| Résume | La correspondance de Springer relie les faisceaux pervers (équivariants) sur le cône nilpotent d'une algèbre de Lie réductive aux représentations du groupe de Weyl W de cette dernière. Elle peut se résumer par la façon dont se décompose le faisceau de Springer, faisceau pervers obtenu comme image directe du faisceau constant par la résolution de Springer du cône nilpotent, qui est muni d'une action de W. On peut définir un foncteur d'induction à partir des faisceaux pervers sur le cône nilpotent d'une sous-algèbre de Levi. Alors le faisceau de Springer s'interprète comme l'induit du gratte-ciel en 0 du cône nilpotent (réduit à 0) d'une sous-algèbre de Cartan. On appelle cuspidal un faisceau pervers simple n'apparaissant pas comme quotient d'un induit à partir d'une sous-algèbre de Levi propre. Lusztig a montré que l'ensemble des faisceaux pervers simples est partionné en séries, chaque série consistant en les quotients simples de l'induit d'un cuspidal, et que de plus chaque série est en bijection avec les représentations irréductibles d'un groupe de Weyl relatif.
J'ai étudié un analogue modulaire (avec des coefficients en caractéristique $> 0$) de la correspondance de Springer dans ma thèse, et plus récemment de la version généralisée dans une série d'articles avec P. Achar, A. Henderson et S. Riche. Nous avons des résultats sur la classification des cuspidaux (partielle pour les types exceptionnels en mauvaise caractéristique), et dans certains cas une description combinatoire explicite. Je parlerai de ces résultats, ainsi que d'une ``cleanness conjecture'' pour le cas où la caractéristique des coefficients est ``assez bonne'', ainsi que de ses conséquences sur la structure de la catégorie dérivée équivariante, en lien avec la notion de ``supercuspidalité''. Nous espérons que ce travail permettra de mieux comprendre les représentations modulaires des groupes réductifs finis en caractéristique non naturelle. |
