Séminaires : Séminaire Variétés Rationnelles

Del Pezzo surfaces are classified by their degree d, and integer between 1 and 9. The lower the degree, the more arithmetically complex these surfaces are. It is generally believed that, if a del Pezzo surface has one rational point, then it has many, and that they are well-distributed. After giving an overview of different notions of "many" rational points and what is known so far for del Pezzo surfaces, I will focus on joint work with Julian Demeio and Sam Streeter where we prove weak weak approximation for del Pezzo surfaces of degree 2 with a general point.

D'après un théorème classique de Borel-Serre, l'ensemble de Tate-Shafarevich d'un groupe algébrique linéaire défini sur un corps de nombres est fini. On présentera des extensions de ce résultat à divers corps de fonctions, ainsi que quelques questions et conjectures autour de ces énoncés.

Many interesting Diophantine geometry problems involve finding integral points on affine surfaces, for example the sum of three cubes problem which states: For n in Z, not congruent to 4 or 5 mod 9 the affine surface 

u_1^3+u_2^3+u_3^3=n in A^3_Z (1) 

always has an integral point. Colliot-Thélène and Wittenberg showed that the affine surface (1) has no integral Brauer-Manin obstruction for any choice of n in Z. Building on the work of Colliot-Thélène and Wittenberg, I will show the affine surfaces f(u_1)+f(u_2)+f(u_3)=n in A^3_Z have no integral Brauer-Manin obstruction for all but finitely many n in Z.

Together with Efthymios Sofos and Nick Rome, I have recently formulated a conjecture on counting the number of varieties in family which are everywhere locally soluble. I will explain this conjecture and some known cases, including some work in progress with Julian Lyczak concerning families over the projective line.

In the late 1990s, Voevodsky initiated a unification of algebraic and topological methods. Combining algebraic geometry and homotopy theory, Morel and Voevodsky developed what is now called motivic homotopy theory, the main idea of which was to apply the techniques from classical algebraic topology to the study of schemes (the affine line A1 playing the role of the unit interval [0,1]). The main achievement of this new theory was the proof of Milnor's conjecture by Voevodsky (in particular thanks to Rost's work), which earned him the Fields Medal in 2002.

In this talk, we will start with some general background in motivic homotopy theory, and then present some consequences of the study of Milnor-Witt cycle modules and their associated Chow-Witt groups in birational geometry.

We define, in the context of 0-cycles on a smooth projective geometrically integral variety over a number field, analogues of the classical descent set and ´etale-Brauer set for rational points. We then transfer some tools and techniques used to study the arithmetic of rational points into the setting of 0-cycles. For example, we extend the strategy developed by Yongqi Liang, relating the arithmetic of rational points over finite extensions of the base field to that of 0-cycles, to torsors, and we give applications of our results to study the arithmetic behaviour of 0-cycles for Enriques surfaces, universal torsors, and torsors under tori. This is joint work with Jennifer Berg.

Le but de cet exposé est de donner une réponse à la question suivante :

Étant donné deux groupes algébriques lisses et connexes G et H, une variété lisse X, un G-torseur Y --> X et un H-torseur Z --> Y, peut-on trouver une extension E de G par H telle que la flèche composée Z --> X admette une structure de E-torseur ?

Cette question est apparue récemment dans divers contextes, mais malheureusement elle a été traitée à chaque fois de façon "ad hoc". Dans un travail en commun avec Diego Izquierdo et Mathieu Florence, on a fait une étude systématique de cette question, du moins sur un corps de caractéristique 0. On donnera alors dans l'exposé des exemples où la réponse est négative, ainsi que des hypothèses supplémentaires sur les groupes G et H qui font que la réponse soit positive.

For a reductive group scheme G over a regular local ring R, the Grothendieck--Serre conjecture predicts that no nontrivial G-torsor trivializes over the fraction field of R. I will present a statement of this type that is valid over arbitrary base rings that implies all the known geometric cases of the Grothendieck--Serre conjecture in equal and mixed characteristics via presentation lemmas.

Soit k un corps de caractéristique zéro, et soit K=k(t_1,t_2,t_3) une extension purement transcendante de degré 3. Soit X une surface dans l’espace projectif sur K, donnée par l’équation diagonale de degré d, avec les coefficients 1, t_1, t_2, t_3. Alors l’application naturelle de Br(K) vers Br(X) est un isomorphisme. C’est un travail en commun avec Dámian Gvirtz.

We explain that Chow’s moving lemma for algebraic cycles on smooth quasi-projective varieties has an analogue for pairs of a cycle and a homology class supported on the given cycle. This moving lemma generalizes in our setting the effacement theorem, respectively the Gersten conjecture, proven by Quillen, Bloch—Ogus, and Gabber. Several applications will be discussed.

Les théorèmes d'approximation forte, omniprésents en géométrie arithmétique, ont été largement étudiés sur les corps globaux. Mais qu'advient-il lorsque le corps de base, noté k, est un corps de fonctions d'une courbe algébrique complexe ? Cette question a été approfondie au cours de la dernière décennie, à l'aide de méthodes de déformation des courbes algébriques. Au cours de cet exposé, j'aborderai la rémanence de l'approximation forte hors d'un fermé de codimension deux pour les espaces homogènes d'un groupe semi-simple sur k, puis pour certaines intersections complètes affines lisses sur k de bas degré, généralisant de la sorte un résultat de Colliot-Thélène, puis de Chen et Zhu.

Soit G un schéma en groupes de type fini sur un corps k. Peut-on réaliser G comme un schéma en groupes d'automorphismes Aut_X où X est une k-variété projective ? Dans l'exposé, on présentera une réponse positive partielle : si G est connexe, on peut le réaliser comme la composante neutre d'un tel Aut_X (travail en commun avec Stefan Schröer). La question reste ouverte en général et on donnera d'autres éléments de réponse.

Je présenterai des travaux en cours. En particulier, je fournirai une preuve simple du relèvement mod p^2, des représentations galoisiennes triangulaires mod p d'un corps local $F$, en toute dimension (travail avec Cyril Demarche).

J'expliquerai les grandes lignes d'une démonstration du même énoncé, sur tout corps $F$ (texte bientôt disponible sur arXiv). Il vaut bien plus généralement, pour les représentations d'un groupe profini (1,1)-lisse.

J'expliquerai enfin, comment cet énoncé implique le théorème de Rost-Voevodsky (travail avec Charles De Clercq, bientôt disponible sur arXiv).

On dit qu'une variété X sur un corps K est Hilbertienne si X(K) n'est pas un ensemble mince. Grosso modo, dans tout ouvert dense U de X, il existe des K-points qui ne peuvent pas être relevés par toute collection finie fixée de morphismes génériquement finis dominants de degré >1 vers X. Cette notion a pour origine le théorème d'irréductibilité de Hilbert pour les espaces projectifs. Une conjecture de Corvaja-Zannier prédit que toute variété projective lisse algébriquement simplement connexe sur un corps de type fini de caractéristique 0 est Hilbertienne. Nous rapportons des progrès sur les variétés de Kummer associées aux jacobiennes de courbes hyperelliptiques. Il s'agit d'un travail en commun avec Damián Gvirtz-Chen (UCL).

The J-invariant of a semi-simple algebraic group G was introduced by Petrov, Semenov and Zainoulline in 2008. The J-invariant is a discrete invariant which encodes the motivic decomposition of the variety of Borel subgroups in G. Let (A, σ) be a central simple algebra with orthogonal involution and trivial discriminant. The J-invariant of (A,σ) is defined as J(PGO+(A,σ)). In this talk I will discuss a conjecture of Quéguiner-Mathieu, Semenov and Zainoulline, which allows to reduce the computation of J(A,σ) to the case of quadratic forms.

La théorie des motifs avec modules (sur un corps) de Kahn, Miyazaki, Saito, Yamazaki formalise l'idée de filtration de ramification dans un cadre motivique à la Voevodsky. Après avoir donné quelques motivations issues de la théorie des corps de classes, je décrirai comment étendre cette théorie à une base qcqs générale (avec module). En cours de route, nous obtenons une définition naturelle du type d'homotopie avec module, et diverses topologies de Grothendieck étroitement liées aux espaces relatifs de Rieman-Zariski de Temkin.

We establish the Hasse principle and the weak approximation property for a family of homogeneous spaces of SLm whose geometric stabilizer is finite of nilpotency class 2, which were constructed by M. Borovoi and B. Kunyavskii. In particular, these homogeneous verify Colliot-Thélène's conjecture concerning Brauer-Manin obstruction for geometrically rationally connected varieties over number fields. The proof is by cohomological computation, the key argument an "arithmetic lemma" on a global property of Hilbert symbols, which is itself a consequence of Poitou-Tate duality.

For a real reductive group G, we compute combinatorially the real component group π_0(G(R)) and the Galois cohomology set H^1(R,G). The computation of H^1(R,G) uses Kac labelings of the affine Dynkin diagram of G. The talk will be based on two texts by Mikhail Borovoi and Dmitry Timashev.

Étant donnée une hypersurface cubique X dans P^n, c'est un problème classique de géométrie algébrique de déterminer si on peut écrire son équation comme le Pfaffien d'une matrice 6 x 6 antisymétrique des formes linéaires. Pour n = 4, il était connu que chaque hypersurface cubique lisse est Pfaffienne; dans cet exposé on montrera comment étendre ce résultat aux cubiques 3-dimensionnelles quelconques. On décrira en particulier comment construire des courbes AG sur X qui garantissent l'existence des représentations Pfaffiennes de X.

Une surface cubique lisse qui possède un point fermé de degré premier à 3 possède un tel point de degré 1, 4 ou 10 (Coray, 1974). Un mélange de générisation, de spécialisation, de théorèmes de Bertini et d'utilisation des corps fertiles donne de la souplesse à sa méthode. Pour les surfaces de del Pezzo de degré 2, on obtient un analogue du résultat de Coray. Pour les surfaces cubiques avec un point rationnel, on montre que tout zéro-cycle de degré au moins 10 est rationnellement équivalent à un zéro-cycle effectif. On discute l'existence de points fermés de degré 3 non alignés sur une surface cubique sans point rationnel. On la relie à la question de la densité des points rationnels sur une surface de del Pezzo de degré 1.

La correspondance de Green est un résultat classique et très utile en théorie des représentations modulaires des groupes finis; elle fournit une bijection entre les G-modules indécomposables de vertex Q et les modules indécomposables sur le normalisateur de Q dans G, permettant ainsi de réduire beaucoup de questions au cas "p-local". Nous allons rappeler ce résultat, et nous allons ensuite expliquer comment on peut le globaliser pour qu'il s'applique aux faisceaux cohérents équivariants sur une variété propre et lisse sur un corps de caractéristique positive. Ce dernier résultat n'est, en effet, qu'un cas particulier d'une équivalence de Green qui vaut dans le contexte abstrait très général des "2-foncteurs de Mackey", qu'on peut décliner en d'innombrables autres exemples en algèbre, géométrie et topologie. (Travail en commun avec Paul Balmer : lien)

The Hasse-Minkowski theorem says that a quadratic form over a global field admits a nontrivial zero if it admits a nontrivial zero everywhere locally. Over more general fields of arithmetic and geometric interest, the failure of the local-global principle is often controlled by auxiliary structures of interest, such as torsion points of the Jacobian and the Brauer group. I will explain work with V. Suresh on the failure of the local-global principle for quadratic forms over function fields varieties of dimension at least two in characteristic zero. The counterexamples we construct are controlled by higher unramified cohomology groups and involve the study of Calabi-Yau varieties of generalized Kummer type that originally arose from number theory. Along the way, we need to develop an arithmetic version of a result of Gabber on the nontriviality of certain unramified cohomology classes on products of elliptic curves.

Let k be a global field and L be a product of cyclic extensions of k. Let T be the torus defined by the multinorm equation N_{L/k}(x)=1 and let T̂ be its character group. In this talk we are interested in the Tate-Shafarevich group and the algebraic Tate-Shafarevich group of T̂. These groups give the obstructions to the Hasse principles and the weak approximations for rational points on principle homogeneous spaces of T. We give concrete description of these groups and provide several examples.

Given an extension L/K of number fields, we say that the Hasse norm principle (HNP) holds if every non-zero element of K which is a norm everywhere locally is in fact a global norm from L. If L/K is cyclic, the original Hasse norm theorem states that the HNP holds. More generally, there is a cohomological description (due to Tate) of the obstruction to the HNP for Galois extensions. In this talk, I will present work (joint with Rachel Newton) developing explicit methods to study this principle for non-Galois extensions. As a key application, I will describe how these methods can be used to characterize the HNP for extensions whose normal closure has Galois group A_n or S_n. I will additionally discuss some recent generalizations of these methods to study the Hasse principle and weak approximation for multinorm equations as well as consequences in the statistics of these local-global principles.

On explore quelques conséquences de l'idée (un peu perdue dans le folklore) d'encoder la théorie de Morita pour les algèbres sur un anneau commutatif donné par une certaine (2-)catégorie monoïdale dont les morphismes sont les bimodules, ainsi que la version hermitienne, pour les algèbres à involution. Quand les algèbres en question sont d'Azumaya, l'existence de certaines symétries dues à l'élément de Goldman donne des propriétés de rigidité très fortes aux catégories en question, ce qui permet de relever au niveau des équivalences de Morita certains sous-groupes du groupe de Brauer de l'anneau de base. On expliquera notamment comment définir certaines structures graduées sur la K-théorie (algébrique/hermitienne) des algèbres en question, généralisant ainsi certaines constructions passées sur les anneaux de Grothendieck-Witt.

Il s’agit d’un travail en collaboration avec M. Florence. Etant donné  
un groupe algébrique affine G défini sur un corps k, nous définissons  
une notion d’indice et de résidu pour tout élément g de G(k((t))).  
L’indice est un nombre rationnel et le résidu est un homomorphisme du  
groupe additif ou du groupe multiplicatif vers G. Ceci donne lieu à   
une preuve alternative au  théorème de Gabber énonçant  que G est  
k-ployé (i.e. ne possède aucun  sous-groupe isomorphe au groupe  
additif/multiplicatif) si et seulement si G(k[[t]]) =G(k((t))).

Dans plusieurs contextes, tels que la formule du produit pour la fibration de Hitchin sur le lieu génériquement régulier semisimple, la géométrie du préchamp [G(k((t))/Ad(G(k((t)))] ou pour comprendre les lacets dans un champ algébrique, il est indispensable d'établir des résultats de structure et d'annulation pour les G-torseurs sur les anneaux de séries de Laurent. Dans cet exposé, on présente des résultats généraux d'algébrisation, une formule pour Pic(R((t))) ainsi que des résultats d'annulation utiles pour ces problèmes. C'est un travail en commun avec K. Cesnavicius.
 

This is a report on an on-going work with J. Kass, J. Solomon and K. Wickelgren. Let S be a smooth del Pezzo surface over a field k of characteristic ≠ 2, 3 and let D be an effective curve class on S of non-negative self-intersection. Let \(M_{0,n}(S, D)\) denote the Kontsevich moduli space of stable maps of genus 0, n-pointed curves to S in the curve class D and take \(n=- K_S.D - 1\). Using the geometry of the double point locus for the universal curve over \(M_{0,n}(S, D)\), we construct an orientation for a symmetrized version of the evaluation map \(M_{0,n}(S, D) \to S_n\). This orientation allows us to define a section \(Wel_{S,D}\) of the sheaf of Grothendieck-Witt rings on the unordered configuration space \(Sym^n(S)^0\) as the corresponding trace form. The rank of \(Wel_{S,D}\) gives the classical curve count and for k a subfield of R, the signature of \(Wel_{S,D}\) recovers Welschinger's invariant Wel(p*) for counting real rational curves through a real point configuration p* on S of degree n. Welschinger's theorem, that \(Wel(\sum_i p_i) \)depends only on the images of the real points \(p_i\) in \(\pi_0(S(\mathbf{R})) \)generalizes as follows: Let K be an extension field of k and let \(\sum_i p_i\) be a K-point of \(Sym^n(S)^0\). Then the value \(Wel(\sum_i p_i) \) depends only on the classes \([p_i] \in π_0^{\mathbf{A}^1}(S)(K(p_i)).\)

Je définirai de manière élémentaire un anneau de cobordisme des involutions de variétés projectives lisses sur un corps (de caractéristique différente de deux). Je donnerai quelques informations sur sa structure, et fournirai en particulier des générateurs polynomiaux "stables" explicites. Je tirerai quelques conséquences concrètes concernant la géométrie des lieux fixes d'involutions de variétés algébriques, en termes de nombres de Chern. Je mentionnerai en particulier une version algébrique du théorème des cinq moitiés de Boardman.

(Travail en commun avec Olivier Benoist.) Nous développons une théorie des jacobiennes intermédiaires pour les variétés de dimension 3 géométriquement rationnelles sur un corps arbitraire, non nécessairement parfait. Nous en déduisons qu'un solide intersection lisse de deux quadriques est rationnel si et seulement s'il contient une droite. Nous obtenons ainsi les premiers contre-exemples au problème de Lüroth qui deviennent rationnels après une extension purement inséparable des scalaires.

Let G be a connected reductive algebraic group over the field of complex numbers C. Let Y=G/H be a spherical homogeneous space of G (a homogeneous space of special kind). Let G_0 be a real model (real form) of G, that is, a model of G over the field of real numbers R. In the talk I will discuss the following question: does there exist a G_0-equivariant real model Y_0 of Y? This is interesting even in the case when G = G' x G', where G' is a connected semisimple group over C, and H=G' embedded diagonally into G' x G'. (Our results immediately generalize from R to any field of characteristic 0.) This is a joint work with Giuliano Gagliardi (Tel Aviv - Hannover). No preliminary knowledge of spherical varieties will be assumed.

Soit F un corps de caractéristique 0, qui admet une extension biquadratique. On donne un exemple d'un tore G sur F tel que son champ classifiant soit stablement rationnel et {BG}.{G} ≠ 1 dans l'anneau de Grothendieck des F-champs K0(StacksF). Cela nous permet de donner un exemple d'un F-schema en groupes fini A tel que BA soit stablement rationnel mais {BA} ≠ 1 dans K0(StacksF).

(En collaboration avec Zhizhong Huang) L'approximation forte avec obstruction de Brauer-Manin est définie par Colliot-Thélène et Xu pour étudier le principe local-global des points entiers. Pour un groupe semi-simple simplement connexe G, il est conjecturé que G satisfait la pureté arithmétique : le complémentaire de tout fermé de codimension ≥ 2 satisfait l'approximation forte. On montre cette conjecture lorsque

• G est isotrope, par une variante de la méthode de fibration.
• G est spinoriel, en utilisant le densité des points entiers dont les valeurs polynomiales sont presque premières.