Séminaires : Séminaire de Systèmes Dynamiques

In agreement with a conjecture of Arnold-Kozlov-Neishtadt, we prove  
that, generically, the union of
Lagrangian tori in analytic mechanical nearly-integrable systems with  
2 degrees of freedom fills, up to an exponentially small set, any region where the  
frequencies do not vanish simultaneously.

 

Avila-Lyubich-de Melo proved that the topological conjugacy classes of unimodal real-analytic maps are complex analytic manifolds, which laminate a neighbourhood of any such mapping without a neutral cycle. Their proof that the manifolds are complex analytic depends on the fact that they have codimension-one in the space of unimodal mappings.  In joint work with Trevor Clark, we show how to construct a “pruned polynomial-like mapping" associated to a real mapping. This gives a new complex extension of a real-analytic mapping.
The additional structure provided by this extension, makes it possible to generalize this result of Avila-Lyubich-de Melo to interval mappings with several critical points. Thus we show that the conjugacy classes are complex analytic manifolds whose codimension is determined by the number of critical points.
Building on these ideas, we believe we can show that in the space of unimodal mappings with negative Schwarzian derivative, the conjugacy classes laminate a neighbourhood of every mapping, answering a question of Avila-Lyubich-de Melo. Joint work with Trevor Clark. 

La composante de Hitchin est une composante connexe préférée de la variété des caractères X(\pi_1S,G)=\hom(\pi_1S,G)/G, où S est une surface fermée de nombre d'Euler négatif et G est un groupe de Lie  simple déployé. Des constructions thermodynamiques munissent cette composante des formes bilinéaires symétriques dites "formes de  pression". Ces formes sont invariantes par l'action naturelle du groupe modulaire de la surface dans X(\pi_1S,G). 

Le but de l'exposé est d'expliquer une interprétation géométrique de quelques unes de ces formes, généralisant ainsi un résultat célèbre de Bridgeman-Taylor et McMullen concernant le Hessien de la dimension de Hausdorff dans l'espace des représentations quasi-Fuchsiennes. Ceci  est un travail en commun avec M. Bridgeman, B. Pozzetti et A. Wienhard.

On discutera des problèmes de rigidité du spectre marqué des longueurs des flot géodésiques Anosov, et le lien avec la distance de Thurston et la notion d'étirement géodésique. Il s'agit d'un travail avec Gerhard Knieper et Thibault Lefeuvre. 
 

Nous donnerons des applications de l’étude de la cohomologie 
des flots homogènes unipotents. La première porte sur une simple preuve d'un théorème
de Kanigowski-Lemańczik-Ulcigrai, sur la disjonction mesurable des reparamétrisations du flot
horocyclique.  La deuxième porte sur le calul de la cohomologie réduite en degré 2 du feuilletage 
faiblement contractant associé à une surface de Riemann de genre $> 1$, une question posée par Matsumoto.
Si le temps le permet, on discutera aussi d'une application à la conjecture de Sarnak pour les flots nilpotents.

Soient $h:X\to X$ une application continue et $A,B\subset X$.
On étudie le problème suivant:

Trouver une fonction continue $f:X\to {\bf R}$ avec $f|A\leq 0$ et $f|B\geq n$ sous la contrainte dynamique 
$fh-f\leq 1$.

Ce problème a été posé par Entov et Polterovich qui l'utilisent pour trouver des 
orbites d'un système hamiltonian connectant deux ensembles donnés.

We discuss the notion of Lorenz attractor, study the question of its periodic perturbation, and show how discrete analogues of the Lorenz attractor emerge in various homoclinic bifurcations and bifurcations of periodic orbits.

Giulietti et Liverani ont introduit une classe de flots uniquement
ergodiques associés aux difféomorphismes d'Anosov $F$
du tore $\T^2$, et étudié leurs moyennes ergodiques
à l'aide d'un opérateur de transfert pondéré pour $F$.
En utilisant la fonction zêta d'Artin-Mazur et des
espaces anisotropes appropriés, nous montrons
que cet opérateur de transfert n'a pas de valeurs propres
non triviales et par conséquent il n'y a pas de déviations aux moyennes
ergodiques. Notre preuve donne aussi un contrôle de la vitesse
de mélange de la mesure d'entropie maximale des difféomorphismes
d'Anosov du tore $\T^2$.

The Lorentz gas is one of the simplest and most widely-studied models for particle transport in matter. It describes a cloud of non-interacting gas particles in an infinitely extended array of identical spherical scatterers, whose radii are small compared to their mean separation. The model was introduced by Lorentz in 1905 who, following the pioneering ideas of Maxwell and Boltzmann, postulated that its macroscopic transport properties should be governed by a linear Boltzmann equation. A rigorous derivation of the linear Boltzmann equation from the underlying particle dynamics was given, for random scatterer configurations, in three seminal papers by Gallavotti, Spohn and Boldrighini-Bunimovich-Sinai. The objective of this lecture is to develop an approach for a large class of deterministic scatterer configurations, including various types of quasicrystals. We prove the convergence of the particle dynamics to transport processes that are in general (depending on the scatterer configuration) not described by the linear Boltzmann equation. This was previously understood only in the case of the periodic Lorentz gas through work of Caglioti-Golse and Marklof-Strombergsson. Our results extend beyond the classical Lorentz gas with hard sphere scatterers, and in particular hold for general classes of spherically symmetric finite-range potentials. We employ a rescaling technique that randomises the point configuration given by the scatterers' centers. The limiting transport process is then expressed in terms of a point process that arises as the limit of the randomised point configuration under a certain volume-preserving one-parameter linear group action.

This is a joint work with Andreas Strombergsson

Journées de dynamique du 16 Octobre au 18 Octobre 

de 14h le 16/10 à 17h le 18/10 Amphi Turing SG (déjeuner sur place le 17 et le 18)

http://journees-de-dynamique.imj-prg.fr/

Le lemme de Milnor-Svarc dit que l’entropie d’une variété compacte est non nulle si et seulement si son groupe fondamental est à croissance exponentielle mais ne donne pas de lien entre l’entropie minimale d’une variété et celle de son groupe fondamental. Le but de l’exposé est de voir qu’un tel lien existe lorsque le groupe fondamental est hyperbolique au sens de Gromov.

Le théorème de Furstenberg classique décrit le comportement (presque sûr) d’un produit de matrices aléatoires indépendantes : leur normes ont une croissance exponentielle. Dans un travail avec A. Gorodetski, nous étudions ce qui se passe si ces matrices dépendent d’un paramètre supplémentaire. Dans cette nouvelle situation, la conclusion est différente. C’est-à-dire, sous certaines hypothèses, presque sûrement l’énoncé suivant est vrai: Même si pour presque tous les paramètres les produits ont une croissance exponentielle, il existe un ensemble (aléatoire) résiduel de paramètres « exceptionnels », pour lesquels la limite inférieure de l’exposant de Lyapunov est nulle. Nos résultats sont reliés à la localisation d’Anderson en dimension un, et fournissent un point de vue purement dynamique sur sa preuve. Je discuterai aussi certaines généralisations et questions ouvertes.

Soit $f$ une application méromorphe sur une variété kählérienne 
compacte $X$. A partir d'une suite d'éclatements de $X$, nous construisons 
un espace métrique compact sur lequel f se relève en une application 
continue. Cet espace nous permet de prouver un principe variationnel qui 
est par exemple valable pour les applications méromorphes génériques de
$\mathbb P^2(\mathbb C)$.