| Résume | Soit p un nombre premier et F une extension finie de Q_p.
Soit G un groupe réductif connexe sur F, et C un corps algébriquement
clos. Dans une C-représentation admissible irréductible π du groupe
G(F), les points fixes par un sous-groupe ouvert K forment un C-espace
vectoriel de dimension finie d(K, π). Si π est de dimension infinie,
il est intéressant de savoir comment d(K, π) croît quand K devient de
plus en plus petit. Par exemple, on peut partir d’un sous-groupe de
Moy-Prasad G_x,r (pour x dans l’immeuble de G sur F et r un nombre
réel positif), et faire croître r. Grâce à des résultats de
Harish-Chandra (1978) et T.-C.Tsai (2025), nous prouvons que si la
caractéristique de C n'est pas p, alors pour tout entier n assez grand,
d(G_x,r+2n, π) a la forme P(p^n), où P est un polynôme à
coefficients rationnels, dépendant de x, r, et π. Nous soupçonnons
que cela reste vrai si C est de caractéristique p, mais seul le cas où
G est GL₂ et F=Q_p est connu. Pour G général, même le cas
particulier où π est la représentation de Steinberg de G(F) est
difficile. Cependant, nous obtenons un résultat asymptotique plus
faible, valable pour tout π. Au passage, nous examinons la condition
que G_x,r soit un pro-p groupe uniforme. |
