| Résume | Lors de l’étude du comportement p-adique de formes
modulaires, il est souvent utile de les considérer dans un espace
ambiant plus large de formes modulaires p-adiques. La théorie de Katz
des formes modulaires p-adiques fournit une notion satisfaisante dans de
nombreux cas, mais nécessite généralement de se limiter à un petit
voisinage du lieu ordinaire de la courbe de Shimura sous-jacente. Dans
cet exposé, je décrirai ma théorie des formes modulaires p-adiques à
coefficients dans un certain faisceau de périodes de De Rham B, qui
étend la théorie de Katz du lieu ordinaire au lieu supersingulier. En
travaillant avec les B-coefficients, on peut définir des << opérateurs
de Maass-Shimura p-adiques >> d’élévation de poids, qui agissent sur
ces formes modulaires p-adiques à B-coefficients, et qui sont des
extensions directes des opérateurs thêta classiques. Ces opérateurs
differentiels constituent une étape clé dans mes constructions
d’analogues supersinguliers des fonctions L p-adiques de Katz et de
Bertolini-Darmon-Prasanna, et jouent un grand rôle dans des
applications Iwasawa-théoriques récentes telles que ma preuve de la
conjecture de Sylvester sur les sommes de cubes rationnels. Si le temps
le permet, je décrirai également mes travaux en cours pour
généraliser cette théorie aux formes automorphes p-adiques sur les
variétés de Shimura de type Hodge. |
