| Résume | On présente une extension du théorème des tores invariants KAM à des systèmes de dimension infinie, comportant une infinité de particules faiblement en interaction.
On montre que, malgré la complexité liée au grand nombre de degrés de liberté et aux interactions à longue portée de type « tous à tous », il existe de nombreux états initiaux pour lesquels le système admet des mouvements presque périodiques stables, correspondant à des tores invariants de dimension infinie.
Dans le cas de potentiels singuliers, comme le potentiel newtonien, nous introduisons la notion de mouvement collectif, qui permet d’exclure les collisions. En effet, sous l’effet des interactions avec les premières particules massives, les particules peuvent se déplacer bien davantage que leurs distances mutuelles, lesquelles tendent vers zéro; néanmoins, ce mouvement collectif garantit qu’elles restent suffisamment séparées.
Cette notion joue également un rôle essentiel dans l’étude des tores normalement elliptiques. Elle permet en particulier de surmonter les difficultés liées à la vérification des conditions de non-résonance de type Melnikov tout au long du schéma itératif : en raison du caractère à longue portée des interactions, les décalages de fréquences induits à chaque étape sont d’amplitude uniforme (non décroissante en l’indice), ce qui compromet a priori les estimations sur les petits diviseurs.
Travail en collaboration avec Dmitry Dolgopyat et Jaime Paradela. |
