Journées de dynamique

10 et 11 Octobre 2024
Université Paris-Cité, Bâtiment Sophie Germain, Amphi Turing

Voici le lien des journées de dynamiques

http://journees-de-dynamique.imj-prg.fr/index.html

Stationary measures are measures which are equal to a convex combination of images of themselves under some transformation. We discuss techniques based on inverse entropy methods for showing that certain stationary measures are absolutely continuous.

De nouveaux résultats découlent de ma conférence de 2011 au
séminaire mais utilisent aussi des idées déjà formulées dans ma
thèse (1998). Sous des hypothèses naturelles et pour des
homéomorphismes, j'obtiens la présence de nombreuses classes de
Nielsen de points fixes et d'orbites périodiques organisées en tresses
typiques, ainsi que des compacts invariants. Je décris ces classes de
Nielsen dans des cartes topologiques contenant les informations
dynamiques relatives à ces homéomorphismes. L'idée de telles cartes
étaient d'une certaine manière déjà présente dans les
sous-variétés invariantes du champ xi que Patrice Le Calvez m'a permis
d'étudier dans ma thèse, mais je les ai obtenues d'une manière
directe et originale, au cours d'une démarche progressive de remise en
question conceptuelle et de confrontation de la théorie avec des
exemples. Les méthodes sont plutôt celles de Smale dans l'étude des
fer à cheval et je dispose de nombreux exemples illustratifs. Les
points fixes et les orbites périodiques apparaissent en grand nombre,
d'autant plus grand que l'entropie des homéomorphismes considérés est
grande ou encore que la complexité géométrique est grande. On peut
établir que les enlacements des points fixes ne font pas de "saut" :
les valeurs de l'enlacement forment un intervalle d'entiers relatifs. De
plus, on peut également décrire la tresse formée par ces points
fixes. Evidemment, cela représente un gros travail dans le cas
général.  De même, on obtient dans la plupart des cas une infinité
d'orbites périodiques, et cela suggère la possibilité d'une nouvelle
preuve de la conjecture de Franks. La présence de nombreux points fixes
et orbites périodiques n'est pas étonnante car par exemple les
polynômes complexes de degré plus grand que 2 possèdent toujours une
infinité d'orbites périodiques. De plus, l'utilisation d'un ordinateur
pour vérifier la présence de ces points fixes s'avère compliquée à
cause de l'instabilité du calcul : de nombreux points fixes
disparaissent. Enfin, cette méthode est conforme à un résultat de
Boris Kolev dans sa thèse. De nombreuses applications de ces résultats
sont également à envisager.

In this ongoing project with A. Gogolev and M. Leguil we show that if two transitive Anosov flows in dimension are conjugated (i.e. time preserving orbit equivalence) and the Jacobian of return times match then the conjugacy is actually smooth. This allows us to derive some corollaries about smoothing systems. In this talk I plan to discuss these results and related problems.

The notion of equidistribution appears first in the ergodic theory meaning roughly that an orbit distributes evenly according certain smooth measure. It has various manifestations in in dynamical systems and geometry, etc. In this talk, we shall show how the phenomenon of equidistribution appears in the problem of closing lemma, minimal surfaces, etc and how the dynamical methods and spectral methods yield equidistribution results.

A contact foliation $(M, \mathcal{F})$ is the orbit foliation of an $\mathbb{R}^q$ action on $M$ which is, in a sense, a high dimensional analogue of the Reeb flow on a contact manifold. Following the Weinstein conjecture for Reeb fields, a natural question emerges: does every contact foliation contain a closed leaf? In this talk, we will see that closed leaves always exist for certain classes of contact foliations, and that their number can be bounded from below using cohomological properties of the foliation itself. 

Je montrerai comment l'étude des surfaces de Riemann munies d'une structure affine permet de montrer que pour a dans R^*, l'application f(x,y) = (x+y^2+ax(x-y), y+x^2+ay(x-y)) a une infinité de domaines paraboliques où les orbites convergent vers l'origine en spiralant dans l'espace des directions.

I will give a survey of the renormalization picture for rotational dynamics which is emerging in one and several dimensions, and will discuss some consequences, such as the smoothness of Arnold tongues and the existence of rotation domains for multi-dimensional maps. 

The problem of the existence of an analytic normal form near an equilibrium point of an area-preserving map and analyticity of the associated coordinate change is a classical problem in dynamical systems going back to Poincaré and Siegel. One important class of examples of area-preserving maps consists of the collision maps for planar billiards. Recently, Treschev discovered a formal bi-axially symmetric billiard with locally linearizable dynamics and conjectured its convergence. Since then, a Gevrey regularity for such a billiard was proven by Q. Wang and K. Zhang, but the original problem about analyticity still remains open. 
        
        We extend the class of billiards by relaxing the symmetry condition and allowing conjugacies to non-linear analytic integrable normal forms. To keep the formal solution unique, odd table derivatives and the normal form are treated as parameters of the problem. We show that for the new problem, the series of the billiard table diverge for general parameters by proving the optimality of Gevrey bounds. The general parameter set is prevalent (in a certain sense has full measure) and it contains an open set. In order to prove that on an open set Taylor series of the table diverges we define a Taylor recurrence operator and prove that it has a cone property. All solutions in that cone are only Gevrey regular and not analytic.

Une application de Hénon quadratique est un automorphisme de $\mathbb{C}^2$ de la forme $h:(x,y)\mapsto (\lambda^{1/2}(x^2+c)-\lambda y,x)$. Elle a un jacobien constant égal à $\lambda$ et admet deux points fixes. Si $\lambda$ est sur le cercle unité (on dit que $h$ est conservative) ces points fixes peuvent être elliptiques ou hyperboliques. Dans le cas elliptique, une simple application du théorème de Siegel montre  (sous une condition diophantienne) que $h$ admet des orbites quasi-périodiques à deux fréquences au voisnage de ses points fixes. De façon étonante, dans certains cas hyperboliques, Shigehiro Ushiki a observé numériquement ce qui semble être des orbites quasi-périodiques alors qu'aucun disque de Siegel n'existe. Je développerai dans l'exposé un cadre théorique qui explique  pourquoi c'est le cas. Celui-ci nous permettra également de prédire et démontrer, dans le cas dissipatif ($\lambda<1$), l'existence d'anneaux de Herman (attractifs). Ces anneaux de Herman, qui n'avaient pas été détectés auparavant, peuvent être exhibés lors d'expériences numériques.

Dans ce travail en collaboration avec Zhiyan Zhao (Nice), on considère des difféomorphismes d'une variété Riemannienne analytique compacte M qui sont des perturbations d'isométries. On considère un groupe de présentation finie de telles perturbations. On  montre, sous certaines conditions que, si ces perturbations sont suffisamment petites alors elles sont simultanément et analytiquement conjuguées aux isométries dont elles sont la perturbation. Notre résultat généralise ceux d' Arnold, Herman et de Moser concernant les perturbations des rotations sur le cercle.

On sait depuis les années 90 que l'ensemble de rotation d'un homéomorphisme du tore homotope à l'identité est convexe et compact, et qu'on peut y lire certaines informations dynamiques (entropie topologique, points périodiques, etc.). J'expliquerai comment ces résultats se généralisent pour les homéomorphismes de surfaces fermées de genre au moins 2 : l'ensemble de rotation ergodique se décompose en un nombre fini de pièces, qui là aussi encodent certaines propriétés dynamiques. Un corollaire particulièrement intéressant est un début de classification des dynamiques d'entropie nulle.

Travail en commun avec A. Garcia et P. Lessa

Dans cet exposé, j'introduirai le principe AbC, qui permet de réaliser le schéma Anosov-Katok pour des symplectomorphismes analytiques. Ce principe permet de résoudre plusieurs problèmes formulés par Birkhoff, Herman, Katok, Fayad, Krikorian. En particulier, il garantit l'existence de symplectomorphismes analytiques de la sphère, du disque ou du cylindre qui soient transitifs et ayant un nombre fini de points périodiques. Cela implique également l'existence de points elliptiques instables pour des symplectomorphismes analytiques de surface.

Je parlerai d'un travail commun avec Yvan Dynnikov, Paul Mercat, Olga Paris-Romaskevich et Sasha Skripchenko. 
J'expliquerai comment étudier certaines familles d'échanges d'intervalles avec flips ainsi que le lien avec une conjecture de Novikov pour les feuilletages sur les surfaces. Cette conjecture dit qu'étant donné une surface triplement périodique, la trace sur la surface d'un feuilletage par une famille de plans parallèles a des propriétés remarquables : génériquement, les feuilles sont compactes ou à distance bornée d'une droite. Nos résultats sur les échanges d'intervalles avec flips impliquent une version faible de la conjecture.

Je présenterai un résultat de saut de dimension d'ensembles limites sur RP^2 pour les représentations de groupes de surfaces dans SL(3,R). Pour les représentations d'Anosov, nous prouvons l'égalité entre la dimension de Hausdorff et la dimension d'affinité. En particulier, il présente un saut de dimension sous perturbation.
L'outil clé est d'étudier les mesures stationnaires de marches aléatoires à support fini sur SL(3,R). Nous montrons que les dimensions de Hausdorff sont égales aux dimensions de Lyapunov sous certaines hypothèses. Ceci est basé sur un travail avec Wenyu Pan et Disheng Xu.

K. Sigmund a montré dans les années soixante-dix que le mélange faible est une propriété générique dans l'espace des mesures invariantes par un flot d'Anosov topologiquement mélangeant. On a depuis cherché à généraliser ce résultat à des systèmes non uniformément hyperboliques ou définis sur des espaces non compacts. J'expliquerai les résultats obtenus pour le flot géodésique, défini sur des variétés à courbure négative ou nulle, pas nécessairement compactes.

I don't know the answer to this question, but I find it interesting and have some things to say about it. I'll discuss a one-parameter family within which pseudo-Anosovs (and generalized pseudo-Anosovs) form a countable dense subset, and describe the structure of the remaining maps in the family: they are called measurable pseudo-Anosovs (mpA). I'll also describe a way of taking quotients of surface diffeomorphisms - the 0-entropy equivalence - which, conjecturally, yields a mpA quotient. If the conjecture holds, it would follow from a result of Bonatti-Crovisier that mpAs form a C^1-residual subset of area-preserving surface diffeomorphisms. 

Nous considérons les endomorphismes partiellement hyperboliques du tore T2 qui admettent une décomposition dominée avec une direction d'expansion faible (centrale) et une direction d'expansion forte, tels que les perturbations de l'application A(x, y) = (3x mod 1, 2x mod 1). Dans ce contexte, nous avons une feuille centrale bien définie. La direction instable forte peut ne pas être intégrable de manière unique (en un feuilletage) dans ce cas, même si des courbes instables fortes existent. L'endomorphisme est appelé spécial lorsque le faisceau instable fort s'intègre de manière unique en un feuilletage. En utilisant l'espace limite inverse, on peut définir des mesures u-Gibbs. L'application linéaire A, par exemple, présente une infinité de mesures u-Gibbs différentes, pour lesquelles le support est une union de courbes compactes instables fortes horizontales. Dans cette présentation je discuterai quelques résultats récents concernant la rigidité des mesures u-Gibbs pour les systèmes partiellement hyperboliques. Dans le cas des endomorphismes partiellement hyperboliques et localement éventuellement surjectifs, nous montrons que, pour les endomorphismes non spéciaux, toute mesure u-Gibbs à support total et ergodique doit être une mesure invariante absolument continue. Nous donnons des exemples d'endomorphismes non spéciaux ayant des courbes instables avec une orbite positive dense, et pour ces exemples, nous pouvons classifier toutes les mesures u-Gibbs. Il s'agit d'un travail conjoint avec Marisa Cantarino (Monash University). Je parlerai aussi de quelques applications de ce résultat qui sont en partie dans un travail en cours avec Martin Andersson (UFF) et Marisa Cantarino.

Le rôle des temps de retour des systèmes dynamiques en tant qu'estimateurs d'entropie est bien connu, et de nombreux résultats existent sur loi des grands nombres, le théorème central limite et la fonction génératrice des cumulants (pression) qui y sont associés. Mais étonnamment, leurs grandes déviations demeuraient peu explorées. En fait, seulement des versions locales du principe des grandes déviations étaient connues, et uniquement pour des mesures d'équilibre de potentiels de Bowen sur les shifts. Après avoir présenté le cadre et la problématique, je parlerai dans cet exposé d'un travail récent avec Renaud Raquépas, dans lequel nous prouvons que, sous des hypothèses de "découplage" très faibles, les temps de retour sur les shifts satisfont le principe des grandes déviations complet. Comme nous le verrons avec des exemples simples, la fonction de taux obtenue n'est typiquement pas convexe.

On considère une bille ponctuelle se déplaçant sur un billard convexe selon une variante dissipative de la loi usuelle. Plus précisément, on suppose les chocs inélastiques, de sorte qu'à chaque collision (non-orthogonale) avec le bord, l’angle sortant par rapport à la normale au point de collision soit strictement plus petit que l'angle d’incidence. L’application billard dissipative ainsi obtenue possède un attracteur global. Dans un travail en commun avec Anna Florio et Olga Bernardi, nous nous intéressons à la complexité topologique/dynamique de cet attracteur, notamment à la manière dont elle dépend de la géométrie du billard et de la force de la dissipation. À cette fin, nous étudions un sous-ensemble invariant de l’attracteur, appelé attracteur de Birkhoff (dont l’étude remonte à G.D. Birkhoff et M. Charpentier, et plus récemment, aux travaux de P. Le Calvez pour des twists de l’anneau dissipatifs généraux) et montrons que pour un billard convexe générique, l’attracteur de Birkhoff va être « simple » (typiquement une variété normalement contractée) lorsque la dissipation est assez forte ; à l’inverse, lorsque la dissipation est assez faible, l’attracteur de Birkhoff va avoir une topologie « compliquée » (continuum indécomposable) et une dynamique riche (ensemble de rotation d’intérieur non-vide, présence de fers à cheval…). 

Le problème planétaire est une approximation presque intégrable des équations du Système solaire, où des planètes se meuvent autour d'un soleil très massif. En première approximation, les planètes décrivent des ellipses de Kepler. En fait, à cause de l'attraction mutuelle des planètes, certains éléments elliptiques varient lentement au fil des révolutions (dynamique séculaire). Le "théorème d'Arnold" montre qu'un ensemble de mesure strictement positive de conditions initiales conduit à des mouvements stables, sans collisions ni éjections, le long desquels les invariants adiabatiques ne subissent que des variations de moyenne nulle. Ce théorème n'interdit toutefois pas de grandes instabilités, comme conjecturé par Arnold en 1964. Il s'avère en effet qu'un ensemble de conditions initiales lui aussi de mesure strictement positive conduit à des comportements aléatoires, permettant par exemple le retournement du plan de révolution d'une planète, ou encore la croissance du demi grand axe d'une autre planète dans un rapport arbitrairement fixé. Le temps de réalisation de telles instabilités est une puissance du rapport des masses du soleil et des planètes. Parmi les invariants adiabatiques, il en ressort une classification locale entre les directions d'instabilité rapide, les directions où l'instabilité, si elle existe, serait exponentiellement lente, et des directions stables. C'est un travail en collaboration avec Andrew Clarke et Marcel Guardia.

On regarde la dynamique des difféomorphismes partiellement hyperboliques de 3-variétés fermées. On s'intéresse a l'existence des régions piégeantes pour la dynamique qui peut être liée a l'étude des laminations invariantes saturées par le feuilletage instable.  Pour certaines classes de ces difféomorphismes, on peut dire des choses à propos de la finitude des attracteurs, leur unicité, ou même le fait que le difféomorphisme n'a pas des régions piegeants (donc, la dynamique est récurrent par chaînes). On va discuter aussi les analogues ergodiques notamment, les mesures u-Gibbs pour ces systèmes. 

Soit une application de Hénon complexe uniformément hyperbolique et dont l’ensemble de Julia n’est pas connexe. Dans un travail avec Misha Lyubich, on donne une description topologique de l’ensemble de Julia qui rappelle la théorie de Branner-Hubbard pour les polynômes de dimension 1. 

14h Viktor Ginzburg:

Topological Entropy of Hamiltonian Systems and Persistence Modules.
Topological entropy is a fundamental invariant of a dynamical system,
measuring its complexity. In this talk, we will focus on connections between the topological entropy of a Hamiltonian dynamical system, e.g., a Hamiltonian diffeomorphism or a geodesic flow, and the underlying Morse or Floer homology viewed as a persistence module. We will recall the definition of barcode entropy — a Morse/Floer theoretic counterpart of topological entropy — and show that barcode entropy is closely related to topological entropy and that, for Hamiltonian diffeomorphisms and geodesic flows in low dimensions, these invariants are equal. Time permitting, we will also touch upon possible ways to extend these definitions and results to Reeb flows. The talk is based on joint work with Erman Cineli, Basak Gurel and Marco Mazzucchelli.

15h45  Frédéric Leroux

Le groupe des automorphismes du graphe fin des courbes d'une surface.
Lan, Margalit, Pham, Verbene et Yao ont montré en 2021 que le groupe des automorphismes du graphe fin des courbes d'une surface de genre au moins
2 s'identifie au groupe des homéomorphismes de la surface. Avec Maxime Wolff, nous généralisons ce résultat à toute surface, et nous en décrivons la version lisse. Les liens entre le graphe fin et la dynamique ont été récemment explorés par Bowden, Hansel, Militon, Man, et webb dans le cas du tore, et généralisés par Guihéneuf et Militon en genre supérieur..

D’après un théorème d’Agol, le groupe fondamental d’une variété compacte de dimension 3 se plonge virtuellement dans le groupe des automorphismes d’un groupe de surface et admet donc une action naturelle par homéomorphismes sur le cercle. Dans cet exposé, j’expliquerai que cette action est topologiquement conjuguée à une action de classe C1. Ce résultat contraste avec diverses réponses au programme de Zimmer, qui prédit que les réseaux de rang supérieur n’admettent pas d’action fidèle sur des variétés de petite dimension.

Nous discuterons d'abord de différentes manières de gérer un entrepôt ou une file d'attente, du point de vue des chaînes de Markov, puis nous expliquerons les liens entre ce problème et l'étude des marches aléatoires sur un espace de réseaux étudiées par Eskin-Margulis et Benoist-Quint. Nos observations nous permettront notamment d'affaiblir les hypothèses de moment dans leurs théorèmes de récurrence et d'équidistribution.
(Travail en commun avec Timothée Bénard.)

Une transformation holomorphe d’un espace projectif est dite PCF si l’union des itérés de son ensemble critique est une sous-variété analytique stricte de l’espace projectif. Ces transformations ont beaucoup été étudiées en dimension 1 et forment un ensemble Zariski dense de paramètres dans l’espace de toutes les transformations d’un même degré d ≥ 2 de la sphère de Riemann.
En dimension plus grande k>1, nous montrons dans un travail en commun avec Johan Taflin et Gabriel Vigny que de tels paramètres sont tous nécessairement contenus dans une sous-variété analytique stricte de l’espace des endomorphismes d’un degré donné de n’espace projectif de dimension k. La preuve repose sur une combinaison de techniques de géométrie et dynamique arithmétique (les fonctions hauteurs et l’équidistribution des petits points) et de techniques de dynamique réelle (les mélangeurs de Bonatti et Diaz) et de géométrie complexe (les courants positifs fermés).
Si le temps le permet, j’évoquerai comment obtenir de façon similaire, dans l’espace des transformations polynomiales de C^2 d’un degré donné, une version plus forte uniforme de ce résultat.
 

Question: Est-ce que toute action linéaire $\rho$ de $\mathbb Z^2$ sur le tore satisfait à la dichotomie ci-dessous?

i) Presque toute action affine dont $\rho$ est la partie linéaire est localement $C^\infty$-rigide (au sens KAM)

ii) L'action $\rho$ est verrouillée (locked) dans le sens que toute action affine de $\mathbb Z^2$ dont elle est la partie linéaire agit sur un sous-tore comme une action de $\mathbb  Z$ qui n'est pas une translation. Dans ce cas, l'action n'est pas localement rigide.

On discutera de certains résultats récents autour de cette question, notamment concernant la rigidité locale des actions paraboliques.

Les actions de groupes sur la droite interviennent dans divers problèmes de dynamique, topologie, et théorie des groupes. Plusieurs méthodes permettent de déterminer si un certain groupe admet ou pas de telles actions. En revanche, essayer de décrire toutes les actions possibles est une tâche moins élémentaire. Suite à un travail de Deroin de 2013, cela revient à décrire un espace compact muni d'un flot "de translation". Dans une série de travaux avec Brum, Matte Bon, et Rivas, nous nous proposons de décrire l'espace de Deroin et son flot de translation pour certaines classes de groupes. Cela permet d'obtenir des résultats d'(in)stabilité pour certaines actions sous petites perturbations, et des résultats de rigidité des actions C1.

La conjecture d’Hofer-Zehnder affirme que le nombre de points périodiques d’un difféomorphisme hamiltonien est ou bien infini ou bien donné par le nombre minimal de points fixes estimé par la conjecture d’Arnold. Dans le cas de l’espace projectif complexe CP^d, cela signifie que le nombre de points périodiques d’un difféomorphisme hamiltonien est ou bien infini ou bien d + 1. Une forme homologique de cette conjecture a été démontrée par Shelukhin en 2019 pour une classe de variétés symplectiques incluant les espaces projectifs complexes, son résultat montre en particulier qu’un difféomorphisme hamiltonien de CP^d ayant plus de d+1 points périodiques non-dégénérés possède une infinité de points périodiques. Dans cet exposé, nous présenterons une généralisation du résultat de Shelukhin aux projectifs à poids qui sont des orbifolds symplectiques. Dans ce cadre orbifold, nous verrons que l’ordre du groupe d’isotropie au-dessus des points fixes joue un rôle remarquable. La preuve de ce théorème repose sur la théorie des fonctions génératrices développée par Givental puis Théret dans les années 90 et ne fait pas intervenir de courbes J-holomorphes.

Utilisant des techniques d'``Embeded Contact Homology'' Michael Hutchings a prouvé il y a quelques années qu'une pseudo rotation irrationnelle lisse du disque a un invariant de Calabi égal au nombre de rotation. Nous donnerons une preuve qui utilise les fonctions génératrices et qui fonctionne également dans le cas $C^1$. Le preuve dit plus précisément que l'enroulement asymptotique entre deux orbites converge uniformément vers le nombre de rotation.

La renormalisation est une des idées les plus puissantes en systèmes dynamiques depuis les années 70. 
Elle consiste à prendre un système d’une certaine forme, regarder son premier retour à un certain domaine, puis à « redimensionner » le domaine de sorte que l’application premier retour ait la même forme. Cette opération sur l’espace des dynamiques est appelée renormalisation. 

Depuis 1971, les travaux de Ruelle et Takens ont laissé ouverte la question suivante. 
Est-ce que l’on peut obtenir toutes les dynamiques après renormalisation d’une perturbation de l’identité ? 

Dans une collaboration avec Gourmelon et Helfter, nous répondons à cette question dans le cadre des dynamiques lisses. De plus, nous démontrons que la renormalisation peut être choisie totale : l’orbite du domaine de renormalisation recouvre tout l’espace ambiant (comme c’est le cas quand on renormalise un difféo du cercle). 
La preuve de notre théorème basée sur un nouveau formalisme utilisant les algèbres de Lie. 

I will focus on surface diffeomorphisms with zero entropy: Can the dynamics of these 'simple' systems be described? How does it bifurcate to positive entropy systems? These questions will be discussed for a class of volume-contracting surface diffeomorphisms whose dynamics is intermediate between one-dimensional dynamics and general surface dynamics. It includes the dynamics of any Hénon diffeomorphism with Jacobian smaller than 1/4.


First, we will try to explain  a joint work with Sylvain Crovisier and Charles Tresser that proved that any Hénon map with zero entropy and Jacobian smaller than 1/4 "is renormalizable" from a topological point of view.  

Later I will discuss a work in progress with Sylvain Crovisier, Jonguk Yang and Misha Lyubich  where we try to extend the topological renormalization to a differentiable one that could help to understand how the dynamics changes under small smooth perturbations.  The proof is based on an "axiomatization of unimodal surface diffeomorphisms" that in particular, requires to develop the notion of "critical point" for surface diffeos.

La théorie KAM faible fait la connection entre la partie de l’étude, due à Mather, des flots
Lagrangiens  et la théorie des solutions de viscosité de l’équation de
Hamilton-Jacobi. Les objets qu’elle considère sont le potentiel de Mañé
(action minimale entre 2 points, la barrière de Peierls, l’ensemble d’Aubry
ainsi que les solutions de viscosité qui donnent une partie de la “variété stable”
de l’ensemble d’Aubry. Nous commencerons par rappeler toutes ces notions.

Suite à une idée d’Antonio Siconolfi (vielle d’une vingtaine d’année), nous montrons comment
obtenir uniquement à partir du potentiel de Mañé tous les autres objets.
Ce qui permet d’étendre grandement l’applicabilité de la théorie.

As discovered by Poincaré in the end of the 19th century, even small perturbations of very regular dynamical systems may display chaotic features, due to complicated interactions near a homoclinic point. In the 1960's Smale attempted to understand such dynamics in term of a stable model, the horseshoe, but this was too optimistic.Indeed, Newhouse showed that even in only two  dimensions, a homoclinic bifurcation gives rise to particular wild dynamics, such as the generic presence  of infinitely many attractors. This Newhouse phenomenon is associated to a renormalization mechanism, but also with particular geometric properties of some fractal sets within a Smale horseshoe. When considering two-dimensional complex dynamics those fractal sets become much more beautiful but unfortunately also more difficultto handle.

Les meilleures bornes connues (sous conditions Diophantiennes) sur les sommes de Weyl pour les polynômes de degré au moins 3 découlent de la preuve par Bourgain, Demeter et Guth (2016) de la conjecture de Vinogradov. Une autre preuve de cette conjecture a été donnée par T. Wooley (2012-17). En collaboration avec L. Flaminio, nous donnons une preuve directe de ces bornes, qui complète des résultats partiels précédents, basée sur un résultat de vitesse d'ergodicité pour certains flots nilpotents ou des skew-shifts linéaires sur les tores. Les techniques utilisées (renormalisation, équation cohomologique, distributions invariantes) ont été développées dans l'étude des problèmes similaires en dynamique ''parabolique'' (phénomène de Zorich pour les échanges d'intervalles, flots horocycliques et flots horocycliques tordus en courbure constante, flots nilpotents d'Heisenberg).

Le feuilletage instable d'un difféomorphisme d'Anosov mélangeant est minimal. Dans cet exposé, nous nous intéresserons aux feuilletages tangents à une direction fortement instable, pour des systèmes uniformément hyperboliques ou partiellement hyperboliques : nous discuterons la minimalité du feuilletage et sa stabilité par perturbation. (Travail en collaboration avec A. Avila et A. Wilkinson.)

Je m'intéresserai dans cet exposé à la dynamique  des difféomorphismes réels analytiques du plan ou du cylindre,   ``twist '' (ils dévient la verticale) et   ``conservatifs'' (symplectiques ou possédant   la propriété d'intersection).  Notons $A$ l'ensemble de ces difféomorphismes. Les questions que j'aborderai seront les suivantes : (1) Soit un difféomorphisme $f$ dans la classe $A$  qui admet  une courbe invariante (essentielle)  diophantienne $C^3$ ; existe-t-il une suite $f_{n}$ de difféomorphismes dans la classe  $A$ qui converge en topologie analytique forte (i.e. sur une même bande d'analyticité) vers $f$ et telle que chaque $f_{n}$ admette un anneau ouvert de courbes invariantes (en d'autres termes peut-on épaissir la courbe invariante de $f$) ? (2) Est-il possible de construire des exemples non triviaux de difféomorphismes dans la classe $A$ qui sont d'entropie topologique nulle ? (3) Est-il possible de construire un difféomorphisme dans $A$ pour lequel entropie topologique nulle et strictement positive accumulent l'origine ? Je montrerai que l'on peut répondre positivement à ces questions au moins dans la catégorie des difféomorphismes possédant la propriété d'intersection. Les ingrédients des preuves sont la théorie KAM et un argument de redressement de structures complexes intégrables.

Consider a smooth area-preserving -or locally Hamiltonian- flow on a surface S of genus g≥1 with Morse saddles.  Birkhoff integrals of smooth observables along the trajectories  are well known to display polynomial deviations, a phenomenon conjectured by Kontsevich and Zorich and proved by Forni and Avila-Viana for a large class of regular observables. We will present a new proof which allows to consider also the case of observables which are non-zero at the saddle points (based on 'correction' operators a' la Marmi-Moussa-Yoccoz for functions with logarithmic singularities over IETs). The result has an application to the infinite ergodic theory of R-extensions of locally Hamiltonian flows (studied in genus one by Krygin and Fayad-Lemanczyk): we show the existence of ergodic infinite extensions for a full measure set of locally Hamiltonian flows with non-degenerate saddles in any genus g≥2.

 Étant donné un groupe $\Gamma$ (finiment engendré) et une variété $M$, on peut s'interroger sur la topologie de l'espace des actions de $\Gamma$ sur $M$. On s'intéresse ici à la connexité d'un tel espace dans le cas où $\Gamma$ est abélien libre et $M=[0,1]$, qui joue un rôle clef dans l'étude des feuilletages en surfaces des variétés de dimension $3$. Une façon simple de déformer une action est de le faire par conjugaison. On s'intéressera dans cet exposé aux obstructions à rapprocher une telle action de l'action triviale par conjugaison, dans différentes classes de différentiabilité.

The pentagram map on polygons in the projective plane was introduced
by R. Schwartz in 1992 and is by now one of the most popular and
classical discrete integrable systems. We survey definitions and
integrability properties of the pentagram maps on generic plane
polygons and their generalizations to higher dimensions. In
particular, we define long-diagonal pentagram maps on polygons in
RP^d, encompassing all known integrable cases. We also describe the
corresponding continuous limit of such pentagram maps: in dimension d
is turns out to be the (2, d + 1)-equation of the KdV hierarchy,
generalizing the Boussinesq equation in 2D. This is a joint work with
F.Soloviev and A.Izosimov.

Survey on recent results about the regularity of
the Lyapunov exponents of random cocycles, the class of linear cocycles
generated by  products of  i.i.d. GL(2,R) valued random processes.

Dans cet exposé, nous nous intéresserons aux difféomorphismes d’Anosov du tore $\mathbb{T}^3$ possédant une décomposition partiellement hyperbolique $\mathbb{T}^3 = E^s \oplus E^c \oplus E^u$, où le fibré central $E^c$ correspond à une direction instable faible. On peut considérer le feuilletage instable de dimension deux $W^{cu}$ tangent au fibré $E^c \oplus E^u$, mais aussi le feuilletage instable fort unidimensionnel tangent au fibré $E^u$. De tels systèmes possèdent une unique mesure invariante dont les désintégrations selon les feuilles de $W^{cu}$ sont absolument continues : il s’agit de la mesure SRB. On peut considérer également une autre classe de mesures, dont l’étude a été initiée par Pesin et Sinai : les mesures u-Gibbs, dont les désintégrations selon les feuilles de $W^{u}$ sont absolument continues. Il est bien connu que la mesure SRB est u-Gibbs. Inversement, dans un travail en commun avec Sébastien Alvarez, Davi Obata et Bruno Santiago, nous montrons qu'au voisinage des systèmes conservatifs, si les fibrés forts $E^s$ et $E^u$ ne sont pas conjointement intégrables, alors toute mesure u-Gibbs est SRB ; en particulier, il existe alors une unique mesure u-Gibbs. Notre preuve emprunte à différents travaux sur la rigidité de la mesure, notamment une version de l’argument de dérive exponentielle présente chez Eskin-Lindenstrauss, mais aussi à l’article de Brown et Rodriguez-Hertz sur les produits aléatoires de difféomorphismes de surfaces.

My talk is a kind of review of problems and recent results regarding smooth curvesin the moduli space of translation surfaces and Teichmüller positive  
semi-orbits starting from such curves. I plan to present some abstract results about the  
recurrence or equidistribution of Teichmüller positive semi-orbits starting from almost every element  
of the curve. The main part of the talk are applications that motivate abstract results. Two  
main applications relate to billiards on nibbled ellipses and impact Hamiltonian systems.

We present results on the existence of quasi-periodic attractors for conformally symplectic systems in non-perturbative regimes. Conformally symplectic systems are characterized by the property that they transform the symplectic form into a multiple of itself. For such systems, finding the solution requires to add a drift parameter. We provide a very explicit quantitative theorem in an a-posteriori format: assuming the existence of an approximate solution, which satisfies an invariance equation up to an error term which is small enough with respect to explicit condition numbers, then we can state the existence of a solution nearby.

The method can also be used to prove the existence of whiskered tori for conformally symplectic systems and to give a characterization of the analyticity domains of the quasi--periodic attractors in the symplectic limit.

The theorem provides also a very efficient algorithm to generate the solution, which can be implemented successfully in model problems and physically meaningful examples.

The content of this talk refers to works in collaboration with R. Calleja and R. de la Llave.

We describe recent results about bifurcation of time quasi periodic traveling solutions of gravity capillary water waves equations with space periodic boundary conditions of 2d incompressible fluids.

Pour tout pavage du plan par polygones définissions un billard suivant. Une bille suit un segment d'une droite dans une tuile et puis, dès qu’elle arrive au bord, elle passe dans une tuile voisine en suivant la loi de réfraction de Snell-Descartes avec le coefficient de réfraction k=-1. Ces billards étaient définis par Diana Davis et ses collaborateurs. L’étude générale de tels billards n’existe pas encore.

Je raconterai ce qui est connu dans les deux cas les plus simples (et déjà assez complexes) — les pavages périodiques par triangles et quadrilatères cycliques congruents.

Toutes les orbites bornées de ces systèmes dynamiques sont périodiques ! Est-ce que vous comprenez pourquoi ?…

Je m’appuierai sur mon travail de l’année dernière Trees and flowers on a billiard table et sur le travail en cours avec Ivan Dynnikov, Pascal Hubert, Paul Mercat et Alexandra Skripchenko.

We prove that generically in $\diff^{1}_{m}(M)$, if an expanding $f$-invariant foliation $W$ of dimension $u$ is minimal and there is a periodic point of unstable index $u$, the foliation is stably minimal. By this we mean there is a $C^{1}$-neighborhood $\U$ of $f$ such that for all $C^{2}$-diffeomorphisms $g\in \U$, the $g$-invariant continuation of $W$ is minimal. In particular, all such $g$ are topologically mixing. Moreover, all such $g$ have a hyperbolic ergodic component of the volume measure $m$ which is essentially dense. This component is, in fact, Bernoulli.

We provide new examples of stably minimal diffeomorphisms which are not partially hyperbolic.

La théorie KAM classique établit la persistance de la plupart de tores invariants de dimension égale au nombre de degrés de liberté du système pour les hamiltoniens intégrables non-dégénérés. Les tores survivants seront ceux avec un vecteur de rotation diophantien. Néanmoins, des familles de tores invariants de dimension inférieure au nombre de degrés de liberté existent naturellement dans les systèmes intégrables comme des feuilletages de tores invariants résonants. Dans cet exposé je présenterai un critère pour la persistance d'au moins un des tores du feuilletage associé à un tore invariant résonant.

Artur Avila et Marcelo Viana ont démontré une version non-linéaire du critère de positivité des exposants de Lyapunov des cocycles matriciels (due à Furstenberg, Ledrappier,…), qui a eu diverses conséquences sur l’étude des dynamiques partiellement hyperboliques à centre compact. Avec Mauricio Poletti nous généralisons leur « principe d’invariance » à des dynamiques partiellement hyperboliques dont le centre n’est plus compact. Je donnerai quelques applications.
 

Journée dynamique dédiée à l'anniversaire de 60 ans de Christian Bonatti au séminaire Brésilien Resistência Dinâmica.

Les informations relatives à cette journée sont disponibles sur la page web suivante:

http://resistenciadinamica.wikidot.com

Nous montrons qu'un flot d'Anosov en dimension 3 qui est $C^\infty$ et mélangeant topologiquement, mélange exponentiellement vite par rapport à toutes les mesures d'équilibre avec potentiels Hölder. Travail en collaboration avec Mastao Tsujii.

Après un nécessaire rappel sur la théorie spectrale des surfaces hyperboliques considérées, on définira une notion de famille de revêtements aléatoires de surfaces basée sur un modèle de graphe régulier aléatoire. On énoncera ensuite des résultats probabilistes de trou spectral explicite uniforme, dans la limite de haut degré, qui généralisent en un certain sens le théorème du 3/16 de Selberg. Travail en commun avec M. Magee.

On s’intéresse à l’équivalence locale en l’origine de la surface de Bishop non exceptionnelle. Suivant le travail de Moser-Webster, on montre la normalisation sur la couronne au lieu du voisinage de l’origine pour le cas hyperbolique. Cela signifie l’existence d’une famille de hyperboles (sur les bonnes cordonnées).

Nous donnerons des applications de l’étude de la cohomologie des flots homogènes unipotents. La première porte sur une simple preuve d'un théorème de Kanigowski-Lemańczik-Ulcigrai, sur la disjonction mesurable des reparamétrisations du flot horocyclique. La deuxième porte sur le calcul de la cohomologie réduite en degré 2 du feuilletage faiblement contractant associé à une surface de Riemann de genre $> 1$, une question posée par Matsumoto. Si le temps le permet, on discutera de l'application à la conjecture de Sarnak dans le cadre des flots nilpotents.

Le lemme de Borel Cantelli est un outil classique pour décider si un nombre infini d'évènements rares se réalisera presque sûrement. Mais il ne donne aucune information sur la répartition dans le temps des réalisations.  Nous étendons le lemme de Borel Cantelli pour caractériser l'occurence multiple d'évènements dans une même échelle de temps. 

Pour des systèmes dynamiques exponentiellement mélangeants, notre extension nous permet d'obtenir des lois du logarithme "multiples" dans divers contextes. J'exposerai en particulier des lois caractérisant la récurrence multiple et les visites multiples pour ces systèmes. Nous discuterons certaines applications, comme par exemple aux excursions géodésiques ou aux approximations diophantiennes. En collaboration avec Dmitry Dolgopyat et Sixu Liu.

Soit $M$ une variété riemannienne à courbure négative pincée, dont le  fibré tangent unitaire est muni d'une mesure de Gibbs $m_F$ associée à un potentiel $F$. Nous étudions le comportement de pénétration asymptotique presque sûre des géodésiques de $M$ dans des petits voisinages tubulaires de géodésiques fermées fixées. Nous montrons des résultat de type Khintchine ou loi du logarithme pour un tel spiralement de géodésiques. Comme conséquence arithmétique, nous donnons des résultats d'approximation Diophantienne presque sûrs pour l'approximation de réels par des irrationnels quadratiques par rapport aux mesures höldériennnes quasi-invariantes générales. Il s'agit d'un travail en commun avec Mark Pollicott.

Pour un nombre réel α donné, plaçons les points 0,α,2α, · · · , Nα sur le cercle unité. Ces points divisent le cercle unité en intervalles ayant au plus trois longueurs, l’une étant la somme des deux autres. Il s’agit du théorème des trois distances. Nous considérons ici deux versions multidimensionnelles duales de cet énoncé. L'une  de ces versions  consiste à placer les points nα+mβ sur le cercle unité. Génériquement, le nombre de distances devient alors infini, comme l’ont prouvé A. Haynes and J. Marklof.  Nous  montrons comment   obtenir  effectivement  des situations génériques   et non génériques.  
Il s'agit d'un travail en collaboration avec P. Arnoux, D. H. Kim, W. Steiner et J. Thuswaldner. 

Soient $\Gamma'<\Gamma$ deux groupes discrets d'isométries d'un espace Gromov-hyperbolique X. Dans un travail commun avec Rémi Coulon, Rhiannon Dougall et Samuel Tapie, nous avons démontré que lorsque l'action de $\Gamma$ sur $X$ est SPR,  leurs exposants critiques coincident ssi $\Gamma/\Gamma'$ est moyennable. De plus, les hypothèses sont optimales. Dans mon exposé, j'expliquerai cet énoncé, et introduirai l'outil fondamental de la preuve, les mesures de Patterson-Sullivan twistées.

In agreement with a conjecture of Arnold-Kozlov-Neishtadt, we prove  
that, generically, the union of
Lagrangian tori in analytic mechanical nearly-integrable systems with  
2 degrees of freedom fills, up to an exponentially small set, any region where the  
frequencies do not vanish simultaneously.

 

Avila-Lyubich-de Melo proved that the topological conjugacy classes of unimodal real-analytic maps are complex analytic manifolds, which laminate a neighbourhood of any such mapping without a neutral cycle. Their proof that the manifolds are complex analytic depends on the fact that they have codimension-one in the space of unimodal mappings.  In joint work with Trevor Clark, we show how to construct a “pruned polynomial-like mapping" associated to a real mapping. This gives a new complex extension of a real-analytic mapping.
The additional structure provided by this extension, makes it possible to generalize this result of Avila-Lyubich-de Melo to interval mappings with several critical points. Thus we show that the conjugacy classes are complex analytic manifolds whose codimension is determined by the number of critical points.
Building on these ideas, we believe we can show that in the space of unimodal mappings with negative Schwarzian derivative, the conjugacy classes laminate a neighbourhood of every mapping, answering a question of Avila-Lyubich-de Melo. Joint work with Trevor Clark. 

La composante de Hitchin est une composante connexe préférée de la variété des caractères X(\pi_1S,G)=\hom(\pi_1S,G)/G, où S est une surface fermée de nombre d'Euler négatif et G est un groupe de Lie  simple déployé. Des constructions thermodynamiques munissent cette composante des formes bilinéaires symétriques dites "formes de  pression". Ces formes sont invariantes par l'action naturelle du groupe modulaire de la surface dans X(\pi_1S,G). 

Le but de l'exposé est d'expliquer une interprétation géométrique de quelques unes de ces formes, généralisant ainsi un résultat célèbre de Bridgeman-Taylor et McMullen concernant le Hessien de la dimension de Hausdorff dans l'espace des représentations quasi-Fuchsiennes. Ceci  est un travail en commun avec M. Bridgeman, B. Pozzetti et A. Wienhard.

On discutera des problèmes de rigidité du spectre marqué des longueurs des flot géodésiques Anosov, et le lien avec la distance de Thurston et la notion d'étirement géodésique. Il s'agit d'un travail avec Gerhard Knieper et Thibault Lefeuvre. 
 

Nous donnerons des applications de l’étude de la cohomologie 
des flots homogènes unipotents. La première porte sur une simple preuve d'un théorème
de Kanigowski-Lemańczik-Ulcigrai, sur la disjonction mesurable des reparamétrisations du flot
horocyclique.  La deuxième porte sur le calul de la cohomologie réduite en degré 2 du feuilletage 
faiblement contractant associé à une surface de Riemann de genre $> 1$, une question posée par Matsumoto.
Si le temps le permet, on discutera aussi d'une application à la conjecture de Sarnak pour les flots nilpotents.

Soient $h:X\to X$ une application continue et $A,B\subset X$.
On étudie le problème suivant:

Trouver une fonction continue $f:X\to {\bf R}$ avec $f|A\leq 0$ et $f|B\geq n$ sous la contrainte dynamique 
$fh-f\leq 1$.

Ce problème a été posé par Entov et Polterovich qui l'utilisent pour trouver des 
orbites d'un système hamiltonian connectant deux ensembles donnés.

We discuss the notion of Lorenz attractor, study the question of its periodic perturbation, and show how discrete analogues of the Lorenz attractor emerge in various homoclinic bifurcations and bifurcations of periodic orbits.

Giulietti et Liverani ont introduit une classe de flots uniquement
ergodiques associés aux difféomorphismes d'Anosov $F$
du tore $\T^2$, et étudié leurs moyennes ergodiques
à l'aide d'un opérateur de transfert pondéré pour $F$.
En utilisant la fonction zêta d'Artin-Mazur et des
espaces anisotropes appropriés, nous montrons
que cet opérateur de transfert n'a pas de valeurs propres
non triviales et par conséquent il n'y a pas de déviations aux moyennes
ergodiques. Notre preuve donne aussi un contrôle de la vitesse
de mélange de la mesure d'entropie maximale des difféomorphismes
d'Anosov du tore $\T^2$.

The Lorentz gas is one of the simplest and most widely-studied models for particle transport in matter. It describes a cloud of non-interacting gas particles in an infinitely extended array of identical spherical scatterers, whose radii are small compared to their mean separation. The model was introduced by Lorentz in 1905 who, following the pioneering ideas of Maxwell and Boltzmann, postulated that its macroscopic transport properties should be governed by a linear Boltzmann equation. A rigorous derivation of the linear Boltzmann equation from the underlying particle dynamics was given, for random scatterer configurations, in three seminal papers by Gallavotti, Spohn and Boldrighini-Bunimovich-Sinai. The objective of this lecture is to develop an approach for a large class of deterministic scatterer configurations, including various types of quasicrystals. We prove the convergence of the particle dynamics to transport processes that are in general (depending on the scatterer configuration) not described by the linear Boltzmann equation. This was previously understood only in the case of the periodic Lorentz gas through work of Caglioti-Golse and Marklof-Strombergsson. Our results extend beyond the classical Lorentz gas with hard sphere scatterers, and in particular hold for general classes of spherically symmetric finite-range potentials. We employ a rescaling technique that randomises the point configuration given by the scatterers' centers. The limiting transport process is then expressed in terms of a point process that arises as the limit of the randomised point configuration under a certain volume-preserving one-parameter linear group action.

This is a joint work with Andreas Strombergsson

Journées de dynamique du 16 Octobre au 18 Octobre 

de 14h le 16/10 à 17h le 18/10 Amphi Turing SG (déjeuner sur place le 17 et le 18)

http://journees-de-dynamique.imj-prg.fr/

Le lemme de Milnor-Svarc dit que l’entropie d’une variété compacte est non nulle si et seulement si son groupe fondamental est à croissance exponentielle mais ne donne pas de lien entre l’entropie minimale d’une variété et celle de son groupe fondamental. Le but de l’exposé est de voir qu’un tel lien existe lorsque le groupe fondamental est hyperbolique au sens de Gromov.

Le théorème de Furstenberg classique décrit le comportement (presque sûr) d’un produit de matrices aléatoires indépendantes : leur normes ont une croissance exponentielle. Dans un travail avec A. Gorodetski, nous étudions ce qui se passe si ces matrices dépendent d’un paramètre supplémentaire. Dans cette nouvelle situation, la conclusion est différente. C’est-à-dire, sous certaines hypothèses, presque sûrement l’énoncé suivant est vrai: Même si pour presque tous les paramètres les produits ont une croissance exponentielle, il existe un ensemble (aléatoire) résiduel de paramètres « exceptionnels », pour lesquels la limite inférieure de l’exposant de Lyapunov est nulle. Nos résultats sont reliés à la localisation d’Anderson en dimension un, et fournissent un point de vue purement dynamique sur sa preuve. Je discuterai aussi certaines généralisations et questions ouvertes.

Soit $f$ une application méromorphe sur une variété kählérienne 
compacte $X$. A partir d'une suite d'éclatements de $X$, nous construisons 
un espace métrique compact sur lequel f se relève en une application 
continue. Cet espace nous permet de prouver un principe variationnel qui 
est par exemple valable pour les applications méromorphes génériques de
$\mathbb P^2(\mathbb C)$.