Nous commençons par une question élémentaire de théorie des nombres:
Quels entiers peuvent s’écrire comme produit de deux entiers consécutifs et comme produit de trois entiers en progression arithmétique de raison « $a$ » ?
Il s’agit d’étudier les points entiers sur la courbe elliptique d’équation affine $$y^2+y=x^3-a^2x.$$
Le problème peut être abordé, pour certaines valeurs de $a$, en étudiant la factorisation dans l’anneau des entiers algébriques du corps cubique associé (Mordell, Godinho-Porto-Togbé, Lee-Louboutin).
Nous montrons néanmoins que l’emploi d’outils diophantiens sur les courbes elliptiques (loi de groupe, uniformisation archimédienne, réduction modulo $p$, hauteurs de Néron-Tate, formes linéaires de logarithmes elliptiques), plus quelques calculs sur machine, permettent de donner des résultats plus clairs et complets sur le problème. En particulier on montrera que, pour $a\geq 2$, le rang est au moins deux et, lorsqu’il est égal à deux (ce qui devrait se produire pour la moitié des valeurs de « a ») on obtient une détermination complète des points entiers.
Il s’agit d’un travail avec Hemar Godinho et Diego Marques (Université de Brasilia). | 
