| Résume | On s'intéresse à la majoration du nombre de points $S$-entiers d'une courbe elliptique définie sur un corps de nombres $K$. La conjecture de Lang prédit une borne du nombre de points $S$-entiers d'une courbe elliptique $E/K$, donnée par un modèle de Weierstrass quasi-minimal, ne dépendant que de $K$, $\#S$ et du rang du groupe de Mordell-Weil $E(K)$. Plusieurs résultats en direction de la conjecture de Lang ont déjà été obtenus, notamment par Silverman, Gross-Silverman et Hindry-Silverman. Les résultats d'Hindry–Silverman démontrent en particulier la conjecture de Lang pour les courbes elliptiques dont le ratio de Szpiro est borné, ce ratio étant conjecturalement uniformément borné sur $K$. La conjecture de Schmidt prévoit, pour tout $\epsilon > 0$, une borne du nombre de points $S$-entiers de l'ordre de $|\operatorname{N}_{K/\mathbb{Q}}(\Delta_{E/K})|^\epsilon$, où $\Delta_{E/K}$ est le discriminant minimal de $E/K$. En s’appuyant sur les récents résultats de Dimitrov–Gao–Habegger, complétés par Kühne, relatifs à la conjecture de Mordell–Lang uniforme, et en utilisant une construction appropriée de morphismes de courbes de genre $2$ vers une courbe elliptique, combinée à une version du théorème de Chevalley-Weil reliant les points entiers de courbes elliptiques aux points $K$-rationnels de courbes de genre $2$, on montre que, pour tout $\epsilon > 0$ fixé, le nombre de points $S$-entiers de toute courbe elliptique $E/K$ donnée par un modèle de Weierstrass quasi-minimal satisfait au moins l’une des deux bornes issues respectivement de la conjecture de Lang et de la conjecture de Schmidt. |
