| Résume | Faltings a récemment introduit une correspondance de Simpson pour les représentations $p$-adiques du groupe fondamental géométrique d'une variété lisse sur un corps $p$-adique (sous certaines hypothèses). Dans un travail en cours (en commun avec Michel Gros), nous nous sommes intéressés à comprendre ce que donne sa construction lorsque l'on part de la cohomologie étale p-adique relative d'un morphisme propre et lisse. Le cas complexe suggère que le fibré de Higgs associé est la cohomologie de Hodge munie du morphisme de Kodaira Spencer. Nous montrons que c'est aussi le cas en $p$-adique. Plus généralement, nous montrons que le complexe de Dolbeault du fibré de Higgs associé à un système local de Hodge-Tate est le complexe défini par Hyodo. Pour ce faire, nous introduisons une nouvelle approche pour la correspondance de Simpson $p$-adique qui complète celle de Faltings et présente un intérêt indépendant. |
