| Résume | Le problème planétaire est une approximation presque intégrable des équations du Système solaire, où des planètes se meuvent autour d'un soleil très massif. En première approximation, les planètes décrivent des ellipses de Kepler. En fait, à cause de l'attraction mutuelle des planètes, certains éléments elliptiques varient lentement au fil des révolutions (dynamique séculaire). Le "théorème d'Arnold" montre qu'un ensemble de mesure strictement positive de conditions initiales conduit à des mouvements stables, sans collisions ni éjections, le long desquels les invariants adiabatiques ne subissent que des variations de moyenne nulle. Ce théorème n'interdit toutefois pas de grandes instabilités, comme conjecturé par Arnold en 1964. Il s'avère en effet qu'un ensemble de conditions initiales lui aussi de mesure strictement positive conduit à des comportements aléatoires, permettant par exemple le retournement du plan de révolution d'une planète, ou encore la croissance du demi grand axe d'une autre planète dans un rapport arbitrairement fixé. Le temps de réalisation de telles instabilités est une puissance du rapport des masses du soleil et des planètes. Parmi les invariants adiabatiques, il en ressort une classification locale entre les directions d'instabilité rapide, les directions où l'instabilité, si elle existe, serait exponentiellement lente, et des directions stables. C'est un travail en collaboration avec Andrew Clarke et Marcel Guardia. |
