| Résume |
Pour un produit-croisé au-dessus d’une transformation ergodique, ayant le cercle comme fibre, on peut considérer le nombre de rotation associé. Si le produit-croisé dépend continûment d’un paramètre, il en va de même du nombre de rotation. Mon exposé sera consacré à l’étude de cette dépendance.
Cette question est motivée, en particulier, par l’étude de l’opérateur de Schrödinger discret à potentiel défini dynamiquement. Pour un tel opérateur, la fonction de répartition de la densité d’états (DOS) est exactement le nombre de rotation de S^1-cocycle associé en fonction d'énergie en tant que paramètre.
Je vais parler de deux résultats :
— On peut toujours (sous des hypothèses très faibles) dire que le nombre de rotation est log-Hölder ; ceci est un résultat en collaboration avec A. Gorodetski (https://doi.org/10.1017/etds.2025.10195)
— L’incrément de nombre de rotation peut être écrit en termes des mesures invariantes de produit-croisé. Pour une dynamique aléatoire avec des applications choisies i.i.d., ceci donne une formule pour l’incrément en termes de mesures stationnaires (en avant et en arrière) de la dynamique. Cette formule intégrale explique l’analogie entre les résultats connus sur la régularité de DOS et des mesures stationnaires : le nombre de rotation est au moins aussi régulier que les mesures stationnaires (au moins jusqu’à la régularité C^1). Ceci est un résultat en collaboration avec P. Duarte et A. Gorodetski (https://arxiv.org/abs/2512.00195 ).
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