| Résume | Il s’agit d’un travail commun avec Jacques Fejoz. On étudie les sous-variétés invariantes par une dynamique conformément symplectique d’une variété symplectique (M, w) de dimension au moins 4. Cette classe de systèmes dynamiques, pour lesquels la forme symplectique est transformée en une forme proportionnelle, est une extension de dimension 1 des systèmes dynamiques symplectiques .
Pour ces systèmes, on commencera par étudier la relation entre l’isotropie de la sous-variété invariante N et l’entropie de la dynamique qu’elle porte, en nous appuyant principalement sur la théorie de Yomdin et un de ses raffinements.
Quand (M, w) est exacte et N isotrope, on montrera que N est exacte pour une primitive fixée de w quand la dynamique agit trivialement sur la cohomologie de degré 1 de N. Cette conclusion s’étend partiellement quand N est d’orbite relativement compacte dans un fibré cotangent.
Enfin, on prouvera l’unicité d’une sous-variété lagrangienne invariante N quand M est un fibré cotangent et la dynamique est conformément hamiltonienne. Un théorème de Shelukhin permet même de montrer l’unicité parmi les sous-variétés invariantes d’orbites compacte. |
