| Résume | Si X est une variété algébrique complexe, il suit du théorème de comparaison de M. Artin que X et son lieu complexe X(C) ont le même nombre de composantes connexes, la première pour la topologie de Zariski, le second pour la topologie analytique ou forte. Au contraire, si X est une variété algébrique réelle connexe, son lieu réel X(R) est disconnexe pour la topologie forte en général. On peut néanmoins se demander si l'on peut séparer les composantes connexes de X(R) par des invariants algébriques de X. On peut pour cela utiliser des invariants de nature cohomologique : ainsi, E. Witt a montré que le signe des classes dans le groupe de Brauer d'une courbe algébrique réelle lisse séparent les composantes connexes de son lieu réel. La possibilité d'une telle séparation par un invariant cohomologique de degré donné dépend cependant de la relation entre ce dernier et la dimension : cela motive l'étude de l'optimalité de ce degré pour une dimension donnée. Le but de l'exposé est d'expliquer des résultats autour de cette question pour la séparation par la cohomologie et par son raffinement non ramifié et, si le temps le permet, des applications à la signature globale des formes quadratiques. Il s'agit d'un travail en commun avec Olivier Benoist. |
