| Résume | Soit G le groupe des unités d'une algèbre de quaternions sur
un corps de nombres. Les problèmes de Linnik, résolus pour la plupart
par Duke il y a une trentaine d’années, portent sur
l’équirépartition des orbites toriques périodiques de grand
discriminant dans certains espaces homogènes associés à G.
L’exemple le plus concret est celui de la répartition uniforme des
points entiers sur la sphère. La résolution complète des problèmes
de Linnik, achevée par Michel et Venkatesh, a marqué une période
d’échange fructueuse entre la théorie ergodique et les formes
automorphes.
Dans les actes de l’ICM en 2006, Michel et Venkatesh proposent une
conjecture, dite "de mélange", qui mesure la complexité de ces
orbites toriques, et qui se traduit par un énoncé d'équirépartition
sur le groupe produit G x G ; il s’agit donc d’un raffinement
quadratique des problèmes de Linnik.
Après avoir discuté de la progression de ces idées, j’expliquerai
une preuve de la conjecture, conditionnelle sous l’hypothèse de
Riemann généralisée, qui fait intervenir un joli assortiment d'objets
et techniques en théorie analytique des nombres et périodes
automorphes. Travail en commun avec Valentin Blomer et Ilya Khayutin. |
