| Résume | On considère une bille ponctuelle se déplaçant sur un billard convexe selon une variante dissipative de la loi usuelle. Plus précisément, on suppose les chocs inélastiques, de sorte qu'à chaque collision (non-orthogonale) avec le bord, l’angle sortant par rapport à la normale au point de collision soit strictement plus petit que l'angle d’incidence. L’application billard dissipative ainsi obtenue possède un attracteur global. Dans un travail en commun avec Anna Florio et Olga Bernardi, nous nous intéressons à la complexité topologique/dynamique de cet attracteur, notamment à la manière dont elle dépend de la géométrie du billard et de la force de la dissipation. À cette fin, nous étudions un sous-ensemble invariant de l’attracteur, appelé attracteur de Birkhoff (dont l’étude remonte à G.D. Birkhoff et M. Charpentier, et plus récemment, aux travaux de P. Le Calvez pour des twists de l’anneau dissipatifs généraux) et montrons que pour un billard convexe générique, l’attracteur de Birkhoff va être « simple » (typiquement une variété normalement contractée) lorsque la dissipation est assez forte ; à l’inverse, lorsque la dissipation est assez faible, l’attracteur de Birkhoff va avoir une topologie « compliquée » (continuum indécomposable) et une dynamique riche (ensemble de rotation d’intérieur non-vide, présence de fers à cheval…). |
