| Résume | On démontre l'existence d'une filtration naturelle $GL_2(\mathbb{Z}_p)$-équivariante sur les représentations irréductibles modulo $p$ pour $GL_2(\mathbb{Q}_p)$, ce qui permet de donner une description fine de ces objets. On en déduit leur filtration par le $GL_2(\mathbb{Z}_p)$-socle, leurs espaces des invariants sous plusieurs sous-groupes de congruence, ainsi que leurs restrictions aux sous-groupes de Cartan. D'après la compatibilité locale-globale cela permet d'obtenir la dimension de certains sous-espaces isotypiques de la cohomologie modulo $p$ de plusieurs courbes modulaires. |
