tant que isomorphisme de
K-théorie topologique défini au-dessus de la base de Hitchin entière.
Cet isomorphisme relie les groupes de K-théorie topologique (tordu par
une gerbe) des champs de modules des fibrés de Higgs de type SL(n) et
PGL(n). En passant, nous démontrons l‘évanescence de la torsion dans
la cohomologie singulière de l'espace de modules des fibrés de Higgs
de type SL(n), et également pour la K-théorie topologique tordue du
champ de modules des fibrés de Higgs de type PGL(n).

Soit G le groupe des unités d'une algèbre de quaternions sur
un corps de nombres. Les problèmes de Linnik, résolus pour la plupart
par Duke il y a une trentaine d’années, portent sur
l’équirépartition des orbites toriques périodiques de grand
discriminant dans certains espaces homogènes associés à G.
L’exemple le plus concret est celui de la répartition uniforme des
points entiers sur la sphère. La résolution complète des problèmes
de Linnik, achevée par Michel et Venkatesh, a marqué une période
d’échange fructueuse entre la théorie ergodique et les formes
automorphes.

Dans les actes de l’ICM en 2006, Michel et Venkatesh proposent une
conjecture, dite "de mélange", qui mesure la complexité de ces
orbites toriques, et qui se traduit par un énoncé d'équirépartition
sur le groupe produit G x G ; il s’agit donc d’un raffinement
quadratique des problèmes de Linnik.

Après avoir discuté de la progression de ces idées, j’expliquerai
une preuve de la conjecture, conditionnelle sous l’hypothèse de
Riemann généralisée, qui fait intervenir un joli assortiment d'objets
et techniques en théorie analytique des nombres et périodes
automorphes. Travail en commun avec Valentin Blomer et Ilya Khayutin.

Le morphisme des périodes de Hodge-Tate permet d'étudier la
cohomologie d'une variété de Shimura en analysant un "faisceau
pervers" sur une grassmannienne p-adique. Dans le cas des variétés de
Shimura quaternioniques, je décrirai un lien entre la structure de ce
faisceau et la correspondance de Jacquet-Langlands. J'expliquerai
ensuite comment utiliser cette relation pour démontrer un théorème
d'annulation pour la cohomologie (à coefficients de torsion) des
variétés quaternioniques, ainsi que des applications de ce résultat.
Travail en commun avec Ana Caraiani.

The goal of this talk is to relate the locally analytic
vectors of the completed cohomology of a Shimura variety with the
locally analytic structural sheaf at infinite level, generalizing the
work of Lue Pan for the modular curve. As a consequence, one can deduce
a rational version of the Calegari-Emerton conjectures. More precisely,
we will sketch the construction of the geometric Sen operator of a rigid
analytic space, and explain how it is used to calculate proétale
cohomology.  Then,  we show that the geometric Sen operator of a Shimura
variety is obtained as the pullback of a G-equivariant vector bundle of
the flag variety via the Hodge-Tate period map.  As a consequence, we
will be able to compute (Hodge-Tate) proétale cohomology as Lie algebra
cohomology of certain D-modules over the flag variety.

Soit $\pi$ une représentation cuspidale unitaire de GL(m,A) où A désigne les adèles rationnels. soit $L(s,\pi)$ sa fonction L standard. On considère l'intégrale, sur la droite Re(w)=1/2, de $| L(w,\pi)/w |^2$   ou de $| L(w,\pi)/(w-s) |^2$ , où s est un zéro de $L(s,\pi)$ dans la bande critique. On montrera que ces intégrales admettent des bornes inférieures indépendantes de m et $\pi$. Ma première démonstration, pour m=1,2, reposait sur des estimées de sous-convexité. Une autre démonstration, de Sarnak et L.C., est inconditionnelle.

Automorphy lifting theorems aim to show that a p-adic global Galois representation that is unramified almost everywhere and de Rham at places dividing p is associated to an automorphic representation, provided its reduction modulo p is. In the past years there has been a lot of progress in the case of polarizable representations that are crystalline at p. In the semi-stable case much less is known (beyond the ordinary case and the 2-dimensional case). I will explain how one can use results about p-adic automorphic forms in combination with the Taylor-Wiles method to deduce the semi-stable case from the crystalline case.

La correspondance de Langlands locale "en familles" a été introduite par Emerton et Helm pour décrire la partie "non Eisenstein" de la cohomologie complétée des courbes modulaires et, plus généralement, de certaines variétés de Shimura unitaires. Elle est de type "Galois vers automorphe" : à une représentation de Galois de rang n sur une ℤ_l-algèbre locale complète A on veut associer une certaine représentation lisse à coefficients dans A de GL_n qui "interpole" la correspondance de Langlands classique pour les points de caractéristique 0, et vérifie une propriété de généricité imposée par le "lemme d'Ihara". L'unicité de cette correspondance avait été établie par Emerton et Helm, mais son existence n'a été prouvée que récemment par Helm et Moss, après que Helm a montré comment elle découle d'un énoncé à la fois plus simple, plus élégant, et d'apparence plus faible, qui relie le centre de Bernstein des ℤ_l-représentations avec l'anneau des fonctions sur l'espace grossier des représentations Galoisiennes. Dans cet exposé, j'expliquerai un programme visant à généraliser ces travaux à d'autres groupes réductifs, en m'attardant sur la description topologique de l'espace de modules grossier des paramètres "l-adiquement continus". Travail en commun avec Helm, Moss et Kurinczuk.

In the setting of the geometric Langlands conjecture, we argue that the phenomenon of divergence at infinity on the stack of G-bundles on a smooth complete curve is controlled by the locus of semisimple local systems (for the Langlands dual group). We prove this by first introducing the Deligne-Lusztig functors (substitutes for the Serre functors, which do not make sense in our situation), and then by describing these functors explicitly. Along the way, we obtain a global geometric version of a theorem of Lusztig on the Steinberg module.

Travail avec Charles De Clercq. Soit p un premier. Soit G un groupe profini. La question motivant ce projet s'énonce comme suit.

Q) Trouver une condition, portant sur G, assurant que toute représentation continue (=discrète) G→GLn(Fp) se relève en une représentation G→GLn(Z/p2Z).

Cette question conduit naturellement à la notion de lissité pour les groupes profinis. C'est une axiomatisation de la théorie de Kummer. La classe des groupes profinis lisses inclut les groupes fondamentaux de nombreux schémas- en particulier, des courbes sur les corps algébriquement clos, et des schémas locaux. J'expliquerai comment le relèvement des (complexes de) représentations galoisiennes implique le théorème de Rost-Suslin-Voevodsky. Je discuterai ensuite la géométrisation naturelle de (Q), en introduisant la notion de fibré G-linéarisé en vecteurs de Witt-ou (G,Wn)-fibré. J'exposerai les résultats positifs que l'on obtient- en particulier, les théorèmes de relèvement faible et fort. Un texte plutôt élémentaire, s'occupant du cas n=2, est déjà disponible à l'adresse https://webusers.imj-prg.fr/~mathieu.florence/LiftLow.pdf

Le cas n>=3, bien plus complexe, est en fin de rédaction.

A classical interpolation construction gives rise to a natural action of the Langlands dual Lie algebra on the Mirkovic-Vilonen fiber functor from the spherical Hecke category of equivariant perverse sheaves on the affine Grassmannian of a reductive group. This is a joint work with Vasily Krylov.

Les intégrales orbitales jouent un rôle fondamental dans la formule des traces de Selberg et dans l’approche d' Harish-Chandra de la formule de Plancherel. Dans cet exposé, j’expliquerai une formule géométrique pour les intégrales orbitales semisimples associées à tous les éléments du centre de l’algèbre enveloppante. Cette formule généralise la formule obtenue par Bismut pour les noyaux associés au Casimir. Il s’agit d’un travail en collaboration avec J.-M. Bismut.

La conjecture de Breuil-Mézard décrit des invariants de la fibre spéciale des anneaux de déformation galoisiens, avec des conditions provenant de théorie de Fontaine, en termes de la théorie des représentation localement algébriques de GLn(ℤp). Elle a signé le point de départ du programme de Langlands local modulo p, et au delà du cas de GL2(ℚp), cette conjecture n'était connue que dans très peu de cas, notamment lorsque les espaces de déformations galoisiennes sont directement liés aux espaces de modules des schémas en groupes finis et plats. En général, la théorie de Breuil-Kisin montre que les anneaux de déformations galoisiennes peuvent s'obtenir comme des anneaux locaux de variétés de drapeaux affines sur ℤp, en imposant une condition transcendante (liée à un opérateur de monodromie). Dans un travail en cours avec Daniel Le, Bao Viet Le Hung et Brandon Levin nous algébrisons cette condition de monodromie, ce qui produit une dégénéresence centrale d'une fibre de Springer affine, et ainsi un modèle local dont les anneaux locaux sont isomorphes à une large classe d'anneaux de déformations potentiellement cristallines. Ces modèles locaux décrivent la complétion p-adique de certains sous espaces fermés du champs des représentations galoisiennes construit par Emerton et Gee. Nous montrons l'existence de cycles algébriques sur la fibre spéciale de ces modèles locaux, qui ont une interprétation naturelle en termes de la théorie des représentations modulaires, et qui nous amènent à la preuve de plusieurs cas de la conjecture Breuil-Mézard, et de la partie poids de la conjecture de Serre lorsque la représentation galoisienne est semisimple.

Bhatt, Morrow et Scholze ont défini récemment une nouvelle théorie cohomologique p-adique entière qui unifie les théories connues. La catégorie cible de cette cohomologie est munie d'une structure cachée, mais implicite, que nous essaierons de dévoiler: elle est munie d'un formalisme de type Harder-Narasimhan, analogue à celui découvert par Fargues pour les groupes p-divisibles. Il s'agit d'un travail en commun avec Macarena Peche Irissarry.

Une représentation de Banach admissible d'un groupe de Lie p-adique
possède une notion de dimension, il s'agit de la dimension du support
d'un certain module en théorie d'Iwasawa. Nous allons expliquer comment
l'existence d'un caractère infinitésimal sur les vecteurs localement
analytiques d'une telle représentation permet de borner supérieurement
sa dimension et expliquer pourquoi un tel caractère existe souvent dans
le cadre des représentations provenant de la théorie des formes
automorphes p-adiques. Il s'agit d'un travail en commun avec Gabriel
Dospinescu et Vytautas Paskunas.

La cohomologie sur ℤ_l des variétés de Shimura, pourvu qu’on augmente le niveau en l, n’est pas libre. Dans cet exposé on exploitera l’approche "cycles évanescents" relativement explicite du calcul de la cohomologie dans le cadre des variétés de Shimura de type Kottwitz-Harris-Taylor pour donner de nouveaux cas d’annulation de la torsion après localisation en un idéal maximal 𝔪 d’une algèbre de Hecke non ramifiée. On se concentrera essentiellement sur un cas intéressant en vue du lemme d’Ihara, celui où ρ_𝔪 est irréductible.

Lusztig's classification divides the representation theory of G(Fq) (G a reductive algebraic group) in to its semisimple and unipotent parts in analogy to the Jordan decomposition. I will explain a refinement of this idea in the geometric setting. Namely, we will exhibit the collection of categorical representations of the reductive group G (over the complex numbers) as sheaf over the moduli of semisimple conjugacy classes in the dual group, whose fibers may be understood as unipotent representations for a smaller reductive group. One motivation is to study the cohomology of G(C)-character varieties of surfaces and its relations with the representation theory of G(Fq). This is joint work with David Ben-Zvi.

For a reductive group G over a local non-archimedean field K one can mimic constructions from the classical Deligne-Lusztig theory by using the loop space functor. In special cases - attached to G = inner form of GLn, and Coxeter elements in the Weyl group - we show that the resulting fpqc-sheaves on algebras over the residue field of K are representable by schemes. Their ℓ-adic cohomology realizes many irreducible supercuspidal representations of G, notably almost all among those whose L-parameter factors through an unramified elliptic maximal torus of G. This gives a purely local, purely geometric and - in a sense - quite explicit way to realize special cases of the local Langlands and Jacquet-Langlands correspondences.

I will introduce the ordinary part (in the sense of Hida) of the higher coherent cohomology of Hilbert modular varieties and explain what we know about it: vanishing results and Hida style control theorems. This is joint work in progress with Vincent Pilloni.

Dans plusieurs contextes, tels que la formule du produit pour la fibration de Hitchin sur le lieu génériquement régulier semisimple, la géométrie du préchamp [G(k((t))/Ad(G(k((t)))] ou pour comprendre les lacets dans un champ algébrique, il est indispensable d'établir des résultats de structure et d'annulation pour les G-torseurs sur les anneaux de séries de Laurent. Dans cet exposé, on présente des résultats généraux d'algébrisation, une formule pour Pic(R((t))) ainsi que des résultats d'annulation utiles pour ces problèmes. C'est un travail en commun avec K. Cesnavicius.

I will present a recent work with Binyong Sun and Chengbo Zhu on unipotent representations of real classical groups (real symplectic groups, real orthogonal groups, quaternionic orthogonal groups or quaternionic symplectic groups). These are certain irreducible admissible representations characterized by their associated varieties and infinitesimal characters. They suppose to form the unipotent Arthur packet and are related to the quantization of nilpotent orbits. Barbasch and Vogan established the theory of special unipotent representations for complex groups and unitary groups. They also made conjectures for the general case, including a conjecture that unipotent representations attached to special nilpotent orbits are unitarizable. In 90's, thanks to many peoples work, it becomes clear that iterated theta lifting could be an effective way to construct unipotent representations of real classical groups. In our work, we constructed all unipotent representations attached to quasi-disdistinguished nilpotent orbits utilizing algebraic and analytic properties of theta lifts. The unitarity of these representations follows from the construction, thanks to Jian-shu Li, Hongyu He and Harris-Li-Sun's results on matrix coefficients integral. The construction of unipotent representations attached to a general special unipotent is working in progress (joint with Barbasch, Sun and Zhu).