Séminaires : Séminaire de Systèmes Dynamiques

As discovered by Poincaré in the end of the 19th century, even small perturbations of very regular dynamical systems may display chaotic features, due to complicated interactions near a homoclinic point. In the 1960's Smale attempted to understand such dynamics in term of a stable model, the horseshoe, but this was too optimistic.Indeed, Newhouse showed that even in only two  dimensions, a homoclinic bifurcation gives rise to particular wild dynamics, such as the generic presence  of infinitely many attractors. This Newhouse phenomenon is associated to a renormalization mechanism, but also with particular geometric properties of some fractal sets within a Smale horseshoe. When considering two-dimensional complex dynamics those fractal sets become much more beautiful but unfortunately also more difficultto handle.

Les meilleures bornes connues (sous conditions Diophantiennes) sur les sommes de Weyl pour les polynômes de degré au moins 3 découlent de la preuve par Bourgain, Demeter et Guth (2016) de la conjecture de Vinogradov. Une autre preuve de cette conjecture a été donnée par T. Wooley (2012-17). En collaboration avec L. Flaminio, nous donnons une preuve directe de ces bornes, qui complète des résultats partiels précédents, basée sur un résultat de vitesse d'ergodicité pour certains flots nilpotents ou des skew-shifts linéaires sur les tores. Les techniques utilisées (renormalisation, équation cohomologique, distributions invariantes) ont été développées dans l'étude des problèmes similaires en dynamique ''parabolique'' (phénomène de Zorich pour les échanges d'intervalles, flots horocycliques et flots horocycliques tordus en courbure constante, flots nilpotents d'Heisenberg).

Le feuilletage instable d'un difféomorphisme d'Anosov mélangeant est minimal. Dans cet exposé, nous nous intéresserons aux feuilletages tangents à une direction fortement instable, pour des systèmes uniformément hyperboliques ou partiellement hyperboliques : nous discuterons la minimalité du feuilletage et sa stabilité par perturbation. (Travail en collaboration avec A. Avila et A. Wilkinson.)

Je m'intéresserai dans cet exposé à la dynamique  des difféomorphismes réels analytiques du plan ou du cylindre,   ``twist '' (ils dévient la verticale) et   ``conservatifs'' (symplectiques ou possédant   la propriété d'intersection).  Notons $A$ l'ensemble de ces difféomorphismes. Les questions que j'aborderai seront les suivantes : (1) Soit un difféomorphisme $f$ dans la classe $A$  qui admet  une courbe invariante (essentielle)  diophantienne $C^3$ ; existe-t-il une suite $f_{n}$ de difféomorphismes dans la classe  $A$ qui converge en topologie analytique forte (i.e. sur une même bande d'analyticité) vers $f$ et telle que chaque $f_{n}$ admette un anneau ouvert de courbes invariantes (en d'autres termes peut-on épaissir la courbe invariante de $f$) ? (2) Est-il possible de construire des exemples non triviaux de difféomorphismes dans la classe $A$ qui sont d'entropie topologique nulle ? (3) Est-il possible de construire un difféomorphisme dans $A$ pour lequel entropie topologique nulle et strictement positive accumulent l'origine ? Je montrerai que l'on peut répondre positivement à ces questions au moins dans la catégorie des difféomorphismes possédant la propriété d'intersection. Les ingrédients des preuves sont la théorie KAM et un argument de redressement de structures complexes intégrables.

Consider a smooth area-preserving -or locally Hamiltonian- flow on a surface S of genus g≥1 with Morse saddles.  Birkhoff integrals of smooth observables along the trajectories  are well known to display polynomial deviations, a phenomenon conjectured by Kontsevich and Zorich and proved by Forni and Avila-Viana for a large class of regular observables. We will present a new proof which allows to consider also the case of observables which are non-zero at the saddle points (based on 'correction' operators a' la Marmi-Moussa-Yoccoz for functions with logarithmic singularities over IETs). The result has an application to the infinite ergodic theory of R-extensions of locally Hamiltonian flows (studied in genus one by Krygin and Fayad-Lemanczyk): we show the existence of ergodic infinite extensions for a full measure set of locally Hamiltonian flows with non-degenerate saddles in any genus g≥2.

 Étant donné un groupe $\Gamma$ (finiment engendré) et une variété $M$, on peut s'interroger sur la topologie de l'espace des actions de $\Gamma$ sur $M$. On s'intéresse ici à la connexité d'un tel espace dans le cas où $\Gamma$ est abélien libre et $M=[0,1]$, qui joue un rôle clef dans l'étude des feuilletages en surfaces des variétés de dimension $3$. Une façon simple de déformer une action est de le faire par conjugaison. On s'intéressera dans cet exposé aux obstructions à rapprocher une telle action de l'action triviale par conjugaison, dans différentes classes de différentiabilité.

The pentagram map on polygons in the projective plane was introduced
by R. Schwartz in 1992 and is by now one of the most popular and
classical discrete integrable systems. We survey definitions and
integrability properties of the pentagram maps on generic plane
polygons and their generalizations to higher dimensions. In
particular, we define long-diagonal pentagram maps on polygons in
RP^d, encompassing all known integrable cases. We also describe the
corresponding continuous limit of such pentagram maps: in dimension d
is turns out to be the (2, d + 1)-equation of the KdV hierarchy,
generalizing the Boussinesq equation in 2D. This is a joint work with
F.Soloviev and A.Izosimov.

Survey on recent results about the regularity of
the Lyapunov exponents of random cocycles, the class of linear cocycles
generated by  products of  i.i.d. GL(2,R) valued random processes.

Dans cet exposé, nous nous intéresserons aux difféomorphismes d’Anosov du tore $\mathbb{T}^3$ possédant une décomposition partiellement hyperbolique $\mathbb{T}^3 = E^s \oplus E^c \oplus E^u$, où le fibré central $E^c$ correspond à une direction instable faible. On peut considérer le feuilletage instable de dimension deux $W^{cu}$ tangent au fibré $E^c \oplus E^u$, mais aussi le feuilletage instable fort unidimensionnel tangent au fibré $E^u$. De tels systèmes possèdent une unique mesure invariante dont les désintégrations selon les feuilles de $W^{cu}$ sont absolument continues : il s’agit de la mesure SRB. On peut considérer également une autre classe de mesures, dont l’étude a été initiée par Pesin et Sinai : les mesures u-Gibbs, dont les désintégrations selon les feuilles de $W^{u}$ sont absolument continues. Il est bien connu que la mesure SRB est u-Gibbs. Inversement, dans un travail en commun avec Sébastien Alvarez, Davi Obata et Bruno Santiago, nous montrons qu'au voisinage des systèmes conservatifs, si les fibrés forts $E^s$ et $E^u$ ne sont pas conjointement intégrables, alors toute mesure u-Gibbs est SRB ; en particulier, il existe alors une unique mesure u-Gibbs. Notre preuve emprunte à différents travaux sur la rigidité de la mesure, notamment une version de l’argument de dérive exponentielle présente chez Eskin-Lindenstrauss, mais aussi à l’article de Brown et Rodriguez-Hertz sur les produits aléatoires de difféomorphismes de surfaces.

My talk is a kind of review of problems and recent results regarding smooth curvesin the moduli space of translation surfaces and Teichmüller positive  
semi-orbits starting from such curves. I plan to present some abstract results about the  
recurrence or equidistribution of Teichmüller positive semi-orbits starting from almost every element  
of the curve. The main part of the talk are applications that motivate abstract results. Two  
main applications relate to billiards on nibbled ellipses and impact Hamiltonian systems.

We present results on the existence of quasi-periodic attractors for conformally symplectic systems in non-perturbative regimes. Conformally symplectic systems are characterized by the property that they transform the symplectic form into a multiple of itself. For such systems, finding the solution requires to add a drift parameter. We provide a very explicit quantitative theorem in an a-posteriori format: assuming the existence of an approximate solution, which satisfies an invariance equation up to an error term which is small enough with respect to explicit condition numbers, then we can state the existence of a solution nearby.

The method can also be used to prove the existence of whiskered tori for conformally symplectic systems and to give a characterization of the analyticity domains of the quasi--periodic attractors in the symplectic limit.

The theorem provides also a very efficient algorithm to generate the solution, which can be implemented successfully in model problems and physically meaningful examples.

The content of this talk refers to works in collaboration with R. Calleja and R. de la Llave.

We describe recent results about bifurcation of time quasi periodic traveling solutions of gravity capillary water waves equations with space periodic boundary conditions of 2d incompressible fluids.

Pour tout pavage du plan par polygones définissions un billard suivant. Une bille suit un segment d'une droite dans une tuile et puis, dès qu’elle arrive au bord, elle passe dans une tuile voisine en suivant la loi de réfraction de Snell-Descartes avec le coefficient de réfraction k=-1. Ces billards étaient définis par Diana Davis et ses collaborateurs. L’étude générale de tels billards n’existe pas encore.

Je raconterai ce qui est connu dans les deux cas les plus simples (et déjà assez complexes) — les pavages périodiques par triangles et quadrilatères cycliques congruents.

Toutes les orbites bornées de ces systèmes dynamiques sont périodiques ! Est-ce que vous comprenez pourquoi ?…

Je m’appuierai sur mon travail de l’année dernière Trees and flowers on a billiard table et sur le travail en cours avec Ivan Dynnikov, Pascal Hubert, Paul Mercat et Alexandra Skripchenko.

We prove that generically in $\diff^{1}_{m}(M)$, if an expanding $f$-invariant foliation $W$ of dimension $u$ is minimal and there is a periodic point of unstable index $u$, the foliation is stably minimal. By this we mean there is a $C^{1}$-neighborhood $\U$ of $f$ such that for all $C^{2}$-diffeomorphisms $g\in \U$, the $g$-invariant continuation of $W$ is minimal. In particular, all such $g$ are topologically mixing. Moreover, all such $g$ have a hyperbolic ergodic component of the volume measure $m$ which is essentially dense. This component is, in fact, Bernoulli.

We provide new examples of stably minimal diffeomorphisms which are not partially hyperbolic.

La théorie KAM classique établit la persistance de la plupart de tores invariants de dimension égale au nombre de degrés de liberté du système pour les hamiltoniens intégrables non-dégénérés. Les tores survivants seront ceux avec un vecteur de rotation diophantien. Néanmoins, des familles de tores invariants de dimension inférieure au nombre de degrés de liberté existent naturellement dans les systèmes intégrables comme des feuilletages de tores invariants résonants. Dans cet exposé je présenterai un critère pour la persistance d'au moins un des tores du feuilletage associé à un tore invariant résonant.

Artur Avila et Marcelo Viana ont démontré une version non-linéaire du critère de positivité des exposants de Lyapunov des cocycles matriciels (due à Furstenberg, Ledrappier,…), qui a eu diverses conséquences sur l’étude des dynamiques partiellement hyperboliques à centre compact. Avec Mauricio Poletti nous généralisons leur « principe d’invariance » à des dynamiques partiellement hyperboliques dont le centre n’est plus compact. Je donnerai quelques applications.
 

Journée dynamique dédiée à l'anniversaire de 60 ans de Christian Bonatti au séminaire Brésilien Resistência Dinâmica.

Les informations relatives à cette journée sont disponibles sur la page web suivante:

http://resistenciadinamica.wikidot.com

Nous montrons qu'un flot d'Anosov en dimension 3 qui est $C^\infty$ et mélangeant topologiquement, mélange exponentiellement vite par rapport à toutes les mesures d'équilibre avec potentiels Hölder. Travail en collaboration avec Mastao Tsujii.

Après un nécessaire rappel sur la théorie spectrale des surfaces hyperboliques considérées, on définira une notion de famille de revêtements aléatoires de surfaces basée sur un modèle de graphe régulier aléatoire. On énoncera ensuite des résultats probabilistes de trou spectral explicite uniforme, dans la limite de haut degré, qui généralisent en un certain sens le théorème du 3/16 de Selberg. Travail en commun avec M. Magee.

On s’intéresse à l’équivalence locale en l’origine de la surface de Bishop non exceptionnelle. Suivant le travail de Moser-Webster, on montre la normalisation sur la couronne au lieu du voisinage de l’origine pour le cas hyperbolique. Cela signifie l’existence d’une famille de hyperboles (sur les bonnes cordonnées).

Nous donnerons des applications de l’étude de la cohomologie des flots homogènes unipotents. La première porte sur une simple preuve d'un théorème de Kanigowski-Lemańczik-Ulcigrai, sur la disjonction mesurable des reparamétrisations du flot horocyclique. La deuxième porte sur le calcul de la cohomologie réduite en degré 2 du feuilletage faiblement contractant associé à une surface de Riemann de genre $> 1$, une question posée par Matsumoto. Si le temps le permet, on discutera de l'application à la conjecture de Sarnak dans le cadre des flots nilpotents.

Le lemme de Borel Cantelli est un outil classique pour décider si un nombre infini d'évènements rares se réalisera presque sûrement. Mais il ne donne aucune information sur la répartition dans le temps des réalisations.  Nous étendons le lemme de Borel Cantelli pour caractériser l'occurence multiple d'évènements dans une même échelle de temps. 

Pour des systèmes dynamiques exponentiellement mélangeants, notre extension nous permet d'obtenir des lois du logarithme "multiples" dans divers contextes. J'exposerai en particulier des lois caractérisant la récurrence multiple et les visites multiples pour ces systèmes. Nous discuterons certaines applications, comme par exemple aux excursions géodésiques ou aux approximations diophantiennes. En collaboration avec Dmitry Dolgopyat et Sixu Liu.

Soit $M$ une variété riemannienne à courbure négative pincée, dont le  fibré tangent unitaire est muni d'une mesure de Gibbs $m_F$ associée à un potentiel $F$. Nous étudions le comportement de pénétration asymptotique presque sûre des géodésiques de $M$ dans des petits voisinages tubulaires de géodésiques fermées fixées. Nous montrons des résultat de type Khintchine ou loi du logarithme pour un tel spiralement de géodésiques. Comme conséquence arithmétique, nous donnons des résultats d'approximation Diophantienne presque sûrs pour l'approximation de réels par des irrationnels quadratiques par rapport aux mesures höldériennnes quasi-invariantes générales. Il s'agit d'un travail en commun avec Mark Pollicott.

Pour un nombre réel α donné, plaçons les points 0,α,2α, · · · , Nα sur le cercle unité. Ces points divisent le cercle unité en intervalles ayant au plus trois longueurs, l’une étant la somme des deux autres. Il s’agit du théorème des trois distances. Nous considérons ici deux versions multidimensionnelles duales de cet énoncé. L'une  de ces versions  consiste à placer les points nα+mβ sur le cercle unité. Génériquement, le nombre de distances devient alors infini, comme l’ont prouvé A. Haynes and J. Marklof.  Nous  montrons comment   obtenir  effectivement  des situations génériques   et non génériques.  
Il s'agit d'un travail en collaboration avec P. Arnoux, D. H. Kim, W. Steiner et J. Thuswaldner. 

Soient $\Gamma'<\Gamma$ deux groupes discrets d'isométries d'un espace Gromov-hyperbolique X. Dans un travail commun avec Rémi Coulon, Rhiannon Dougall et Samuel Tapie, nous avons démontré que lorsque l'action de $\Gamma$ sur $X$ est SPR,  leurs exposants critiques coincident ssi $\Gamma/\Gamma'$ est moyennable. De plus, les hypothèses sont optimales. Dans mon exposé, j'expliquerai cet énoncé, et introduirai l'outil fondamental de la preuve, les mesures de Patterson-Sullivan twistées.

In agreement with a conjecture of Arnold-Kozlov-Neishtadt, we prove  
that, generically, the union of
Lagrangian tori in analytic mechanical nearly-integrable systems with  
2 degrees of freedom fills, up to an exponentially small set, any region where the  
frequencies do not vanish simultaneously.

 

Avila-Lyubich-de Melo proved that the topological conjugacy classes of unimodal real-analytic maps are complex analytic manifolds, which laminate a neighbourhood of any such mapping without a neutral cycle. Their proof that the manifolds are complex analytic depends on the fact that they have codimension-one in the space of unimodal mappings.  In joint work with Trevor Clark, we show how to construct a “pruned polynomial-like mapping" associated to a real mapping. This gives a new complex extension of a real-analytic mapping.
The additional structure provided by this extension, makes it possible to generalize this result of Avila-Lyubich-de Melo to interval mappings with several critical points. Thus we show that the conjugacy classes are complex analytic manifolds whose codimension is determined by the number of critical points.
Building on these ideas, we believe we can show that in the space of unimodal mappings with negative Schwarzian derivative, the conjugacy classes laminate a neighbourhood of every mapping, answering a question of Avila-Lyubich-de Melo. Joint work with Trevor Clark. 

La composante de Hitchin est une composante connexe préférée de la variété des caractères X(\pi_1S,G)=\hom(\pi_1S,G)/G, où S est une surface fermée de nombre d'Euler négatif et G est un groupe de Lie  simple déployé. Des constructions thermodynamiques munissent cette composante des formes bilinéaires symétriques dites "formes de  pression". Ces formes sont invariantes par l'action naturelle du groupe modulaire de la surface dans X(\pi_1S,G). 

Le but de l'exposé est d'expliquer une interprétation géométrique de quelques unes de ces formes, généralisant ainsi un résultat célèbre de Bridgeman-Taylor et McMullen concernant le Hessien de la dimension de Hausdorff dans l'espace des représentations quasi-Fuchsiennes. Ceci  est un travail en commun avec M. Bridgeman, B. Pozzetti et A. Wienhard.

On discutera des problèmes de rigidité du spectre marqué des longueurs des flot géodésiques Anosov, et le lien avec la distance de Thurston et la notion d'étirement géodésique. Il s'agit d'un travail avec Gerhard Knieper et Thibault Lefeuvre. 
 

Nous donnerons des applications de l’étude de la cohomologie 
des flots homogènes unipotents. La première porte sur une simple preuve d'un théorème
de Kanigowski-Lemańczik-Ulcigrai, sur la disjonction mesurable des reparamétrisations du flot
horocyclique.  La deuxième porte sur le calul de la cohomologie réduite en degré 2 du feuilletage 
faiblement contractant associé à une surface de Riemann de genre $> 1$, une question posée par Matsumoto.
Si le temps le permet, on discutera aussi d'une application à la conjecture de Sarnak pour les flots nilpotents.

Soient $h:X\to X$ une application continue et $A,B\subset X$.
On étudie le problème suivant:

Trouver une fonction continue $f:X\to {\bf R}$ avec $f|A\leq 0$ et $f|B\geq n$ sous la contrainte dynamique 
$fh-f\leq 1$.

Ce problème a été posé par Entov et Polterovich qui l'utilisent pour trouver des 
orbites d'un système hamiltonian connectant deux ensembles donnés.

We discuss the notion of Lorenz attractor, study the question of its periodic perturbation, and show how discrete analogues of the Lorenz attractor emerge in various homoclinic bifurcations and bifurcations of periodic orbits.

Giulietti et Liverani ont introduit une classe de flots uniquement
ergodiques associés aux difféomorphismes d'Anosov $F$
du tore $\T^2$, et étudié leurs moyennes ergodiques
à l'aide d'un opérateur de transfert pondéré pour $F$.
En utilisant la fonction zêta d'Artin-Mazur et des
espaces anisotropes appropriés, nous montrons
que cet opérateur de transfert n'a pas de valeurs propres
non triviales et par conséquent il n'y a pas de déviations aux moyennes
ergodiques. Notre preuve donne aussi un contrôle de la vitesse
de mélange de la mesure d'entropie maximale des difféomorphismes
d'Anosov du tore $\T^2$.

The Lorentz gas is one of the simplest and most widely-studied models for particle transport in matter. It describes a cloud of non-interacting gas particles in an infinitely extended array of identical spherical scatterers, whose radii are small compared to their mean separation. The model was introduced by Lorentz in 1905 who, following the pioneering ideas of Maxwell and Boltzmann, postulated that its macroscopic transport properties should be governed by a linear Boltzmann equation. A rigorous derivation of the linear Boltzmann equation from the underlying particle dynamics was given, for random scatterer configurations, in three seminal papers by Gallavotti, Spohn and Boldrighini-Bunimovich-Sinai. The objective of this lecture is to develop an approach for a large class of deterministic scatterer configurations, including various types of quasicrystals. We prove the convergence of the particle dynamics to transport processes that are in general (depending on the scatterer configuration) not described by the linear Boltzmann equation. This was previously understood only in the case of the periodic Lorentz gas through work of Caglioti-Golse and Marklof-Strombergsson. Our results extend beyond the classical Lorentz gas with hard sphere scatterers, and in particular hold for general classes of spherically symmetric finite-range potentials. We employ a rescaling technique that randomises the point configuration given by the scatterers' centers. The limiting transport process is then expressed in terms of a point process that arises as the limit of the randomised point configuration under a certain volume-preserving one-parameter linear group action.

This is a joint work with Andreas Strombergsson

Journées de dynamique du 16 Octobre au 18 Octobre 

de 14h le 16/10 à 17h le 18/10 Amphi Turing SG (déjeuner sur place le 17 et le 18)

http://journees-de-dynamique.imj-prg.fr/

Le lemme de Milnor-Svarc dit que l’entropie d’une variété compacte est non nulle si et seulement si son groupe fondamental est à croissance exponentielle mais ne donne pas de lien entre l’entropie minimale d’une variété et celle de son groupe fondamental. Le but de l’exposé est de voir qu’un tel lien existe lorsque le groupe fondamental est hyperbolique au sens de Gromov.

Le théorème de Furstenberg classique décrit le comportement (presque sûr) d’un produit de matrices aléatoires indépendantes : leur normes ont une croissance exponentielle. Dans un travail avec A. Gorodetski, nous étudions ce qui se passe si ces matrices dépendent d’un paramètre supplémentaire. Dans cette nouvelle situation, la conclusion est différente. C’est-à-dire, sous certaines hypothèses, presque sûrement l’énoncé suivant est vrai: Même si pour presque tous les paramètres les produits ont une croissance exponentielle, il existe un ensemble (aléatoire) résiduel de paramètres « exceptionnels », pour lesquels la limite inférieure de l’exposant de Lyapunov est nulle. Nos résultats sont reliés à la localisation d’Anderson en dimension un, et fournissent un point de vue purement dynamique sur sa preuve. Je discuterai aussi certaines généralisations et questions ouvertes.

Soit $f$ une application méromorphe sur une variété kählérienne 
compacte $X$. A partir d'une suite d'éclatements de $X$, nous construisons 
un espace métrique compact sur lequel f se relève en une application 
continue. Cet espace nous permet de prouver un principe variationnel qui 
est par exemple valable pour les applications méromorphes génériques de
$\mathbb P^2(\mathbb C)$.