| Résume | Si $n$ est multiple de $8$, l'espace euclidien $R^n$ possede des reseaux unimodulaires ``pairs''. Ils sont en nombre fini a isometrie pres et ont ete classifies pour $n=8$ (reseau $E_8$), $n=16$ ($E_{16}$ et $E_8+E_8$), et $n=24$ (les $24$ reseaux de Niemeier, dont le reseau de Leech). Deux reseaux unimodulaires pairs sont dits $p$-voisins, $p$ etant un nombre premier, si leur intersection est d'indice $p$ dans chacun d'eux. Pour $n=16$ et $n=24$, et pour $L$ et $M$ deux reseaux unimodulaires pairs quelconques de $R^n$, nous donnerons dans cet expose une formule explicite pour le nombre des $p$-voisins de $L$ isometriques a $M$, et ce pour tout premier $p$. Le cas $p=2$ remonte a Borcherds et Nebe-Venkov. Un ingredient essentiel en general est la determination d'une collection de representations automorphes (ou galoisiennes!) de conducteur $1$ pour certains petits groupes classiques. Si le temps le permet nous discuterons d'une generalisation au cas des $121$ reseaux pairs de determinant $2$ et de dimension $25$. Travail en commun avec Jean Lannes. |
