| Résume | Il est bien connu que la distance extrêmale entre deux corps convexes symétriques de $\mathbb{R}^n$, modulo transformation linéaire, est d’ordre $n$. La borne supérieure est obtenue en plaçant les deux convexes en position de John, tandis que la borne inférieure est donnée par les polytopes aléatoires de Gluskin.
Dans un travail en collaboration avec Bo'az Klartag, nous montrons que le cas non symétrique satisfait la même asymptotique à un facteur polylogarithmique près : la distance de Banach–Mazur entre deux corps convexes arbitraires $K$ et $L$ est majorée par $C, n, \log^{\alpha}(n)$, améliorant la borne de Rudelson en $n^{4/3}\log^{\alpha}(n)$. La borne est atteinte en position isotrope aléatoire et repose sur une nouvelle estimée $MM^\ast$. |
