| Résume | En dénombrant les idéaux de codimension finie de l'algèbre $k[x,y,x^{-1},y^{-1}]$ de polynômes de Laurent à deux variables sur un corps fini, Christophe Reutenauer et moi avons découvert une famille $P_n$ de polynômes aux propriétés remarquables : ils sont réciproques et leurs coefficients sont des entiers positifs ou nuls. Chaque coefficient de $P_n$ est égal au nombre de diviseurs de $n$ dans un certain intervalle. Nous calculons aussi les valeurs de $P_n$ en $1$, $-1$ et aux racines de l'unité d'ordre 3, 4, 6 ; ces valeurs forment des suites bien connues en théorie des nombres. Comme conséquence immédiate de nos dénombrements, nous obtenons une formule exacte pour la fonction zêta locale du schéma de Hilbert de $n$ points dans un tore bidimensionnel. La réciprocité des polynômes $P_n$ se traduit pour la fonction zêta par une équation fonctionnelle analogue à celle que la dualité de Poincaré implique pour la fonction zêta d'une variété projective lisse. |
