| Résume | Un théorème de Selberg qui stipule que les valeurs du log de la fonction zêta de Riemann \log\zeta(1/2+it) pour t choisi uniformément dans [T, 2T] se répartissent asymptotiquement comme une loi normale de variance \sqrt{\log\log T}. Un énoncé analogue est conjecturé (mais non encore démontré) pour d'autres familles "naturelles" de valeurs centrales de fonctions L, comme les valeurs L(1/2, \chi) avec \chi caractère de Dirichlet de module q, q tendant l'infini. Ces valeurs ont en commun de pouvoir être approchées par des produits eulériens, où des nombres premiers différents sont censés fournir des contributions indépendantes.
Les valeurs de fonctions L qui nous intéressent dans cet exposé sont des "tordues additives" de ces valeurs, et l'exemple qui nous guidera est celui de la fonction d'Estermann, définie pour x rationnel par
D(1/2, x) = \sum_{n\geq 1} d(n) n^{-1/2} e^{2\pi i n x}
où d(n) est le nombre de diviseurs de n.
(interprétée comme la valeur en s=1/2 du prolongement analytique de la même somme où n^{-1/2} est remplacé par n^{-s})
Il n'y a alors pas d'analogue du produit eulérien.
Dans l'exposé nous exposerons une preuve avec Sandro Bettin que les valeurs D(1/2, x) se répartissent asymptotiquement selon une gaussienne lorsque x est choisi uniformément parmi les fractions réduites de dénominateurs ≤ Q, Q tendant vers l'infini. Cela exploite une équation fonctionnelle pour D(1/2, x), qui permet de ramener le problème à celui de la répartition de certaines sommes de Birkhoff pour l'application de Gauss le long d'orbites rationnelles, ce qu'une généralisation des travaux de Baladi et Vallée (trou spectral uniforme pour une certaine famille d'opérateurs de transferts) permettra d'obtenir. |
