Séminaires : Séminaire Variétés Rationnelles

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Topologie et Géométrie Algébrique
Cyril Demarche et Mathieu Florence
Campus Pierre et Marie Curie

 

Le séminaire a généralement lieu à Jussieu (Sorbonne Université, Paris), un vendredi par mois, entre 15h et 18h.

http://math.univ-lyon1.fr/homes-www/gille//sem/sem_variete_archives.html

Séances à suivre

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+ Séances antérieures

Séances antérieures

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+Enveloppe étale de morphismes plats 21/06/2019 14:30 Daniel Ferrand salle 15-16-413
Soit S un schéma. Tous les S-schémas évoqués seront supposés de présentation finie. La catégorie des S-schémas étales est une sous-catégorie pleine de celle des S-schémas plats. L'exposé portera sur l'existence d'un adjoint à gauche de cette inclusion de catégories. Un tel adjoint associerait à un S-schéma plat T un morphisme surjectif h_T : T → E qui soit universel pour les morphismes de T vers les S-schémas étales; d'où son nom d'enveloppe étale de T. Un tel adjoint est connu lorsque S est le spectre d'un corps, ou lorsque S est noethérien et que T est propre et lisse (factorisation de Stein). Mais sous la généralité annoncée, et déjà pour S = Spec(Z), un tel adjoint n'existe pas. Par contre, nous montrons que si on se restreint à la sous-catégorie des étales séparés l'adjoint à gauche existe (noté π^s(T/S)). Cela répond à une question de B. Kahn qui avait construit ce π^s lorsque S est de Dedekind. Des propriétés fonctorielles de π^s conduisent, en particulier lorsque S est normal intègre de point générique ξ et que T est lisse, à l'utile isomorphisme π^s(T_ξ) → π^s(T)_ξ. Finalement nous montrons que, sous les mêmes hypothèses, ce schéma π^s(T/S) est l'enveloppe séparée de l'espace algébrique π_0(T/S), qui "représente" les composantes connexes des fibres de T → S, et que M. Romagny a explicité dans le cadre des champs.
+The proportion of a certain family of everywhere locally soluble genus 1 curves. 21/06/2019 16:00 Jennifer Park salle 15-16-413
Poonen and Voloch proved that the Hasse principle holds for either 100% or 0% of most families of hypersurfaces (specified by degrees and the number of variables). In this joint work with Tom Fisher and Wei Ho, we study one of the special families of hypersurfaces not accounted for by Poonen and Voloch, and we show that the explicit proportion of everywhere locally soluble (2,2)-curves in P^1 x P^1 is about 87.4%.
+Obstruction à l'approximation faible pour les groupes réductifs sur un corps de fonctions p-adiques. 17/05/2019 14:30 Yisheng Tian salle 15-16-413
Dans cet exposé, on donne quelques résultats de dualité et une suite exacte de type Poitou-Tate pour un complexe de tores. Ensuite, on montre qu'il existe des obstructions à l'approximation faible pour les groupes réductifs, décrites par un H^3 non ramifié. Enfin, on donne une application aux espaces homogènes avec stabilisateur connexe.
+Automorphismes semi-linéaires de groupes réductifs. 17/05/2019 16:00 Thierry Stulemeijer salle 15-16-413
Soit G un groupe réductif sur un corps k. On s'intéresse au groupe Aut(G → k) des automorphismes algébriques de G définis "au-dessus d'un automorphisme de k". Dans ce contexte, deux questions se posent d'emblée: quels sont les automorphismes de k qui s'étendent à G ? Et en notant Aut_G(k) le sous-groupe des automorphismes de k qui s'étendent à G, existe-t-il un homomorphisme de Aut_G(k) dans Aut(G → k) préservant l'automorphisme de k sous-jacent ? On répondra à ces questions pour G quasi-déployé sur un corps quelconque, ainsi que pour G = SL_n(D) (D algèbre à division sur k de degré fini) sur un corps local.
+Irrationality of generic quotient varieties 12/04/2019 15:00 Urban Jezernik salle 15-16-413
We will take a look at some recent advances in tackling the rationality problem, focusing especially on quotient varieties by linear actions of finite groups. After considering particular examples, we will analyse the situation of a quotient by a "generic" group. This is joint work with Jonatan Sánchez.
+L'hypothèse de Schinzel pour les polynômes. 12/04/2019 16:30 Pierre Dèbes salle 15-16-413
L'hypothèse de Schinzel est un énoncé conjectural célèbre sur les nombres premiers apparaissant comme valeurs de polynômes donnés, qui généralise le théorème de la progression arithmétique de Dirichlet. Nous considérons la situation où l'anneau des entiers est remplacé par un anneau de polynômes (Collaboration avec Arnaud Bodin et Salah Najib).
+La méthode de Clemens-Griffiths sur un corps non algébriquement clos. 15/03/2019 15:00 Olivier Benoist salle 15-16-413
Le problème de Lüroth demande si toute variété unirationnelle est rationnelle. Dans cet exposé, je considérerai cette question pour des variétés géométriquement rationnelles sur un corps non algébriquement clos k. En adaptant la méthode de Clemens et Griffiths dans cette situation, je construirai de nouveaux exemples de k-variétés géométriquement rationnelles, k-unirationnelles, mais pas k-rationnelles. Il s'agit d'un travail en commun avec Olivier Wittenberg.
+Groupes de Brauer pour les surfaces diagonales. 15/03/2019 16:30 Damian Gvirtz salle 15-16-413
Dans un travail commun avec A. Skorobogatov, nous proposons une méthode pour déterminer le groupe de Brauer d'une surface diagonale projective X sur un corps de nombres k. Notre approche utilise des résultats pour la cohomologie complexe des variétés de Fermat (Pham, Looijenga) et les représentations de Galois associées (Weil, Katz, Shioda, Ulmer). Quand k=Q ou Q(i), on classifie le groupe de Brauer pour toutes les surfaces quartiques diagonales avec des coefficients rationnels.
+Trivialité locale pour les G-torseurs 08/02/2019 15:00 Philippe Gille salle 15-16-413
Il s'agit d'un travail en commun avec Parimala et Suresh (Université Emory). Soit C/R une courbe plate propre au dessus d'un anneau hensélien R. Soit G un C-schéma en groupes réductif. Sous des hypothèses techniques assez faibles, on se propose de montrer qu'un G-torseur sur C, qui est trivial sur la fibre spéciale de C, est localement trivial pour la topologie de Zariski.
+Structures réelles des variétés horosphériques 08/02/2019 16:30 Lucy Moser-Jauslin salle 15-16-413
Une variété horosphérique complexe est une variété dans laquelle un groupe réductif opère avec une orbite ouverte, et telle que le sous-groupe d'isotropie d'un point de l'orbite ouverte contient un sous-groupe unipotent maximal. En particulier, les variétés toriques et les variétés des drapeaux sont des exemples des variétés horosphériques. Elles sont décrites par des données combinatoires qui généralisent les éventails des variétés toriques. Dans cet exposé, je vais montrer comment déterminer les structures réelles de ces variétés à partir de ces données. Ce travail est en collaboration avec R. Terpereau et M. Borovoi.
+The fibration method over real function fields 25/01/2019 15:00 Ambrus Pál salle 15-16-413
Let F be the function field of a smooth, irreducible projective curve over the reals. Let X be a smooth, projective, geometrically irreducible variety equipped with a dominant morphism f onto a smooth projective rational variety with a smooth generic fibre over F. Assume that the cohomological obstruction introduced by Colliot-Thélène is the only one to the local-global principle for rational points for the smooth fibres of f over F-valued points. I will talk about how to show that the same holds for X, too, by adopting the fibration method. Joint work with Endre Szabó.
+Borne uniforme des groupes de Brauer des formes en caractéristique positive 25/01/2019 16:30 Emiliano Ambrosi salle 15-16-413
Soit k un corps de type fini et de caractéristique p > 0, X/k une variété propre et lisse. Un travail récent de Cadoret-Hui-Tamagawa montre que si X satisfait la conjecture de Tate l-adique pour tout les l ≠ p, alors la torsion première à p des invariants par Galois du groupe de Brauer géométrique est fini. Dans cet exposé, on démontre une borne uniforme pour les formes de X : pour tous les entiers d > 0, il existe une constante C:=C(X,d) tel que le cardinal de ce groupe soit inférieur à C pour toutes les k'-formes Y de X et toutes les extensions k' de k de degré inférieur à d. Ce théorème étend en caractéristique positive un résultat de Orr-Skorobogatov en caractéristique zéro.
+Relèvements des représentations du groupe fondamental étale 14/12/2018 15:00 Anna Cadoret salle 15-16-413
Soit X une variété propre et lisse sur un corps fini k et D un diviseur de Cartier effectif sur D. On montre que pour tout premier l suffisamment grand, tout F_l-faisceau localement constant constructible de rang r, irréductible de déterminant trivial et à ramification bornée par D se relève de façon unique en un Z_l-faisceau lisse (dont le Q_l-faisceau associé est également irréductible de déterminant trivial et à ramification bornée par D). Il s'agit d'une variante d'une conjecture de de Jong. La preuve repose sur les correspondances de Langlands l-adique et ultraproduit pour GL_r et la conjecture des compagnons.
+Number fields with prescribed norms 14/12/2018 16:30 Rachel Newton salle 15-16-413
Let G be a finite abelian group, let k be a number field, and let x be an element of k. We count Galois extensions K/k with Galois group G such that x is a norm from K/k. In particular, we show the existence of such extensions. This is joint work with Christopher Frei and Daniel Loughran.
+Obstruction de Brauer-Manin pour les surfaces de Markoff. 30/11/2018 15:00 Jean-Louis Colliot-Thélène salle 15-16-413
C'est un problème difficile de décider quand une surface cubique affine a un point entier, et si les points entiers sont denses (en divers sens). Ghosh et Sarnak ont récemment étudié la famille des surfaces de Markoff, données par une équation x^2+y^2+z^2-xyz=m, où m est entier. Ces surfaces admettent un groupe discret d'automorphismes, avec un domaine fondamental borné pour les solutions entières. Ghosh et Sarnak montrent que le principe de Hasse entier est souvent en défaut. Certains de leurs arguments utilisent la loi de réciprocité quadratique. Dans un travail commun avec Dasheng Wei et Fei Xu, nous examinons dans quelle mesure l'obstruction de Brauer-Manin entière rend compte de leurs résultats. Un travail similaire au nôtre a été effectué par Loughran et Mitankin.
+Vers une version locale du principe de Batyrev-Manin-Peyre. 30/11/2018 16:30 Zhizhong Huang salle 15-16-413
Le principe de Batyrev-Manin-Peyre prédit une équirépartition globale des points rationnels sur les variétés algébriques. Nous proposons une version raffinée, en intégrant le travail de D. McKinnon et M. Roth, qui nous permet d'obtenir divers phénomènes locaux intéressants. Nous présenterons des résultats pour certaines variétés toriques et nous proposerons également une formule asymptotique empirique.
+Suite spectrale de Leray homotopique 19/10/2018 10:00 Frédéric Déglise Institut Henri Poincaré, amphi Hermite
Comme conjecturée par Beilinson, et suivant Voevodsky, le formalisme de la théorie des motifs mixtes triangulés est maintenant comparable à son modèle, la théorie des faisceaux l-adiques de Grothendieck. Il manque toutefois un élément clé à la théorie motivique, la t-structure motivique, pour laquelle la réalisation l-adique est t-exacte, vis à vis de la t-structure perverse. Toutefois, sur un corps, la théorie de Voevodsky vient naturellement avec une t-structure qu'il appelle "homotopique". Le coeur de cette t-structure est donnée par les faisceaux invariants par homotopie avec transferts, qui sont la clé de voute de la théorie de Voevodsky. Sur une base quelconque, on dispose maintenant, après des travaux initiaux d'Ayoub, d'une extension de cette théorie qui satisfait de bonnes propriétés. Elle est en particulier non dégénérée, et permet donc de définir une suite spectrale de type Leray associée à une "fibration".
Dans l'exposé, je rappellerai la construction, obtenue en collaboration avec Bondarko, de cette t-structure homotopique dans le cas relatif, ainsi que les calculs qu'elle permet. On peut ainsi calculer le motif des courbes relatives (affine ou projectives), et déterminer la dimension cohomologique des foncteur f^*, f_*, f_!, f^!. Je ramenerai ensuite la suite spectrale de type Leray induite par cette t-structure à une suite spectrale concrète, liée au coniveau des fibres de la fibration et donnerai quelques applications.
+Common Slots of Bilinear and Quadratic Pfister Forms 19/10/2018 11:30 Adam Chapman Institut Henri Poincaré, amphi Hermite
We say that I^n(F) is m-linked if every m bilinear n-fold Pfsiter forms have a common (n-1)-fold factor. In a recent publication, Karim Becher pointed out that when F is a global field, I^n(F) is m-linked for every positive integer m, and raised the question of whether I^n(F) being 3-linked implies that it is m-linked for every positive integer m. In the special case of characteristic 2, this question can be phrased in two versions - one for bilinear forms and another for quadratic forms. We will provide negative answers to both versions of the question in characteristic 2, and discuss some open problems
+Geometric interpretation of quadratic Chabauty 19/10/2018 15:00 Bas Edixhoven Institut Henri Poincaré, amphi Hermite
Joint work with Guido Lido. Chabauty's method to find all rational points on a curve C over Q of genus g > 1 is to intersect, for a suitable prime p, inside the p-adic Lie group J(Q_p) (with J the jacobian of C), the 1-dimensional p-adic manifold C(Q_p) with the closure of J(Q). This closure is a p-adic Lie group of dimension at most r, the rank of J(Q). If r < g then this works well. Minhyong Kim has a program called "nonabelian Chabauty", where deeper quotients of the fundamental group of C are exploited (J corresponds to the abelianisation). The recently developed "quadratic Chabauty method" (Balakrishnan, Dogra, Muller, Tuitman, Vonk) can treat cases where r is larger and J has sufficiently many symmetric endomorphisms, notably the "cursed curve". In this lecture I will give a geometric description of the quadratic Chabauty method in terms of the Poincare torsor on J times its dual.
+Décomposition de la diagonale et nilpotence 19/10/2018 16:30 Claire Voisin Institut Henri Poincaré, amphi Hermite
La notion de décomposition de la diagonale est due à Bloch et Srinivas, au moins à coefficients rationnels. À coefficients entiers, elle a joué récemment un rôle majeur dans les questions de rationalité, fournissant une condition nécessaire pour la rationalité stable d'une variété. On discutera dans cet exposé le lien entre décomposition de Chow de la diagonale et décomposition cohomologique de la diagonale, à la fois à coefficients entiers et rationnels.
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