| Résume | Une conclusion importante de la théorie des systèmes dynamiques hyperboliques est que dans la limite des grands temps, les sommes de Birkhoff d'une observable suffisamment régulière se comportent comme une somme de variables aléatoires indépendantes, et satisfont les théorèmes habituels de la théorie des probabilités (loi des grands nombres, déviation en racine du temps, théorème de la limite centrale, etc.).
Des travaux à partir des années 90 ont mis en évidence des exemples variés de systèmes dynamiques (échanges d'intervalles, flots horocycliques, nilflots sur les variétés de Heisenberg) pour lesquels, grossièrement, "la théorie des probabilité n'émerge pas" à la limite. Ces systèmes sont souvent "paraboliques" (la différentielle est une matrice triangulaire supérieure avec des 1 sur la diagonale).
Dans une première partie, je ferai des rappels de théorie ergodique et je donnerai un panorama des résultats classiques de dynamique parabolique.
Dans une seconde partie, en me basant sur une description "microlocale" des systèmes dynamiques paraboliques et certaines simulations numériques, j'essayerai de motiver la "vague" conjecture suivante : le système parabolique générique satisfait le théorème de la limite centrale (et peut-être plus). En particulier, les systèmes qu'on comprend bien (flots horocycliques et nilflots sur les variétés de Heisenberg) seraient des anomalies statistiques dans une théorie générale des systèmes paraboliques. |
