| Résume | L'objectif de cet exposé est double : présenter nos récents travaux sur la définissabilité des valuations, et donner une vue d'ensemble des travaux sur les groupes abéliens ordonnés dans les années 80.
De nombreux critères de définissabilité existent pour des valuations henseliennes avec un groupe de valeur donné. Citons notamment la formule de Julia Robinson qui définit l'anneau de valuation dans tout corps henselien valué dont le groupe de valeurs est discret, c'est-à-dire, ayant un élément minimum positif, mais aussi le critère de Koenigsmann/Hong pour les groupes de valeurs réguliers non-divisibles, et de Krapp-Kuhlmann-Link pour les groupes de valeurs qui ne sont pas topologiquement clos dans leur clôture divisible.
Nous proposons une approche unifiée, et nous donnons à notre tour un critère de définissabilité, que nous formulons en terme d'augmentabilité :
On dit qu'un groupe (abelien ordonné) G est augmentable s'il existe un groupe H (non trivial) tel que G et G+H (avec l'ordre lexicographique) soient élémentairement équivalents.
Si un G n'est pas augmentable, alors toute valuation henselienne avec groupe de valeur G est définissable ; à l'inverse, pour un groupe G augmentable, on construit aisément une valuation henselienne avec groupe de valeur G et qui n'est pas définissable, montrant que ce critère est optimal.
Il ne reste maintenant plus qu'à établir un critère pour déterminer quels sont les groupes augmentables. Dans une première version de nos travaux, nous avions déterminé un tel critère ; à notre grande surprise, les méthodes que nous utilisons ont déjà été utilisées par Delon et Lucas en 89, pour obtenir des résultats extrêmement similaires. Leur article et beaucoup de recherches de l'époque semblent avoir été oubliées par la communauté. Nous profiterons de cet exposé pour remettre au goût du jour les groupes des années 80, et les travaux de Schmitt, Gurevich, Delon, Lucas, Farré, Giraudet, Weispfenning, et d'autres. |
