Séminaires : Séminaire de Systèmes Dynamiques

Giulietti et Liverani ont introduit une classe de flots uniquement
ergodiques associés aux difféomorphismes d'Anosov $F$
du tore $\T^2$, et étudié leurs moyennes ergodiques
à l'aide d'un opérateur de transfert pondéré pour $F$.
En utilisant la fonction zêta d'Artin-Mazur et des
espaces anisotropes appropriés, nous montrons
que cet opérateur de transfert n'a pas de valeurs propres
non triviales et par conséquent il n'y a pas de déviations aux moyennes
ergodiques. Notre preuve donne aussi un contrôle de la vitesse
de mélange de la mesure d'entropie maximale des difféomorphismes
d'Anosov du tore $\T^2$.

The Lorentz gas is one of the simplest and most widely-studied models for particle transport in matter. It describes a cloud of non-interacting gas particles in an infinitely extended array of identical spherical scatterers, whose radii are small compared to their mean separation. The model was introduced by Lorentz in 1905 who, following the pioneering ideas of Maxwell and Boltzmann, postulated that its macroscopic transport properties should be governed by a linear Boltzmann equation. A rigorous derivation of the linear Boltzmann equation from the underlying particle dynamics was given, for random scatterer configurations, in three seminal papers by Gallavotti, Spohn and Boldrighini-Bunimovich-Sinai. The objective of this lecture is to develop an approach for a large class of deterministic scatterer configurations, including various types of quasicrystals. We prove the convergence of the particle dynamics to transport processes that are in general (depending on the scatterer configuration) not described by the linear Boltzmann equation. This was previously understood only in the case of the periodic Lorentz gas through work of Caglioti-Golse and Marklof-Strombergsson. Our results extend beyond the classical Lorentz gas with hard sphere scatterers, and in particular hold for general classes of spherically symmetric finite-range potentials. We employ a rescaling technique that randomises the point configuration given by the scatterers' centers. The limiting transport process is then expressed in terms of a point process that arises as the limit of the randomised point configuration under a certain volume-preserving one-parameter linear group action.

This is a joint work with Andreas Strombergsson

Journées de dynamique du 16 Octobre au 18 Octobre 

de 14h le 16/10 à 17h le 18/10 Amphi Turing SG (déjeuner sur place le 17 et le 18)

http://journees-de-dynamique.imj-prg.fr/

Le lemme de Milnor-Svarc dit que l’entropie d’une variété compacte est non nulle si et seulement si son groupe fondamental est à croissance exponentielle mais ne donne pas de lien entre l’entropie minimale d’une variété et celle de son groupe fondamental. Le but de l’exposé est de voir qu’un tel lien existe lorsque le groupe fondamental est hyperbolique au sens de Gromov.

Le théorème de Furstenberg classique décrit le comportement (presque sûr) d’un produit de matrices aléatoires indépendantes : leur normes ont une croissance exponentielle. Dans un travail avec A. Gorodetski, nous étudions ce qui se passe si ces matrices dépendent d’un paramètre supplémentaire. Dans cette nouvelle situation, la conclusion est différente. C’est-à-dire, sous certaines hypothèses, presque sûrement l’énoncé suivant est vrai: Même si pour presque tous les paramètres les produits ont une croissance exponentielle, il existe un ensemble (aléatoire) résiduel de paramètres « exceptionnels », pour lesquels la limite inférieure de l’exposant de Lyapunov est nulle. Nos résultats sont reliés à la localisation d’Anderson en dimension un, et fournissent un point de vue purement dynamique sur sa preuve. Je discuterai aussi certaines généralisations et questions ouvertes.

Soit $f$ une application méromorphe sur une variété kählérienne 
compacte $X$. A partir d'une suite d'éclatements de $X$, nous construisons 
un espace métrique compact sur lequel f se relève en une application 
continue. Cet espace nous permet de prouver un principe variationnel qui 
est par exemple valable pour les applications méromorphes génériques de
$\mathbb P^2(\mathbb C)$.