| Résume | Cet exposé explore la géométrie de la réduction modulo $p$ de variétés modulaires de Hilbert en des places divisant le discriminant du corps totalement réel. La classification à isomorphisme près (due à Manin) des modules de Dieudonné s'adapte très bien aux modules de Dieudonné à multiplication réelle. Nous utilisons la structure algébro-géométrique de la classification pour définir une stratification, dite de Manin, de la fibre spéciale de la variété modulaire de Hilbert. Il s'avère que cette stratification naturelle coïncide avec la stratification par la pente due à F. Andreatta et E. Goren, mais notre approche permet d'en apprendre un peu plus sur celle-ci. Nous illustrerons notre propos dans le cas des surfaces modulaires de Hilbert par un court détour via les cycles évanescents. L'intérêt d'une telle étude est que les stratifications un peu fines habituelles, très utiles en places de bonne réduction, deviennent un peu pathologiques en places de mauvaise réduction i.e., elles acquièrent un nombre infini de strates. De plus, notre construction est généralisable à d'autres variétés de Shimura; nous donnerons quelques détails pour les variétés e.g., unitaires, le temps permettant. |
