| Résume | Soit $d\geq 1$ et $K$ un corps de nombres. Soit $\pi$ une représentation automorphe cuspidale de $GL_d$ sur $K$. Iwaniec et Sarnak ont défini le conducteur analytique $C(\pi,s)$. On a la majoration dite de convexité : $$|L(\pi,s)|\ll_\epsilon C(\pi,s)^{1/4+\epsilon}$$ uniformément pour $s$ sur la droite critique ($\Re(s)=1/2$) et $\epsilon>0$ arbitrairement petit. Le problème de sous-convexité (uniforme en tous les paramètres) consiste a remplacer l'exposant $1/4+\epsilon$ ci-dessus par un exposant de la forme $1/4-\delta$ pour une constante absolue $\delta>0$ . Dans cet exposé, nous expliquons la résolution de ce problème pour $d=1$ ou $d=2$ (ainsi que pour d'autres fonctions $L$). Nous donnons certaines applications du caractère uniforme (en les divers paramètres) de la majoration de sous-convexité obtenue. Il s'agit d'un travail en commun avec A. Venkatesh. |
