Soient $p$ et $\ell$ des nombres premiers $\geq 5$ tels que $\ell$ divise $p-1$. Mazur a défini un certain quotient de la Jacobienne modulaire $J_0(p)$ appelée le $\ell$-quotient d'Eisenstein.
Dans un travail précédent joint avec Jun Wang, nous avons prouvé une formule de congruence en l'idéal d'Eisenstein pour la valeur critique de la fonction $L$ du $\ell$-quotient d'Eisenstein tordue par un caractère de Dirichlet pair $\chi$ tel que $\chi(p)=1$. Notre preuve repose sur une conjecture de Sharifi reliant les symboles modulaires et la $K$-théorie cyclotomique.
Si le caractère est quadratique, en s'inspirant de travaux précédents d'Ono et d'autres utilisant la théorie des formes modulaires de poids demi-entier, nous appliquons notre formule de congruence pour prouver que, si $p=2\ell+1$ (i.e. $\frac{p-1}{2}$ est un nombre premier de Sophie Germain), alors il y a une infinité de corps quadratiques réels dans lesquels $p$ est décomposé et tels que ni leur nombre de classe n'est divisible par $\ell$, ni leur unité fondamentale n'est une puissance $\ell$-ème modulo un idéal premier au-dessus de $p$.
Ceci est un travail en cours avec Christian Maire. | 
