| Résume | Soit F un corps commutatif localement compact non archimédien, et soit G le groupe des points rationnels d'un groupe algébrique réductif connexe défini sur F. On fixe un corps algébriquement clos C de caractéristique p, et on s'intéresse aux représentations admissibles irréductibles de G dans des espaces vectoriels sur le corps C. L'induction parabolique est toujours disponible pour les représentations sur C, mais d'autres problèmes se posent: les sous-groupes pro-p n'agissent ps de façon semi-simple, le foncteur de Jacquet n'est pas exact, et il existe des représentations cuspidales de G qui apparaissent pourtant comme sous-quotients dans une induite parabolique propre.
On est conduit à s'intéresser aux représentation supercuspidales, celles qui ne sont pas de tels sous-quotients. Pour G=GL(n, F), Florian Herzig a donné une classification ``à la Zelevinsky'' de toutes les représentations lisses irréductibles en termes des représentations supercuspidales de GL(r,F), r au plus n. Son résultat a été étendu par Noriyuki Abe au cas d'un groupe G déployé sur F. Dans les démonstrations, un rôle important est joué par l'induction compacte à partir de ``types'', qui sont les C-représentations irréductibles des sous-groupes parahoriques spéciaux de G. Le travail en cours avec Marie-France Vignéras vise à étendre le résultat au cas général: pour l'instant (1er février 2012) nous disposons d'une description de l'algèbre de Hecke d'un type, d'un résultat de comparaison de l'induite compacte d'un type avec une induite parabolique, et (travaux de Tony Lee) d'une description des composants irréductibles de l'induite parabolique du caractère trivial d'un sous-groupe parabolique minimal, description qui interviendra dans la formulation de la classification en général. |
