Even though title and abstract are in French, the talk will be given in English.
Résumé : Dans la théorie du premier ordre des groupes, un énoncé permet, grosso modo, de formaliser une propriété en utilisant uniquement des égalités, des inégalités et des quantificateurs sur les éléments du groupe. Étant donné un groupe G, l'ensemble de toutes les énoncés qui sont satisfaits dans G et qui n'impliquent que des égalités (aucune négation n'est autorisée) est appelé la théorie positive du premier ordre de G. Tous les groupes libres non-abéliens ont la même théorie positive du premier ordre, qui est en outre contenue dans la théorie positive du premier ordre de tous les autres groupes. En cas d'égalité, on dira que G a une théorie positive du premier ordre triviale.
Bien entendu, tous les groupes n'ont pas une théorie positive du premier ordre triviale. Cependant, jusqu'à présent, tous les exemples connus de tels groupes contiennent des sous-groupes libres non-abéliens.
Dans cet exposé, nous expliquerons comment des outils géométriques/topologiques issus de la théorie de la petite simplification et de l'action sur les arbres réels peuvent être utilisés pour produire des groupes surprenants. Bien qu'ils aient une théorie du premier ordre positive triviale, ils satisfont à d'autres propriétés « pathologiques » : ce sont par exemple des groupes simples, sans torsion, dont tous les sous-groupes propres sont cycliques.
Travail en collaboration avec Francesco Fournier-Facio et Turbo Ho. | 
