Séminaires : Théorie des modèles et groupes

To every (countable, discrete) group G, one can construct its group von Neumann algebra L(G), which is a certain completion of the group ring C[G]. It is natural to wonder whether or not there is any connection between elementary equivalence of groups G and H and their group von Neumann algebras L(G) and L(H) (viewed as structures in continuous logic). We begin by showing that there is no implication in general in either direction. We then discuss recent work with Matthew Harrison-Trainor, where we show that back-and-forth equivalence (in the sense of computability theory) between the groups implies back-and-forth equivalence of the group von Neumann algebras. Finally, we comment on some partial results, joint with Jennifer Pi, concerning elementary equivalence for group von Neumann algebras associated to free groups. No prior knowledge of von Neumann algebra theory will be assumed.

L'exposé introduira deux familles de groupes exotiques, associées à des polygones de Moufang. Ces groupes sont bi-interprétables avec des corps de caractéristique 2 munis de prédicats pour des sous-groupes additifs. L'essentiel de l'exposé sera l'étude de ces corps, que je supposerai séparablement clos de caractéristique 2, munis de ces prédicats. J'exhiberai des structures stables, et en fait je parlerai beaucoup de corps séparablement clos et de leur théorie des modeles.

Travail en commun avec Greg Cherlin

This will be a continuation of my talk from Monday. I will review some of the basics of affine logic in more detail, then focus on its relationship with continuous and classical logic. Time permitting, I will discuss some important examples.

Quelles sont les intéractions entre les propriétés algébriques des corps et leurs propriétés modèle-théoriques ? Les corps infinis stables sont-ils séparablement clos ? Les corps NIP instables sont-ils henseliens ? Les corps NIPn sont-ils NIP ?
Toutes ces questions, et bien d'autres, seront posées pendant cet exposé ; aucune ne sera répondue. Nous nous contenterons de présenter des résultats récents sur les corps NIPn, notamment, nous montrerons qu'un corps valué henselien de caractéristique résiduelle p est NIPn ss'il est NIPn en tant que corps pur.
 

J'expliquerai pourquoi les groupes libres de rang au moins 2 ont la même théorie universelle-existentielle, puis je parlerai de la généralisation de ce résultat aux groupes hyperboliques (après avoir rappelé ce que j'ai expliqué dans mes deux exposés précédents).

I will present a few ideas concerning a possible direction for future research on the analytic side of model theory. They are based on two pieces of work, one celebrating its 30th anniversary this year and the other its 50th. Roughly stated the first, the Marker-Steinhorn Theorem, asserts that the standard part of an o-minimally definable function is definable and the second, extracted from Abraham Robinson's book “Non-Standard Analysis” (Chapter VI-well worth revisiting) that the standard part of a complex holomorphic function is also holomorphic.

I begin by giving precise statements of these results and then go on to combine them. Of course, there is a wonderful development of complex analysis within an arbitrary o-minimal structure by Peterzil and Starchenko but here we will always assume that our models are elementary extensions of an expansion of the standard real field thereby giving us access, via Robinson's theory, to all of complex analysis.

En commun avec Jules Tindzogho Ntsiri

Exposé d'algèbre modèle-théorique. La conjecture de Cherlin-Zilber affirme que certains groupes modèle-théoriquement contrôlés sont algébriquement connus. On peut poser des questions analogues pour d'autres structures ; Zilber lui-même avait dès les années 1970 envisagé les anneaux de Lie. (Un anneau de Lie est un groupe abélien muni d'une fonction appelée “crochet” bi-additive et vérifiant l'identité de Jacobi.) À la fin des années 1980, Rosengarten, étudiant de Cherlin, établit dans des travaux malheureusement non publiés l'analogue de Cherlin-Zilber pour les anneaux de Lie de rang de Morley 3 ; puis le sujet est tombé dans l'oubli.
Nous l'avons ressuscité pour son intérêt intrinsèue et avons démontré notamment qu'il n'y a pas d'anneau de Lie simple de rang de Morley 4 ; l'analogue en groupes est notoirement ouvert.
L'exposé ne demande guère de connaissance des groupes de rang de Morley fini, et aucune de géométrie différentielle ou théorie de Lie.

Après avoir rappelé rapidement la classification des groupes hyperboliques à équivalence universelle-existentielle près (présentée lors de mon exposé de la semaine dernière au séminaire de logique), je rentrerai un peu plus dans les détails et expliquerai quelques idées de la preuve.
 

The first notion of definable (topological) compactness within o-minimality was introduced in the late 1990s by K. Peterzil and C. Steinhorn for definable manifold spaces (e.g. definable groups). This is the property that every definable curve converges (onwards curve-compactness). Its study was motivated by the fact that it played a crucial role in the formulation of Pillay's conjecture about definable groups. In the 2000s the investigation of o-minimal forking led to an equivalent characterization of definable compactness: for every definable family of closed sets with the finite intersection property there exists a finite set that intersects each set in the family. The equivalence with a third notion, that of having fsg (finitely satisfiable generics), was also observed. In the 2010s E. Hrushovski and F. Loeser adapted curve-compactness to the valued field setting by considering the property that every definable type converges. Furthermore, authors such as A. Fornasiero and W. Johnson started exploring yet another notion of definable compactness: every definable filter of closed sets has non-empty intersection. In this talk we discuss the relationship between all these definitions in various NIP settings (including o-minimal, p-adic and distal dp-minimal). We present the current literature, open questions, and the model theory behind characterizing definable compactness.

Given a (non-separably closed) henselian field K such that the residue field of canonical henselian valuation has characteristic 0, Jahnke and Koenigsmann give necessary and sufficient conditions for K to admit a non-trivial henselian valuation ring that is definable in the language of rings. I will explain how to extend their work to the case where the residue field of the canonical henselian valuation has positive characteristic, exploiting the information provided by independent defect extensions. This is joint work with Margarete Ketelsen (Münster) and Piotr Szewczyk (Dresden).

Profinite groups are the inverse limits of finite groups, or equivalently, the compact totally disconnected groups. First-order logic in the signature of groups can directly address only their algebraic structure. 

We study when a profinite group can be determined by a single first-order sentence within the class of profinite groups. In this case, the algebra determines the topology. We address the analogous question for pro-p groups. 

This is joint work with Segal and Tent. 
Reference: Finite axiomatizability for profinite groups. Proceedings of the London Mathematical Society 123.6 (2021): 597-635.

A theory is noetherian if there is a family of definable sets with the descending chain condition such that every definable set is a boolean combination of those in the family. Noetherianity captures some of the desired properties of algebraically closed fields in any characteristic or differentially closed fields in characteristic 0. Noetherian theories are in particular omega-stable and equational. In recent work with M. Ziegler, we have shown that the theory of proper pairs of algebraically closed fields in any characteristic is noetherian.

Les groupes (totalement et bilatéralement) ordonnés non-abéliens apparaissent à plus d'un titre en géométrie modérée. Une structure o-minimale à l'infini possède comme extension élémentaire l'ensemble des germes à l'infini de fonctions définissables en dimension 1. Son sous-ensemble des germes qui tendent vers l'infini en l'infini forme un groupe ordonné pour la composition des germes. Certaines théories o-minimales à l'infini comme les théories élémentaires du corps ordonné réel ou du corps ordonné, valué, différentiel des transséries admettent des modèles non-archimédiens qui sont des corps de séries formelles (séries de Puiseux, transséries) équippés de lois de compositions, pour lesquelles les éléments positifs infinis forment un groupe ordonné.
Ces objets partagent des propriétés dans le langage des groupes ordonnés, que l'on peut prendre comme axiomes pour une théorie de groupes dont les éléments représentent des “ordres de croissance” de fonctions strictement croissantes très régulières définies sur une droite. La résolution de l'inéquation f o g > g o f pour des ordres de croissance en est un exemple important. Existe-t-il une “bonne” théorie du premier ordre pour ces groupes, qui admette par exemple une modèle-complétion intéressante.
Je définirai une théorie de groupes ordonnés dont les deux exemples mentionnés sont des modèles naturels, et je présenterai un programme de recherche combinant algèbre, théorie des valuations et outils formels afin d'étudier ces groupes et de construire des exemples.

A conjecture due to Zilber predicts that the complex exponential field is quasiminimal: that is, that all subsets of the complex numbers that are definable in the language of rings expanded by a symbol for the complex exponential function are countable or cocountable. Zilber showed that this conjecture would follow from Schanuel's Conjecture and an existential closedness type property asserting that certain systems of exponential-polynomial equations can be solved in the complex numbers; later on, Bays and Kirby were able to remove the dependence on Schanuel's Conjecture, shifting all the focus to the existence of solutions. In this talk, I will discuss recent work about the quasiminimality of a reduct of the complex exponential field, that is, the complex numbers expanded by multivalued power functions. This is joint work with Jonathan Kirby.

Motivated by work of Hrushovski on pseudofinite fields with an additive character, we introduce the theory ACFA+ which is the model companion of the theory of difference fields with an additive character on the fixed field. In this talk, we will present some basic properties of ACFA+ and see that it is given as the limit theory of the algebraic closure of finite fields with the standard character on the fixed field. Afterwards we will focus on type-amalgamation in ACFA+ and explain how 3-amalgamation already differs from the classical context in ACFA. If the time permits, we will explain how this reflects in model-theoretic Galois groups, notably the Kim-Pillay group.

(Travaux de Altinel, Corredor, D., Wiscons, Zamour)

Une paire de groupes (H < G) est dite quasi-Frobenius si (1) H intersecte trivialement ses G-conjugués et (2) H est d'indice fini dans son normalisateur dans G. Cette définition généralise la célèbre condition classique de Frobenius. Elle capture également des objets centraux en algèbre géométrique, comme le comportement de PGL(2,C) ou SO(3,R).

L'exposé décrira ce qu'on sait, et ce que l'on conjecture, sur les paires quasi-Frobenius en théorie des modèles.

La notion modèle-théorique de déviation est facile à comprendre dans DLO et dans la théorie des groupes Abéliens divisibles sans torsion, toutes deux des réduits de la théorie des groupes Abéliens ordonnés divisibles (DOAG). Elle a également été caractérisée dans son expansion naturelle, RCF, par Dolich, en utilisant des arguments techniques qui ne fonctionnent pas dans DOAG. Il restait donc jusque-là une zone d'ombre sur le comportement de la déviation dans DOAG. Je vais vous présenter dans cet exposé une caractérisation de la déviation que j'ai établie, que l'on pourrait qualifier de simple et élégante, mais qui requiert des arguments étonnamment complexes utilisant la théorie de la valuation : il se trouve que le type dans DOAG d'un tuple admet une extension globale invariante (sur un sous-ensemble de ses paramètres) si et seulement si c'est le cas du type de chaque singleton de la clôture définissable du tuple (et des paramètres). Quant aux extensions globales invariantes des types unaires, elles étaient déjà bien comprises grâce à la notion d'o-minimalité. Ce résultat s'étend assez naturellement à tous les groupes Abéliens ordonnés réguliers.

La théorie des corps différentiels aux différences (plusieurs dérivations, un automorphisme, tout le monde commute) a une modèle-compagne, appelée D_nCFA. 
Nous allons parler de ce qu'on sait sur les groupes définissables sur un modèle de D_nCFA, et on va mentionner quelques résultats pour le cas de corps différentiels avec plusieurs automorphismes (il n'existe pas alors de modèle-compagne).

Contrairement aux premières impressions qui font penser qu'on aurait besoin d'une forme du théorème des indécomposables, la théorie des groupes de rang de Morley fini résolubles se généralise bien au contexte des groupes finidimensionnels connexes.

Après une introduction à la notion de finidimensionnalité, je vais exposer les principaux résultats, dont la définissabilité d'un corps dans les groupes résolubles non-nilpotents, et la nilpotentce du groupe dérivé d'un groupe résoluble (toujours connexe finidimensionnelle).

Integral decomposition is a fundamental technique in von Neumann algebras, allowing to reduce the study of many properties of von Neumann algebras to that of factors. A similar transfer phenomenon has been recently observed on tracially complete C*-algebras, a class of C*-algebras which intuitively speaking resembles bundles on topological spaces with von Neumann algebras as fibers. In this talk I will introduce these transfer phenomena, and show how continuous model theory provides a suitable framework to rigorously formulate and investigate them. The contents of this talk are part of a joint  work by Farah, Hart, Hirshberg, Schafhauser, Tikuisis and myself. 

Un type génériquement stable est un type définissable dont aucune suite de Morley ne témoigne de la propriété de l'ordre. Ces types ont de bonnes propriétés, héritées de la théorie de la stabilité, notamment une forme de symétrie de la déviation.
Un groupe définissable est dit génériquement stable s'il a un type générique qui est génériquement stable. Par exemple, dans un corps valué algébriquement clos, les groupes additif et multiplicatif de l'anneau de valuation sont génériquement stables. 
Pour de tels groupes, certains résultats connus en théorie de la stabilité restent valides, notamment le théorème de configuration de groupe. J'expliquerai comment la preuve connue dans le cas stable s'adapte dans ce contexte.

Depuis le début de l'analyse fine des groupes de rang de Morley fini, les groupes de permutation se sont avérés comme un outil efficace. La classification des groupes de rang 3 contenant des éléments d'ordre 2 par Hrushovski a été l'exemple le plus marquant. Les travaux de Gropp et de Nesin l'ont suivie. Depuis que la classification des groupes simples de rang de Morley fini de type pair a été complétée, les groupes de permutation de rang de Morley fini suscitent un intérêt bien plus fort et systématique à travers la notion de transitivité générique. Suite à l'article fondamental de Borovik et Cherlin, des avancées importantes vers des objectifs bien définis ont été obtenues par divers mathématiciens: Berkman, Borovik, Deloro, Wiscons. Dans mon exposé, après avoir introduit la notion, je parlerai d'une conjecture de Popov sur les groupes hautement génériquement transitifs. Ensuite, j'exposerai certains résultats en collaboration avec Joshua Wiscons en faisant le lien avec les actions des groupes finis de permutation sur les groupes de rang de Morley fini.

A Cohen ring is a complete valuation ring of an unramified valuation of mixed characteristic. Every Cohen ring A is determined up to isomorphism by its residue field k; and if k is perfect, then A is canonically isomorphic to the more familiar ring of Witt vectors W(k). Thus Cohen rings are analogues of Witt rings over imperfect residue fields. Just as one studies truncated Witt rings to understand Witt rings, we study Cohen rings of positive characteristic as well as of characteristic zero. In the case k=Fp, and more generally for perfect k, the work of Ax–Kochen, Ershov, and others gives an axiomatization of the complete theory of A. In case k is imperfect, the algebraic picture changes since the embeddings between Cohen rings no longer correspond exactly to embeddings between residue fields. Nevertheless we still obtain a description of the complete theories of such valuation rings, and are able to prove stable embeddedness of the value group and residue field. We also obtain relative completeness and relative model completeness results for Cohen rings, which imply the corresponding Ax–Kochen/Ershov type results for unramified henselian valued fields also in case the residue field is imperfect.
This is joint work with Franziska Jahnke.

We prove that among all countable, commutative rings R (with unit) the theory of R-modules is not Borel complete if and only if there are only countably many non-isomorphic countable R-modules. From the proof, we obtain a succinct proof that the class of torsion free abelian groups is Borel complete.
The results above follow from some general machinery that we expect to have applications in other algebraic settings. Here, we also show that for an arbitrary countable ring R, the class of left R-modules equipped with an endomorphism is Borel complete; as is the class of left R-modules equipped with predicates for four submodules. This is joint work with D. Ulrich.

La contractilité de tous les cercles dans les cônes asymptotiques d’un groupe G de type fini implique que G est de présentation finie avec fonction de Dehn au plus polynomiale.  Le distorsion métrique de tous ces cercles est une propriété plus forte qui implique que G est fortement raccourci (“strongly shortcut”).  La propriété fortement raccourci est satisfaite par diverses familles de groupes de courbure négative ou nulle, notamment les groupes hyperboliques, CAT(0), Helly, et systoliques, mais elle est aussi satisfaite par le groupe de Heisenberg discret.

    Je discuterai d'un récent travail en commun avec Cashen et Woodhouse où on a montré qu’une famille infinie de groupes flocon de
neige (“snowflake groups”) ont des cônes asymptotiques simplement connexes mais des graphes de Cayley qui ne sont pas fortement
raccourcis.  Ce sont les premiers exemples de groupes qui ont des cônes asymptotiques dans lesquels il existe des cercles isométriques
mais contractiles.

Le théorème du corps est l'observation qu'un groupe de rang de Morley fini connexe, résoluble, et non nilpotent, interprète un corps infini. Par d'autres résultats classiques, le corps est commutatif et même algébriquement clos.
Le théorème du corps est souvent vu comme corollaire du «théorème d'engendrement par des indécomposables» mais c'est une erreur car il en est indépendant. Il a quelques variantes, des théorèmes de linéarisation d'actions de groupes.
Je donnerai un énoncé qui généralise naturellement tous les résultats «à la Zilber». C'est un résultat de linéarisation de bimodules, dans un contexte plus général que les théories de rang de Morley fini. En général on interprète un corps gauche.
Prérequis : notion de définissabilité ; «lemme de Schur» en théorie des représentations (l'anneau des endomorphismes qui commutent avec une représentation irréductible est en fait un corps gauche).

The first-order theories of local fields of positive characteristic, i.e. fields of Laurent series over finite fields, are far less well understood than their characteristic zero analogues: the fields of real, complex and p-adic numbers. On the other hand, the existential theory of an equicharacteristic henselian valued field in the language of valued fields is controlled by the existential theory of its residue field. One is decidable if and only if the other is decidable. When we add a parameter to the language, things get more complicated. Denef and Schoutens gave an algorithm, assuming resolution of singularities, to decide the existential theory of rings like Fp[[t]], with the parameter t in the language. I will discuss their algorithm and present a new result (from ongoing work, with Dittmann and Fehm) that weakens the hypothesis to a form of local uniformization, and which works in greater generality.

By work of Itaï Ben Yaacov complete valued fields with value groups embedded in the real numbers can be viewed as metric structures in continuous logic. For technical reasons one has to consider the projective line over such a field rather than the field itself.
In this talk we introduce the above setting and give a classification of the complete theories of metric valued fields in equicharacteristic 0 in terms of their residue field and value group. This can also be seen as an approximate Ax-Kochen-Ershov principle. If time permits, as a second result we give a negative answer to a question of Ben Yaacov on the existence of a model companion for metric valued fields enriched with an isometric automorphism. This is joint work with Martin Hils.

We continue the discussion of piecewise interpretable Hilbert spaces from the Monday seminar. We will prove the main structure theorem of `Piecewise Interpretable Hilbert Spaces' (C., Hrushovski) which analyses a scattered piecewise interpretable Hilbert space into asymptotically free subspaces. We will clarify the model theoretic content of this theorem, highlighting the roles of one-basedness and strong minimality.  We will also study its representation theoretic content, establishing a connection with induced represetnations. We will see that this theorem generalises a theorem of Tsankov about unitary representations of oligomorphic groups. This is joint work with Ehud Hrushovski.

Une sous-partie d'un groupe infini est IP si elle contient tous les produits finis (sans répétitions) d'un sous-ensemble infini. Le célèbre théorème de Hindman affirme que, pour toute coloration finie des entiers positifs, il existe un ensemble IP monochromatique. Au delà du cas abélien, Bergelson et Tao ont repris un travail de Gowers pour montrer qu'une sous-partie “large” dans un ultraproduit de groupes finis simples non-abéliens est IP.

Dans un travail en commun avec D. Palacin (Freiburg), nous allons donner dans cet exposé une démonstration alternative du résultat précédent, avec des techniques modèles-théoriques élémentaires.

Une théorie est équationnelle, si toute formule est combination booléenne d'équations. Une équation est une formule telle que la famille d'intersections finies d'instances n'admet aucune chaine infinie décroissante. Toute théorie équationnelle est stable, mais la réciproque n'est pas vraie : Sela ainsi que Müller-Sklinos ont montré que le groupe libre non-abélien n'est pas équationnel. Malgré tout, on connaît peu d'exemples de théories stables non-équationnelles.

Dans cet exposé, nous présenterons un travail en commun avec Martin Ziegler, où nous exhiberons une infinité de nouvelles théories stables non-équationnelles, à partir du pseudo-espace coloré de Hrushovski et Srour.

Y-a-t-il une théorie des mesures de Keisler pour les théories simples? J'expliquerai quelques exemples, suggérés par Hrushovski, qui montrent que les mesures dans une théorie simple sont plus complexes que prévu. Ils sont basés sur des actions de groupes libres.
Travail en commun avec plusieurs chercheurs.

(avec Tom Scanlon)
J'exposerai un résultat d'élimination des quantificateurs pour les corps henséliens de degré d'imperfection fini, relativement à la famille uniforme de tous les groupes RV_γ = K^×/1+γ m. Ce résultat permet alors de démontrer que toute extension dense séparable de corps henséliens de même degré d'imperfection fini est élémentaire. En particulier, l'extension F_p(t)^h ≤ F_p((t)) est élémentaire. Ce dernier énoncé précise un résultat d'Artin selon lequel elle est existentiellement close.

Entre les catégories des groupes semialgébriques et des groupes de Lie se trouve la catégorie des groupes définissables dans une expansion o-minimale des réels (noté simplement définissables dans la suite). Puisque tout groupe définissable peut être équipé d'une structure de groupe de Lie (Pillay 1989), il est intéressant de savoir sous quelles conditions un groupe de Lie est isomorphe (au sens de Lie) à un groupe définissable. Starchenko, Onshuus et Conversano ont répondu à cette question dans le cas où le groupe est résoluble (2016). Nous nous intéresserons ici au cas linéaire puis si le temps le permet au cas général.

Soit G un groupe élémentairement équivalent à Z dans le langage de Presburger L_Pres. Soit L une expansion du langage L_Pres. On dit que la théorie de (G, L) est L_Pres-minimale si tout sous-ensemble L-définissable de M est L_Pres-définissable (où M est un modèle de la théorie). Si G=Z, des résultats de C. Michaux et R. Villemaire impliquent que Th(Z, L) est L_Pres-minimale ssi la clôture algébrique a la propriété d'échange. Dans cet exposé, je discuterai le cadre général. En particulier, nous verrons que Th(G,L) est L_Pres-minimale ssi la clôture algébrique a la propriété d'échange et tout sous-ensemble définissable borné de G a un maximum.

Inspired by the model theoretic study of profinite groups, we discuss the foundations of a model theoretic approach to proalgebraic groups. Our axiomatization is based on the tannakian philosophy. Through a tensor analog of skeletal categories we are able to consider neutral tannakian categories with a fibre functor as many-sorted first order structures. The theory of a diagonalizable proalgebraic group is well understood. It is determined by the theory of the base field and the theory of its character group. This is joint work with Anand Pillay.

The class of NSOP_1 theories contains the simple theories and many interesting non-simple theories, such as the omega-free PAC fields or generic vector spaces with a non-degenerate bilinear form. With Itay Kaplan, we introduced Kim-independence which agrees with non-forking independence within the simple theories and shares many of its nice properties within the simple NSOP_1 context. One very basic roadblock in lifting simplicity theory to the NSOP_1 setting, however, was transitivity: a free extension of a free extension should still be a free extension. This is almost immediate for non-forking extensions in a simple theory, but becomes more involved for free extensions in the sense of Kim-independence. We will describe and motivate the basic theory, and then discuss our recent proof of transitivity. This is joint with Itay Kaplan.

We take a look at structures that consist of a field together with finitely many distinguished field automorphisms required to commute. The theory of fields with one distinguished automorphism has a model companion known as ACFA, which Z. Chatzidakis and E. Hrushovski have studied in depth. However, Hrushovski has proved that if you look at fields with two or more commuting automorphisms, then the existentially closed models of the theory do not form a first order model class. This leads us to investigate them within a non-elementary framework. One way of doing non-elementary model theory is to move from elementary classes to the more general setting of abstract elementary classes (AECs). In the first order world, classes of structures are usually defined syntactically as model classes of a given first order theory. An AEC is defined more semantically, as a class of structures together with a binary relation that generalises the first-order elementary submodel relation. In this talk, we go through some basics of AECs and present an AEC framework for studying fields with commuting automorphisms.

(En collaboration avec Joshua Wiscons)
L'exposé mélange théorie des modèles, théorie des groupes, et algèbre géométrique. On y parlera de groupes de rang de Morley fini, mais il suffit de savoir naïvement ce qu'est une dimension à valeurs entières, sans devoir maîtriser les finesses de la conjecture de Cherlin-Zilber.
Un groupe abstrait porte peu d'information de nature géométrique, même au sens des géométries d'incidence, et c'est toujours remarquable si cela se produit.
Le pur groupe SO(3, R), par exemple, permet de redéfinir l'espace projectif réel. PGL(2,C) permet presque la même chose : il définit un fragment générique de l'espace projectif complexe. En fait cette situation est naturellement liée à la distribution des involutions et aux intersections entre conjugués de leur centralisateur, qui pavent génériquement le groupe ambiant (tout cela sera expliqué dans SO(3,R) et PGL(2,C)).
En suivant cette piste on peut obtenir des énoncés étonnamment forts, généralisant au passage divers classiques sur les mauvais groupes ou sur les groupes définissablement linéaires de rang de Morley fini. On conjecture également que cette géométrie des involutions annonce un nouveau théorème d'identification pour PGL(2, K).

A complete theory T is called geometric if the algebraic closure has the exchange property in all models of T and the theory eliminates the quantifier exists infinity. In such theories there is a rudimentary notion of independence given by algebraic independence. Examples of geometric theories include SU-rank one theories and dense o-minimal theories.
An expansion of a model M of T by a unary predicate H is called dense-codense if for every finite dimensional subset A of M and every non algebraic type p(x) over A, there is a realization of p(x) in H(M) and another one which is not algebraic over AH(M). A dense-codense expansion is called an H-structure if in addition H(M) is algebraically independent.
In this talk we will talk about the basic properties of H-structures and how the new structure can be understood as a tame expansion of the original structure M. We will discuss groups definable in this expansion. We will also present some recent results on the special case when M is the ultrapower of a one-dimensional asymptotic class.
This talk includes joint work with E. Vassiliev and D. Garcia and T. Zou.

We consider Cartan subgroups of definably connect groups definable in
an o-minimal structure. In [BJ0] we proved that, in this context,
Cartan subgroups of G exist, they are definable and they fall in
finitely many conjugacy classes.

In this talk I will prove that the union of the Cartan subgroups is
dense in the group, which was the main question left open in [BBO].


(Joint work with Elías Baro and Alessandro Berarducci.)

[BJ0] E.Baro, E. Jaligot and M.Otero. Cartan subgroups of groups
definable in o-minimal structures, J. Inst. Math. Juissieu 13 no. 4
(2014) 849 - 893.

Un produit cartésien de D-variétés est une D-variété, et une sous-D-variété de (V, s) est donnée par (W, s|W), où W est une sous-variété de V telle que pour a ∈ W, on a s(a) ∈ t(W). Toutes les sous-variétés de V ne donnent donc pas des sous-D-variétés.

La question suivante se pose alors : étant donnée une D-variété (V, s), est-il vrai que tout sous-ensemble définissable de (V, s)^n est une combinaison booléenne de sous-D-variétés de (V, s)^n ?

La réponse est positive quand (V, s) est un D-groupe. Le résultat est dû à Piotr Kowalski et Anand Pillay, dans : Quantifier-elimination for D-groups, TAMS 358 Nr1 (2005), 167 - 181. Je parlerai de leur preuve.