| Résume | L'étude des normes $L^\infty$ de fonctions propres du Laplacian sur des variétés Riemanniennes compactes a une longue histoire, les premiers résultats datant des années 1960 et le travail de Hormander.
Quand la variété compacte est un espace localement symétrique de courbure négative, ces normes ont attiré l'attention de théoriciens des nombres, ne serait ce que pour leur relation aux fonctions $L$. Nous nous intéressons dans cet exposé à la taille des formes cuspidales sur certaines espaces non-compactes, notamment, les quotients de congruences de $SL_n(R)/SO(n)$. Une telle fonction oscille sur une grosse partie de l'espace et décroît rapidement dans les pointes. En faisant la transition entre ces deux régions, les ondes se ralentissent et la fonction prend sa plus grande valeur. Lorsque $n=2$, Iwaniec et Sarnak ont quantifié ce comportement pour les formes de Maass, en montrant que leur normes $L^\infty$ grandissent comme une puissance de la valeur propre. Dans un travail en commun avec N. Templier, on effectue une analyse de la taille des formes de Maass dans la zone de transition en rang supérieur. En particulier, on établit des minorations sur la norme $L^\infty$ qui, pour n grand, sont d'une qualité surprenante. On donne une explication géométrique à nos résultats. |
