| Résume | Dans cet exposé, nous nous intéresserons aux difféomorphismes d’Anosov du tore $\mathbb{T}^3$ possédant une décomposition partiellement hyperbolique $\mathbb{T}^3 = E^s \oplus E^c \oplus E^u$, où le fibré central $E^c$ correspond à une direction instable faible. On peut considérer le feuilletage instable de dimension deux $W^{cu}$ tangent au fibré $E^c \oplus E^u$, mais aussi le feuilletage instable fort unidimensionnel tangent au fibré $E^u$. De tels systèmes possèdent une unique mesure invariante dont les désintégrations selon les feuilles de $W^{cu}$ sont absolument continues : il s’agit de la mesure SRB. On peut considérer également une autre classe de mesures, dont l’étude a été initiée par Pesin et Sinai : les mesures u-Gibbs, dont les désintégrations selon les feuilles de $W^{u}$ sont absolument continues. Il est bien connu que la mesure SRB est u-Gibbs. Inversement, dans un travail en commun avec Sébastien Alvarez, Davi Obata et Bruno Santiago, nous montrons qu'au voisinage des systèmes conservatifs, si les fibrés forts $E^s$ et $E^u$ ne sont pas conjointement intégrables, alors toute mesure u-Gibbs est SRB ; en particulier, il existe alors une unique mesure u-Gibbs. Notre preuve emprunte à différents travaux sur la rigidité de la mesure, notamment une version de l’argument de dérive exponentielle présente chez Eskin-Lindenstrauss, mais aussi à l’article de Brown et Rodriguez-Hertz sur les produits aléatoires de difféomorphismes de surfaces. |
