Séminaires : Théorie des modèles et groupes

Equipe(s) Responsable(s)SalleAdresse
Logique Mathématique
Z. Chatzidakis, F. Oger, F. Point
2015 Sophie Germain


Pour recevoir le programme, écrivez à oger_at_math.univ-paris-diderot.frRetour ligne automatique
Le mardi à 16h00 en salle 2015, (parfois à 14h), consulter la page web - http://www.logique.jussieu.fr/semgrp/index.html pour plus de renseignements.

Séances à suivre

Orateur(s)Titre Date DébutSalleAdresse
+ Séances antérieures

Séances antérieures

Orateur(s)Titre Date DébutSalleAdresse
+ Nathanaël Mariaule Expansions de l'arithmétique de Presburger avec la propriété d'échange 05/11/2019 16:00 Salle 2015, Sophie Germain

Soit G un groupe élémentairement équivalent à Z dans le langage de Presburger L_Pres. Soit L une expansion du langage L_Pres. On dit que la théorie de (G, L) est L_Pres-minimale si tout sous-ensemble L-définissable de M est L_Pres-définissable (où M est un modèle de la théorie). Si G=Z, des résultats de C. Michaux et R. Villemaire impliquent que Th(Z, L) est L_Pres-minimale ssi la clôture algébrique a la propriété d'échange. Dans cet exposé, je discuterai le cadre général. En particulier, nous verrons que Th(G,L) est L_Pres-minimale ssi la clôture algébrique a la propriété d'échange et tout sous-ensemble définissable borné de G a un maximum.

+ Michael Wibmer Model theory of proalgebraic groups 29/10/2019 16:00 Salle 2015, Sophie Germain

Inspired by the model theoretic study of profinite groups, we discuss the foundations of a model theoretic approach to proalgebraic groups. Our axiomatization is based on the tannakian philosophy. Through a tensor analog of skeletal categories we are able to consider neutral tannakian categories with a fibre functor as many-sorted first order structures. The theory of a diagonalizable proalgebraic group is well understood. It is determined by the theory of the base field and the theory of its character group. This is joint work with Anand Pillay.

 


+ Nick Ramsey The transitivity of Kim-independence 22/10/2019 16:00 Salle 1016, Sophie Germain

The class of NSOP_1 theories contains the simple theories and many interesting non-simple theories, such as the omega-free PAC fields or generic vector spaces with a non-degenerate bilinear form. With Itay Kaplan, we introduced Kim-independence which agrees with non-forking independence within the simple theories and shares many of its nice properties within the simple NSOP_1 context. One very basic roadblock in lifting simplicity theory to the NSOP_1 setting, however, was transitivity: a free extension of a free extension should still be a free extension. This is almost immediate for non-forking extensions in a simple theory, but becomes more involved for free extensions in the sense of Kim-independence. We will describe and motivate the basic theory, and then discuss our recent proof of transitivity. This is joint with Itay Kaplan.

 

 


+ Kaisa Kangas An abstract elementary class framework for fields with commuting automorphisms 08/10/2019 16:00

We take a look at structures that consist of a field together with finitely many distinguished field automorphisms required to commute. The theory of fields with one distinguished automorphism has a model companion known as ACFA, which Z. Chatzidakis and E. Hrushovski have studied in depth. However, Hrushovski has proved that if you look at fields with two or more commuting automorphisms, then the existentially closed models of the theory do not form a first order model class. This leads us to investigate them within a non-elementary framework. One way of doing non-elementary model theory is to move from elementary classes to the more general setting of abstract elementary classes (AECs). In the first order world, classes of structures are usually defined syntactically as model classes of a given first order theory. An AEC is defined more semantically, as a class of structures together with a binary relation that generalises the first-order elementary submodel relation. In this talk, we go through some basics of AECs and present an AEC framework for studying fields with commuting automorphisms.

+ Adrien DELORO Sous-groupes qui pavent génériquement et géométrie des involutions 01/10/2019 16:00 Salle 2015, Sophie Germain

(En collaboration avec Joshua Wiscons)
L'exposé mélange théorie des modèles, théorie des groupes, et algèbre géométrique. On y parlera de groupes de rang de Morley fini, mais il suffit de savoir naïvement ce qu'est une dimension à valeurs entières, sans devoir maîtriser les finesses de la conjecture de Cherlin-Zilber.
Un groupe abstrait porte peu d'information de nature géométrique, même au sens des géométries d'incidence, et c'est toujours remarquable si cela se produit.
Le pur groupe SO(3, R), par exemple, permet de redéfinir l'espace projectif réel. PGL(2,C) permet presque la même chose : il définit un fragment générique de l'espace projectif complexe. En fait cette situation est naturellement liée à la distribution des involutions et aux intersections entre conjugués de leur centralisateur, qui pavent génériquement le groupe ambiant (tout cela sera expliqué dans SO(3,R) et PGL(2,C)).
En suivant cette piste on peut obtenir des énoncés étonnamment forts, généralisant au passage divers classiques sur les mauvais groupes ou sur les groupes définissablement linéaires de rang de Morley fini. On conjecture également que cette géométrie des involutions annonce un nouveau théorème d'identification pour PGL(2, K).

+ Alex Berenstein H-structures 24/09/2019 16:00 Salle 2015, Sophie Germain

A complete theory T is called geometric if the algebraic closure has the exchange property in all models of T and the theory eliminates the quantifier exists infinity. In such theories there is a rudimentary notion of independence given by algebraic independence. Examples of geometric theories include SU-rank one theories and dense o-minimal theories.
An expansion of a model M of T by a unary predicate H is called dense-codense if for every finite dimensional subset A of M and every non algebraic type p(x) over A, there is a realization of p(x) in H(M) and another one which is not algebraic over AH(M). A dense-codense expansion is called an H-structure if in addition H(M) is algebraically independent.
In this talk we will talk about the basic properties of H-structures and how the new structure can be understood as a tame expansion of the original structure M. We will discuss groups definable in this expansion. We will also present some recent results on the special case when M is the ultrapower of a one-dimensional asymptotic class.
This talk includes joint work with E. Vassiliev and D. Garcia and T. Zou.

+ Arman Darbinyan Computability, orders, and groups 04/06/2019 16:00 Sophie Germain, salle 2015
Orderable groups are extensively studied by logicians and group theorists. In my talk I will address aspects of left- or bi-orderable groups that are connected with computability theory. In particular, I will talk about constructions of bi-orderable computable groups that cannot be embedded into groups with computable bi-order. I will also discuss our recent work in progress with M. Steenbock about simplicity and computably left-orderability.
+ Juan Pablo Acosta Groups definable in Presburger arithmetic 07/05/2019 16:00 Sophie Germain, salle 2015
I will give a complete description of all groups definable in Presburger arithmetic, up to finite index subgroups. This builds on previous work on bounded groups in Presburger arithmetic by Mariana Vicaria and Alf Onshuus.
+ Armin Darbinyan The word and conjugacy problems in finitely generated groups 19/03/2019 16:00 Sophie Germain, salle 2015
The word and conjugacy problems are central decision problems associated with finitely generated groups. In particular, there are deep results which bridge some of the main concepts of the theories of computability and computational complexity with group theoretical invariants through the word problem in groups. In this talk I will recall some of the well-known facts about the word and conjugacy problems in groups as well as discuss new results concerning the relationship between them.
+ Salma Kuhlmann Strongly NIP almost real closed fields 12/03/2019 14:00 Sophie Germain, salle 1016
The following conjecture is due to Shelah--Hasson: Any infinite strongly NIP field is either real closed, algebraically closed, or admits a non-trivial definable henselian valuation, in the language of rings. We specialise this conjecture to ordered fields in the language of ordered rings, which leads towards a systematic study of the class of strongly NIP almost real closed fields. As a result, we obtain a complete characterisation of this class.
+ Martin Bays Density of compressiblity in NIP theories 12/03/2019 16:00 Sophie Germain, Salle 2015
Joint with Itay Kaplan and Pierre Simon.

Distal theories are NIP theories which are “wholly unstable”. Chernikov and Simon's “strong honest definitions” characterise distal theories as those in which every type is compressible. Adapting recent work in machine learning of Chen, Cheng, and Tang on bounds on the “recursive teaching dimension” of a finite concept class, we find that compressibility is dense in NIP structures, i.e. any formula can be completed to a compressible type in S(A). Considering compressibility as an isolation notion (which specialises to l-isolation in stable theories), we obtain consequences on the existence of models with certain properties.
+ Ward Henson Uncountable categoricity of structures based on Banach spaces 26/02/2019 16:00 Sophie Germain, Salle 2015
A continuous theory T of bounded metric structures is said to be kappa-categorical if T has a unique model of density kappa. Work of Ben Yaacov and Shelah+Usvyatsov shows that Morley's Theorem holds in this context: if T has a countable signature and is kappa-categorical for some uncountable kappa, then T is kappa-categorical for all uncountable kappa. In classical (discrete) model theory, there are several characterizations of uncountable categoricity. For example, there is a structure theorem for uncountably categorical theories T, due to Baldwin+Lachlan: there is a strongly minimal set D defined over the prime model of T such that every uncountable model M of T is minimal and prime over D(M). Moreover (and easier), if T has such a strongly minimal set, then T is uncountably categorical.

In the more general metric structure setting, nothing remotely like this is known. Indeed, the metric analog of a strongly minimal set is nowhere to be seen, at the moment. If one restricts attention to metric structures based on (unit balls) of Banach structures, more is known. The appropriate analog of strongly minimal sets seems to be the unit balls of Hilbert spaces. After the speaker called attention to this phenomenon in some examples from functional analysis, Shelah and Usvyatsov investigated it and proved a remarkable result (arxiv 1402.6513; to appear in Adv. in Math.): if M is a nonseparable Banach structure (with countable signature) whose theory is uncountably categorical, then M is prime over a Morley sequence that is an orthonormal Hilbert basis of length equal to the density of M. There is a wide gap between this result and what is true of verified examples of uncountably categorical Banach structures , which leads to the question: can a stronger such result be proved, which gives a characterization of uncountable categoricity for Banach structures and in which the connection to Hilbert space structure is clearly expressed in the geometric language of functional analysis?

In addition to the above background, we will discuss some new examples of uncountably categorical Banach spaces (of which there have been very few previously known). This is joint work with Yves Raynaud (Paris 6); we have a 2016 paper in Comment. Math. (now freely available on their website) and the examples to be discussed here are more recent.
+ Hector Pasten On the theory of rigid meromorphic functions in positive characteristic 19/02/2019 16:00 Sophie Germain, Salle 2015
There is a well-known analogy between the arithmetic of rational numbers and the theory of meromorphic functions over a normed field. It is a classical result of Julia Robinson that the first order theory of the field of rational numbers is undecidable, and one would expect such a result in the meromorphic setting. In this talk I'll give an outline of the proof of undecidability for rigid meromorphic functions in positive characteristic; the cases of characteristic zero remain open.
+ Tomas Ibarlucia Groupes d'automorphismes et Propriété (T) 05/02/2019 16:00 Sophie Germain, Salle 2015
Nous présenterons une preuve de la Propriété (T) de Kazhdan pour les groupes d'automorphismes de structures métriques aleph_0-catégoriques. Ceci généralise des résultats précédents de Bekka (pour le groupe unitaire) et de Evans et Tsankov (pour les groupes pro-oligomorphes), sans besoin de faire appel à des résultats de classification de représentations unitaires. En effet, l'argument est purement modèle-théorique et basé sur des principes de la stabilité locale.
+ Paola D'Aquino Spectrum of the profinite completion of the integers 29/01/2019 16:00 Sophie Germain, Salle 1016
Using ultraproducts, I will describe the spectrum of the profinite completion of the integers and of the finite adeles over the rationals.
The final aim is to describe the structure sheaf of these structures.
Joint work with Margarita Otero and Angus Macintyre.
+ Margarita Otero Density of the union of Cartan subgroups of o-minimal groups 15/01/2019 16:00 Salle 2015, Sophie Germain
Let G be a group. A subgroup H of G is a Cartan subgroup of
G if H is a maximal nilpotent subgroup of G, and for every normal finite
index subgroup X of H, X has finite index in its normalizer in G.


We consider Cartan subgroups of definably connect groups definable in
an o-minimal structure. In [BJ0] we proved that, in this context,
Cartan subgroups of G exist, they are definable and they fall in
finitely many conjugacy classes.


In this talk I will prove that the union of the Cartan subgroups is
dense in the group, which was the main question left open in [BBO].


(Joint work with Elías Baro and Alessandro Berarducci.)


[BJ0] E.Baro, E. Jaligot and M.Otero. Cartan subgroups of groups
definable in o-minimal structures, J. Inst. Math. Juissieu 13 no. 4
(2014) 849 - 893.

+ Simon André Les groupes virtuellement libres sont presque homogènes 18/12/2018 16:00 Salle 2015, Sophie Germain
Perin et Sklinos, et indépendamment Ould Houcine, ont démontré en 2011 que les groupes libres sont homogènes : deux éléments qui ont le même type sont dans la même orbite sous l'action du groupe d'automorphismes. Dans cet exposé, j'expliquerai que ce résultat reste presque vrai pour les groupes virtuellement libres, au sens suivant : l'ensemble des éléments ayant le même type qu'un élément donné contient un nombre fini d'orbites sous le groupe d'automorphismes, et ce nombre ne dépend pas de l'élément considéré. J'expliquerai également pourquoi je pense que ce résultat est optimal, en donnant un exemple de groupe virtuellement libre dont je conjecture qu'il n'est pas homogène (travail en cours).
+ Christian d'Elbée Sous-groupe additif générique d'un corps algébriquement clos de caractéristique positive. 04/12/2018 16:00 Salle 2015, Sophie Germain
La théorie d'un corps algébriquement clos de caractéristique positive p muni d'un prédicat pour un sous-groupe additif admet une modèle-compagne ACF_pG. On se propose de décrire ce nouvel exemple de théorie NSOP_1, en décrivant les imaginaires, le Kim-forking et le forking. On parlera aussi de la généralisation de cette construction afin de présenter de nouveaux exemples de théories NSOP_1.
+ Tingxiang Zou Counting in pseudofinite structures 20/11/2018 16:00 Salle 2015, Sophie Germain
In pseudofinite structures, the non-standard size of definable sets often reveals important algebraic or model theoretic properties of the corresponding theories. In this talk, we will give two new examples of this correlation. One is between the coarse dimension and the transformal transcendental degree in certain class of pseudofinite difference fields. The other example is that in pseudofinite H-strucures which are built from one-dimensional asymptotic classes, the coarse dimension of a tuple corresponds to the coefficient of the leading term of SU-rank of this tuple. This is the first step to show that they are examples of multidimensional asymptotic classes (mac).
+ Frank Wagner Groupes et anneaux oméga-catégoriques de fardeau fini 13/11/2018 16:00 Salle 2015, Sophie Germain
Les groupes de fardeau fini sont les groupes NTP_2 qui correspondent aux groupes stables ou simples de rang fini. Or, le fardeau est plus difficile à manipuler car il n'est pas forcément additif par fibration. Nous montrons que ces groupes sont virtuellement abélien-par-fini, et les anneaux sont virtuellement fini-par-nuls. Ceci améliore un résultat de Kaplan, Levi et Simon qui avaient démontré qu'un groupe dp-minimal est virtuellement nilpotent.
Travail en commun avec Jan Dobrowolski
+ Silvain Rideau Corps interprétables dans ACVF 19/06/2018 16:00 Sophie Germain, salle 1016
(Travail en commun avec E. Hrushovski)
Le but de cet exposé sera de montrer qu'il n'y a que deux corps interprétables (à isomorphisme définissable près) dans ACVF. On commencera par rappeler des résultats de classification des groupes (abéliens) interprétables dans ACVF puis on appliquera ces résultats à l'étude des corps.

+ Zoé Chatzidakis Elimination des quantificateurs dans les D-groupes 19/12/2017 16:00 Sophie Germain, salle 1016
On sait que la théorie DCF_0 des corps différentiellement clos de caractéristique 0 élimine les quantificateurs dans le langage { + , - , · , 0 , 1 , D } des anneaux différentiels.
Pierce et Pillay ont montré que tout ensemble définissable est une combinaison booléenne d'ensembles définis par des D-variétés. Une D-variété est une paire (V, s), où V est une variété algébrique, et s: V → t(V) une section du tangent tordu de V (sera défini).


Un produit cartésien de D-variétés est une D-variété, et une sous-D-variété de (V, s) est donnée par (W, s|W), où W est une sous-variété de V telle que pour a ∈ W, on a s(a) ∈ t(W). Toutes les sous-variétés de V ne donnent donc pas des sous-D-variétés.


La question suivante se pose alors : étant donnée une D-variété (V, s), est-il vrai que tout sous-ensemble définissable de (V, s)^n est une combinaison booléenne de sous-D-variétés de (V, s)^n ?


La réponse est positive quand (V, s) est un D-groupe. Le résultat est dû à Piotr Kowalski et Anand Pillay, dans : Quantifier-elimination for D-groups, TAMS 358 Nr1 (2005), 167 - 181. Je parlerai de leur preuve.

+ Todor Tsankov Sur les flots minimaux métrisables 12/12/2017 16:00 Sophie Germain, salle 1016
C'est un vieux théorème en dynamique topologique qu'à tout groupe topologique on peut associer un unique flot minimal universel (UMF) : un flot qui se projette sur tout flot minimal du groupe. Pour de certains groupes (par exemple les groupes localement compacts), ce flot n'est pas métrisable et n'admet pas de description concrète. Néanmoins pour plusieurs “gros” groupes polonais, l'UMF est métrisable, peut être calculé, et est lié à des phénomènes combinatoires intéressants. Dans cet exposé je vais décrire l'état de l'art et mentionner quelques résultats récents qui caractérisent les UMF métrisables. Ces derniers sont du travail en commun avec I. Ben Yaacov, J. Melleray et L. Nguyen Van Thé.
+ Francis Oger Equivalence élémentaire entre anneaux à groupe additif de type fini 28/11/2017 16:00 Sophie Germain, salle 1016
Cet exposé est basé sur un travail de A.G. Myasnikov et M. Sohrabi. Les anneaux considérés ne sont pas supposés commutatifs, associatifs ou unitaires.
Je donnerai des caractérisations algébriques de l'équivalence élémentaire pour les anneaux R avec (R,+) de type fini (i.e. finiment engendré). Les résultats sont analogues à ceux que j'avais précédemment obtenus pour les groupes nilpotents de type fini.
+ Pablo Cubides-Kovacsics Autour des extensions séparées de corps valués 07/11/2017 16:00 Sophie Germain, salle 1016
Une extension de corps valués (K ⊆ L, v) est dite séparée si tout K-sous espace vectoriel V ⊆ L de dimension finie admet une base séparée, c'est-à-dire, une base u_1, ... ,u_n telle que pour tout k_1,...,k_n in K,

v(Σ_i=1^n k_i u_i) = min_i v (k_iu_i).

Différents résultats autour de ces extensions, notamment issus des travaux de Walter Baur et de Françoise Delon, utilisent des outils de la théorie des modèles de paires de corps valués. Dans cet exposé je revisiterai certains de ces résultats en essayant de garder un point de vue algébrique. De plus, je discuterai le lien avec les extensions algébriques dites sans défaut. Il s'agit d'un travail en commun avec Ania Blaszczok et Franz-Viktor Kuhlmann.
+ Françoise Point Définissabilité des types et VC densité dans les corps topologiques différentiels 24/10/2017 16:00 Sophie Germain, salle 1016
Etant donnée une théorie T modèle-complete de corps topologiques, on considère son expansion différentielle générique et sous une hypothèse de largeur sur le corps, on peut axiomatiser la classe des modèles existentiellement clos.
On montrera un résultat de densité sur les types définissables sur des sous-ensembles définitionnellement clos dans les modèles de telles théories. Ensuite on montrera deux résultats de transfert l'un sur la VC-densité (lorsque T est NIP) et l'autre sur la propriété combinatoire NTP2.
+ Salma Kuhlmann Groupes abéliens divisibles ordonnés ayant la propriété de relèvement 10/10/2017 16:00 Sophie Germain, salle 1016
Le théorème de Hahn asserte que tout groupe abélien divisible ordonné (GADO) est (à isomorphie près) un sous groupe du produit de Hahn, et contient la somme de Hahn (le produit et la somme en question étant pris au-dessus du squelette de G). Le squelette de G étant un invariant valuatif, il est facile de voir que tout automorphisme de G induit un automorphisme de son squelette.

Dans cet exposé, nous nous penchons sur la réciproque: peut-on caractériser les GADOs pour lesquels tout automorphisme du squelette se relève en un automorphisme du groupe?. Il est facile de vérifier que la somme et produit de Hahn, et en fait, tout groupe de séries de Hahn κ-bornées (pour un cardinal infini κ), ont cette propriété de relèvement, mais on est loin d'une caractérisation générale. En particulier, il serait utile de savoir si tout groupe exponentiel a cette propriété.
+ Francis Oger Courbes auto-évitantes et isomorphisme local 16/05/2017 16:00 Sophie Germain, salle 1016
La notion d'isomorphisme local a été introduite pour l'étude des pavages apériodiques (pavages de penrose, quasicristaux...). On considère un espace euclidien de dimension finie. On identifie deux sous-ensembles si et seulement s'ils sont équivalents à translation près. On dit qu'un sous-ensemble E satisfait la propriété d'isomorphisme local si chaque partie bornée de E apparaît dans toute boule de rayon suffisamment grand. Deux sous-ensembles E,F sont localement isomorphes si toute partie bornée de l'un apparaît aussi dans l'autre.

Deux pavages sont élémentairement équivalents si et seulement s'ils sont localement isomorphes. Les pavages de Penrose d'un même type sont localement isomorphes entre eux et satisfont la propriété d'isomorphisme local.

Ici, nous considérons trois familles de courbes auto-évitantes introduites par B. Mandelbrot pour construire des fractales. Nous montrons que chacune donne des recouvrements du plan, constitués chacun par une courbe auto-évitante ou par un petit nombre de telles courbes disjointes, qui satisfont la propriété d'isomorphisme local. Nous caractérisons la relation d'isomorphisme local entre les recouvrements d'une même famille.
+ Adrien Deloro Actions localement quadratiques de groupes de Chevalley, et représentations minuscules 18/04/2017 16:00 Sophie Germain, salle 1016
+ Nick Ramsey NSOP_1, Kim-independence, and simplicity at a generic scale 28/03/2017 16:00 Sophie Germain, salle 1016
The class of NSOP_1 theories properly contains the simple theories and is contained in the class of theories without the tree property of the first kind. We will describe a notion of independence called Kim-independence, which corresponds to non-forking independence 'at a generic scale.' In an NSOP_1 theory, Kim-independence is symmetric and satisfies a version of Kim's lemma and the independence theorem. Moreover, these properties of Kim-independence individually characterize NSOP_1 theories. We will talk about what Kim-independence looks like in several concrete examples: parametrized equivalence relations, Frobenius fields, and vector spaces with a bilinear form. This is joint work with Itay Kaplan.
+ Salma Kuhlman Kappa-bounded exponential groups and exponential-logarithmic power series fields without log-atomic elements 14/03/2017 16:00
A divisible ordered abelian group is an exponential group if its rank as an ordered set is isomorphic to its negative cone. Exponential groups appear as the value groups of ordered exponential fields, and were studied in [1]. In [2] we gave an explicit construction of exponential groups as Hahn groups of series with support bounded in cardinality by an uncountable regular cardinal kappa. An exp-log series s is said to be log atomic if the nth-iterate of log(s) is a monomial for all n in N. In this talk I will present a modified construction of kappa-bounded Hahn groups and exploit it to construct kappa bounded Hahn fields without log-atomic elements. This is ongoing joint work with Berarducci, Mantova and Matusinski.

[1] S. Kuhlmann, Ordered exponential fields, The Fields Institute Monograph Series, vol 12. Amer. Math. Soc. (2000)
[2] S. Kuhlmann and S. Shelah, Kappa-bounded Exponential-Logarithmic power series fields, Annals Pure and Applied Logic, 136, 284-296 (2005)
+ Carol Wood Elimination of imaginaries for differentially closed fields of finite characteristic 07/03/2017 16:00 Sophie Germain, salle 1016
All fields under discussion here are assumed to have finite characteristic p. This talk might be seen as a sequel to my survey talk at Françoise Delon's conference in June 2016, although it will not assume familiarity with this talk.
Of interest here are two complete theories, namely differentially closed fields (DCF) and separably closed fields (inf-SCF) with infinite degree of imperfection. These theories are related. For example, the underlying field of a model of DCF is a model of inf-SCF, and the constant field is also a model of inf-SCF. In each case, there are natural choices of language in which the theory has quantifier elimination.
We will consider ways in which the theories are not alike. In the mid 1980's Gabriel Srour proved that DCF is equational, and also that the theories of separably closed fields of finite degree of imperfection are equational. However, to my knowledge, the equationality of inf-SCF is still unknown.
Delon proved that the finite imperfection separably closed fields have elimination of imaginaries (EI); this too is an open question for inf-SCF.
At the June conference, Zoé Chatzidakis and Silvain Rideau asked whether DCF might have EI.
Upon reflection and with a bit of work, I realized that the answer is yes. The proof involves an idea which Srour used in his proof of equationality for DCF. After providing some necessary background about DCF and inf-SCF, I will describe this recent work.
+ Christian d'Elbée Expansions minimales de (Z,+,0) 28/02/2017 16:00 Sophie Germain, salle 1016
Cet exposé essayera de donner une vision d'ensemble des différentes choses connu à ce jour sur les expansions du groupes des entiers (Z,+,0) avec un accent sur les expansions dp-minimales. En particulier les deux structures (Z,+,0,<) et (Z,+,0,|_p) sont des expansions strictes de (Z,+,0) (avec x|_p y si et seulement si v_p(x) ≤ v_p(y)). Si (Z,+,0,...) est un réduit de (Z,+,0,<) qui est une expansion stricte de (Z,+,0), alors (Z,+,0,...) définit l'ordre <. Le même phénomène apparaît pour l'expansion (Z,+,0,|_p). Dans ce sens, ce sont des expansions minimales de (Z,+,0). G. Conant a montré dans l'article [1] que (Z,+,0,<) est une expansion minimale de (Z,+,0). On propose une autre preuve du théorème de Conant ainsi qu'une preuve que (Z,+,0,|_p) est une expansion minimale. On sait que (Z,+,0) n'a pas d'expansions stables dp-minimales ([2]). Comme (Z,+,0,<) et (Z,+,0,|_p) sont dp-minimales il suffit d'étudier les réduits instables. De plus quitte à travailler dans un modèle saturé, on pourra réduire l'étude des ensembles définissables à ceux de dimension 1. Le résultat de Conant se déduira rapidement par cette approche, en revanche le résultat concernant (Z,+,0,|_p) nécessite une bonne compréhension de l'arithmétique des ensembles définissable dans cette structure. Les nouveaux résultats présenté sont en commun avec E. Alouf.

[1] G. Conant. There are no intermediate structures between the group of integers and Presburger arithmetic. May 2016. Available at https://arxiv.org/pdf/1603.00454.pdf.

[2] G. Conant, A. Pillay. Stable groups and expansions of (Z, +, 0). January 2016. Available at https://arxiv.org/ pdf/1601.05692.pdf.
+ Amador Martin-Pizarro Équationalité des paires de corps 21/02/2017 16:00 Sophie Germain, salle 1016
Une théorie est équationelle si tout ensemble définissable est combinaison booléenne d'instances d'équations, c'est-à-dire des formules telles que la famille des intersections finies d'instances ont la propriété de chaîne descendante. L'équationalité, introduite par Srour et ensuite étudiée par Pillay et Srour, entraîne la stabilité. Or, le seul exemple algébrique naturel d'une théorie stable non-équationelle est la théorie du groupe non-abélien libre, comme récemment montré par Sela. Cependant, ce n'est pas évident de montrer qu'une théorie stable donnée est équationelle. Cet exposé présentera les idées d'un travail en commun avec Martin Ziegler sur l'équationalité de la théorie des belles paires de corps algébriquement clos en toute caractéristique.

+ Olivier Frécon Mauvais groupes de rang de Morley 3 10/01/2017 16:00 Sophie Germain, salle 1016
Selon la conjecture d'algébricité de Cherlin-Zilber, tout groupe simple et infini de rang de Morley fini est un groupe algébrique défini sur un corps algébriquement clos.
Il y a presque 40 ans, Cherlin avait montré que s'il existe un contre-exemple à cette conjecture, alors il est de rang de Morley au moins 3. Il avait aussi montré que s'il est de rang 3, alors c'est un mauvais groupe : ses sous-groupes définissables infinis propres sont de rang de Morley 1, ils sont en particulier abéliens.
Dans cet exposé, nous montrerons pourquoi un tel mauvais groupe n'existe pas.
+ Cédric Milliet Corps non commutatifs NIP de caractéristique p>0 13/12/2016 16:00 Sophie Germain, salle 1016
On sait qu'un corps gauche stable de caractéristique p>0 est de dimension finie sur son centre. On conjecture que cette dimension vaut mêêe 1. Nous montrons qu'un corps non commutatif NIP de caractéristique p>0 est de dimension finie sur son centre, et donnons des exemples où cette dimension est différente de 1.
+ François Guignot Groupes valués construits sur (Z, +) avec une chaîne finie 29/11/2016 16:00 Salle 1016, Bâtiment Sophie Germain
A longueur de chaîne finie fixée N+2, nous axiomatisons la théorie commune à tous les groupes valués (Z, +, v, I), c'est-à-dire la théorie commune à toutes les structures obtenues en munissant le groupe additif de Z de prédicats pour N sous-groupes non nuls formant une chaîne strictement décroissante. Nous présentons un langage dans lequel tout modèle de cette théorie a l'élimination des quantificateurs. Ces deux résultats découlent d'un même lemme que l'on démontre en se ramenant à une paire de groupes (c'est-à-dire à une chaîne de valuation de longueur 3) : il s'agit alors, à l'intérieur d'un groupe assez saturé et élémentairement équivalent à (Z, +) de bien placer, conjointement, certains éléments et sous-groupes.
+ Elisabeth Bouscaren Le théorème du stabilisateur de E. Hrushovski (version de S. Montenegro, A. Onshuus et P. Simon) 08/11/2016 16:45 Sophie Germain, salle 1016
Dans son article `Stable group theory and approximate subgroups' (2011), Hrushovski montre (et utilise de manière essentielle) un résultat, auquel on se réfère depuis comme le `théorème du stabilisateur', qui permet sous certaines hypothèse locales(mais sans stabilité ni simplicité) de construire des groupes (stabilisateurs d'un type, dans un certain sens) infiniment définissables. Tout récemment, dans un travail sur les `Groups with f-generics in NTP_2 and PRC fields', Montenegro, Onshuus et Simon en démontrent une version un petit peu différente, avec des hypothèses un peu plus fortes, mais une preuve plus simple. C'est cette version dont je me propose de vous expliquer la démonstration.
+ Tomas Ibarlucia Propriétés topologiques des groupes d'automorphismes de structures omega-stables omega-catégoriques 11/10/2016 16:00 Sophie Germain, salle 1016
Nous discuterons des liens entre les propriétés de stabilité d'une structure oméga-categorique M et les propriétés de son groupe d'automorphismes Aut(M) en tant que groupe topologique. En particulier, nous expliquerons le résultat suivant : Une structure stable oméga-catégorique M est oméga-stable si et seulement si la compactification WAP de Aut(M) est un semi-groupe inversif (travail en commun avec Todor Tsankov et Itaï Ben Yaacov). Nous parlerons aussi des difficultés existantes pour généraliser ces idées au cas des structures métriques.
+ Françoise Point Questions de décidabilité pour des théories de modules sur certains anneaux de Bézout 04/10/2016 16:00 Sophie Germain, salle 1016
Nous introduisons la notion de modules l-valués sur un anneau commutatif de Bézout. Un exemple étant l'anneau lui-même muni de l'application vers son groupe de divisibilité (une l-valuation). Dans ce cadre et supposant une propriété de divisiblité, nous montrons un résultat d'élimination relative des quantificateurs. Un des ingrédients est un théorème de Feferman-Vaught pour ces modules l-valués.
On en déduit des résultats de décidabilité pour des théories de modules sur certains anneaux de Bézout dénombrables avec “bonne factorization”, dont un cas particulier sont les “bons” domaines de Rumely (un exemple de tels domaines est l'anneau des entiers algébriques dont la décidabilité dans le langage des anneaux avait été montrée par van den Dries).
C'est un travail en commun avec Sonia L'Innocente (Université de Camérino).
+ Zoé Chatzidakis La trichotomie et les idéaux virtuels 27/09/2016 14:00 Sophie Germain, salle 1016
La théorie ACFA des corps aux différences existentiellement clos est supersimple. La trichotomie (de Zilber) est la propriété suivante des types minimaux : la prégéométrie donnée par acl sur l'ensemble des réalisations du type, est ou bien triviale (acl(A)=\bigcup_a in A acl(a)) ; ou bien non-triviale et modulaire (grosso modo pas plus de structure qu'un espace vectoriel) ; ou bien interprète un corps.

Un des résultats fondamentaux concernant les complétions de la théorie ACFA est que les types minimaux satisfont cette trichotomie. Ce résultat, ainsi que la description des corps qui apparaissent, est d'ailleurs sous-jacente à la plupart des applications.

Cet exposé presentera une stratégie de preuve de cette trichotomie. Et quelques détails de la preuve.
+ Rémi Jaoui Nouveaux exemples d'équations différentielles orthogonales aux constantes 27/09/2016 16:00 Sophie Germain, salle 1016
Depuis les travaux de Hrushovski sur la conjecture de Mordell-Lang, on sait que la propriété d'orthogonalité aux constantes est centrale dans les corps différentiellement clos puisqu'elle témoigne de la dichotomie entre types minimaux localement modulaires et non localement modulaires.
Dans mon exposé, je présenterai un critère d'orthogonalité aux constantes pour les équations différentielles définies sur le corps des nombres réels. J'expliquerai ensuite comment appliquer ce critère à la construction d'équations différentielles orthogonales aux constantes.
+ Thomas Scanlon Mahler functions and the theory of difference fields 28/06/2016 16:00 Sophie Germain, salle 1016
[a report on on-going joint work with Alice Medvedev and Khoa Nguyen]
In the 1930s, Mahler developed a method for proving the transcendence of special values of certain analytic functions by using the functional equations satisfied by these functions. In recent years, the difference Galois theory has been used to study the algebraic relations on Mahler functions satisfying linear difference equations. I will talk about Mahler functions satisfying nonlinear equations. More specifically, given a natural number k > 1 and a Laurent series f(x) in C((x)) (where C is an algebraically closed field of characteristic zero), we say that f is a k-Mahler function if there is a rational function P(x,y) which is a polynomial of degree at least 2 in y for which f satisfies the functional equation f(x^k) = P(x,f(x)). Zannier has shown that if f is a k-Mahler function which is algebraic over C(x), then f in C(x). We study the following question: If f and g are non-rational k-Mahler and l-Mahler functions, respectively, with k and l multiplicatively independent, must f and g be algebraically independent over C(x)?

Using our theory of σ-degree one difference varieties defined by polynomials, we reduce the problem to an apparently simpler problem of skew-conjugation between Galois-conjugate difference equations.
+ Moshe Kamensky Galois theory of differential equations over general fields of constants 21/06/2016 16:00 Sophie Germain, salle 1016
In the Galois theory of linear differential equations, the Picard--Vessiot extensions are differential field extensions that are analogous to the splitting fields in usual Galois theory. When the field of constants is algebraically closed, a classical result asserts that such an extension exists for every linear equation, and it is unique up to isomorphism. However, examples show that this fails when the constants are not algebraically closed.

I will discuss a joint work with A. Pillay, where we show that Picard-Vessiot (and more generally, strongly normal) extensions exist whenever the field of constants is existentially closed (as a field) in the base field. Furthermore, with some additional field-theoretic assumptions, we obtain that the field of constants is existentially closed in the extension, and also a suitable uniqueness result. This generalises results of Crespo-Hajto-van der Put and others.
+ Martin Hils Model theory of compact complex manifolds with an automorphism 14/06/2016 10:30 Sophie Germain, salle 2015
(joint work with Martin Bays and Rahim Moosa)
One may develop the model theory of compact complex manifolds (CCM) with a generic automorphism in rather close analogy to what has been done for existentially closed difference fields, in important work by Chatzidakis and Hrushovski, among others. The corresponding first order theory CCMA is supersimple, and the Zilber trichotomy holds for “finite-dimensional” types of SU-rank 1.

In the talk, I will present some results in CCMA in the spirit of geometric simplicity. I will then discuss the question of stable embeddedness for certain definable sets.
+ Samaria Montenegro Groupes définissables dans les corps PRC 14/06/2016 14:15 Sophie Germain, salle 1016
(Travail en commun avec Alf Onshuus et Pierre Simon)
Les corps PRC sont une généralisation des corps PAC et des corps réels clos. Plus précisément un corps M est pseudo réel clos (PRC) si M est existentiellement clos (dans le langage des anneaux) dans chaque extension régulière L à laquelle tous les ordres de M s'étendent.

Dans cet exposé on va étudier les groupes définissables dans les corps PRC. En particulier on va regarder le cas où les groupes ont des types fortement f-génériques. On va définir une notion de groupe multi-semi-algébrique, et voir la relation entre les groupes définissables et les groupes multi-semi-algébriques.
+ Silvain Rideau Imaginaires dans les pseudo-p-adiquement clos 14/06/2016 16:00 Sophie Germain, salle 1016
(Travail en commun avec Samaria Montenegro)
Dans sa thèse, Samaria Montenegro a démontré que les théories des corps pseudo-réels clos et pseudo-p-adiquement clos bornés ont de très bonne propriétés modèle-théoriques (en particulier de modération, mais aussi l'élimination des imaginaires dans le cas pseudo-réel clos). L'elimination des imaginaires dans les corps pseudo-p-adiquement clos n'y est par contre pas démontrée et je propose dans cet exposé de, presque, résoudre cette question en montrant que tout imaginaire est inter-algébrique avec un uple géométrique.

+ Gabriel Lehéricy Classification des C-groupes abéliens par les quasi-ordres. 31/05/2016 10:00 Sophie Germain, salle 2015
On connaît deux exemples fondamentaux de C-groupes : ceux où la C-relation provient d’un ordre et ceux où la C-relation provient d’une valuation. Le but de mon exposé est d’utiliser les quasi-ordres pour montrer que toute C-relation d’un C-groupe abélien se construit à partir de ces deux exemples fondamentaux.

Les quasi-ordres sont naturellement liés aux C-relations : si (G,C) est un C-groupe, C induit naturellement un quasi-ordre défini par :
x \prec y ssi ¬C(x, y, 0) ;
on appelle C-quasi-ordre un quasi-ordre ainsi induit par une C-relation.

Dans mon exposé, je décrirai la structure d’un groupe abélien (G,\prec) muni d’un C-quasi-ordre \prec ; je montrerai en particulier que G peut se partitionner en ensembles convexes sur chacun desquels le quasi-ordre correspond soit à un ordre soit à une valuation et qu’on peut construire \prec en “relevant” une chaîne (\prec_i), i \in I, de C-quasiordres définis sur des quotients G^i/G_i de sous-groupes de G, où chaque \prec_i est induit soit par un ordre soit par une valuation.

Références
[1] Françoise Delon : C-minimal structures without the density assumption, In Raf Cluckers, Johannes Nicaise et Julien Sebag, éditeurs : Motivic Integration and its Interactions with Model Theory and Non-Archimedean Geometry. Cambridge University Press, Berlin, 2011.
+ Zoé Chatzidakis Compter modulo n dans les corps pseudo-finis 10/05/2016 10:30 Sophie Germain, salle 1014
On considère la théorie T des corps finis dans le langage des anneaux augmenté par des constantes permettant de définir les extensions algébriques du corps. Cette théorie est modèle-complète.

L'article montre grosso modo le résultat suivant :
(D’après un préprint de Will Johnson, août 2013).

Etant donnés des entiers k,n et une formule φ(x,y), il existe alors une formule ψ(y), qui dans chaque modèle fini de T définit l'ensemble des uplets b tels que la cardinalité de l'ensemble défini par φ(x,b) soit congrue à k modulo n.

Je donnerai la version plus précise du résultat, ainsi que quelques idées sur la preuve, au moins quand n n'est pas divisible par la caractéristique du corps.
+ Quentin Brouette Types définissables dans les corps ordonnés différentiellement clos 03/05/2016 16:00 Sophie Germain, salle 1016
La théorie des corps ordonnés différentiellement clos (désignée CODF) est la modèle complétion de la théorie des corps ordonnés munis d'une dérivée. Elle a été définie et axiomatisée par Singer. En particulier, un modèle de CODF est un corps réel clos.

Dans cet exposé, après avoir rappelé la caractérisation des types définissables dans les théories o-minimales (résultat obtenu par Marker et Steinhorn, ainsi que Pillay), on prouvera une caractérisation similaire des types définissables dans CODF:

tp(u/A) est définissable si et seulement si A est Dedekind complet dans la clôture réelle du corps différentiel engendré par A et u.

Ensuite, on montrera que les types définissables sont denses dans l'espace de Stone de CODF.
+ Dario Garcia Unimodularity unified 05/04/2016 16:00 Sophie Germain, salle 1016
Unimodularity was defined by Hrushovski, in his proof that a unimodular strongly minimal set is one-based, thus generalising Zilber's result that a locally finite strongly minimal set is 1-based. It was claimed in the same paper that unimodularity was equivalent to a weaker notion known later as functional unimodularity. In an attempt to clarify the situation, Pillay and Kestner distinguished two types of functional unimodularity -one for definable sets and one for type-definable sets- and studied their relationship in the context of strongly minimal structures.

In this talk, I will present joint with Wagner where we introduce yet another variant called correspondence unimodularity (for types and for definable sets) and present several results describing the relationship between the different concepts.

For instance, we show the variants of unimodularity for types coincide in omega-stable theories, and all variants coincide for non-multidimensional theories where the dimension is associated to strongly minimal types (e.g. strongly minimal theories or groups of finite Morley rank).
© IMJ-PRG