| Résume | Conjecturalement, l'hypothétique correspondance de Langlands $p$-adique devrait se réaliser dans la cohomologie complétée des variétés de Shimura, on peut donc espérer étudier cette correspondance de Langlands locale via des méthodes globales.
En parallèle, la correspondance de Langlands locale ($p$-adique) devrait admettre un raffinement catégorique, ou géométrique, prédisant certaines compatibilités qui réciproquement devrait donner des informations sur la cohomologie complétée.
En particulier une partie de la structure de la cohomologie complétée (et donc de l'hypothétique representation localement analytique associée à une representation galoisienne locale $p$-adique) devrait pouvoir se lire, via le foncteur de Bezrukavnikov, dans la géométrie des variétés de (Grothendieck-)Steinberg.
Dans cet exposé on expliquera cette interpretation et on donnera une idée de la preuve pour $\textrm{GL}_n(K)$, $K$ une extension finie de $\mathbb{Q}_p$. C'est un travail en commun avec E. Hellmann et B. Schraen. |
