| Résume | On sait que la théorie DCF_0 des corps différentiellement clos de caractéristique 0 élimine les quantificateurs dans le langage { + , - , · , 0 , 1 , D } des anneaux différentiels.
Pierce et Pillay ont montré que tout ensemble définissable est une combinaison booléenne d'ensembles définis par des D-variétés. Une D-variété est une paire (V, s), où V est une variété algébrique, et s: V → t(V) une section du tangent tordu de V (sera défini).
Un produit cartésien de D-variétés est une D-variété, et une sous-D-variété de (V, s) est donnée par (W, s|W), où W est une sous-variété de V telle que pour a ∈ W, on a s(a) ∈ t(W). Toutes les sous-variétés de V ne donnent donc pas des sous-D-variétés.
La question suivante se pose alors : étant donnée une D-variété (V, s), est-il vrai que tout sous-ensemble définissable de (V, s)^n est une combinaison booléenne de sous-D-variétés de (V, s)^n ?
La réponse est positive quand (V, s) est un D-groupe. Le résultat est dû à Piotr Kowalski et Anand Pillay, dans : Quantifier-elimination for D-groups, TAMS 358 Nr1 (2005), 167 - 181. Je parlerai de leur preuve.
|
